2021课标版理数高考总复习专题6.3等比数列试题练理科数学教学讲练

1、理科数学专项复习PAGE PAGE 13温故而知新，下笔如有神！6.3等比数列探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等比数列及其性质(1)理解等比数列的概念.(2)掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.(4)了解等比数列与指数函数的关系2019课标,14,5分等比数列的通项公式及前n项和公式2018课标,17,12分等比数列的通项公式及前n项和公式指数的运算2017课标,3,5分等比数列的前n项和公式数学文化为背景的应用问题2016课标,15,5分等比数列的通项公式最值问题2.等

2、比数列的前n项和2016课标,17,12分等比数列的判定由an与Sn的关系求数列的通项公式2015课标,4,5 分 等比数列的通项公式分析解读本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理能力以及学生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考点一等比数列及其性质1.(2020届贵州贵阳摸底,10)等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.10C.

3、8D.2+log35答案B2.(2019湖南衡阳一模,8)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是()A.6B.-8,8C.-8D.8答案D3.(2018天津滨海新区七所重点学校联考,11)等比数列an中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a13+答案2-1考点二等比数列的前n项和1.(2020届重庆一中10月月考,7)等比数列an的前n项和为Sn,且3a2,2a3,a4成等差数列,则S3a3A.139B.3或139C.3D.7答案B2.(2020届四川天府名校第一次联考,4)已知数列an各项都是正数,且满足an+2an=an+12(nN*),a5

4、=16,a7=64,则数列an的前3项的和等于A.7B.15C.31D.63答案A3.(2019湖南郴州一模,6)在数列an中,满足a1=2,an2=an-1an+1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若a6=64,则S7的值为(A.126B.256C.255D.254答案D炼技法 提能力【方法集训】方法等比数列的判定与证明1.(2020届安徽合肥一中9月月考,11)关于数列an,给出下列命题:数列an满足an=2an-1(n2,nN*),则数列an是公比为2的等比数列;“a,b的等比中项为G”是“G2=ab”的充分不必要条件;数列an是公比为q的等比数列,则其前n项和Sn=a1(1-qn

5、)1-q;等比数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-SA.B.C.D.答案C2.下列结论正确的是()A.若数列an的前n项和Sn=n2+n+1,则an为等差数列B.若数列an的前n项和Sn=2n-2,则an为等比数列C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则1a,1b,D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则1a,1b,答案D3.(2019四川宜宾第三次诊断,17)设数列an的前n项和为Sn,Sn=32an(1)求证:an是等比数列;(2)求an的通项公式,并判断an中是否存在三项成等差数列.若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.解析(1)

6、证明:当n=1时,a1=32a1-1,a1当n2时,Sn=32anSn-1=32an-1-1,an=32an-32an-1,anan0,anan-1(2)由(1)知,数列an是等比数列,且首项为2,公比为3,an=23n-1,nN*,数列an各项都是正的,且是单调递增的.假设数列an中存在三项ar,as,at(其中r,s,tN*)构成等差数列,不妨设rst,则ar+at=2as,即23r-1+23t-1=223s-1,即3r+3t=23s,即3r-s+3t-s=2.rs0+31=3,这与3r-s+3t-s=2相矛盾,数列an中不存在三项构成等差数列.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一等比

7、数列及其性质1.(2019课标,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案C2.(2016课标,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案643.(2018课标全国,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=an(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解析(1)由条件可得an+1=2(n+1将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a

8、2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n24.(2016课标,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-,a由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1a因此an是首项为11-,公比

9、为-1的等比数列,于是a(2)由(1)得Sn=1-由S5=3132得1-15=3132解得=-1.思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是不是非零常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出.考点二等比数列的前n项和1.(2017课标,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案

10、B2.(2019课标,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5答案1213.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=

11、64,解得m=6.综上,m=6.易错警示解方程时,对根的检验易漏.求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免产生错解.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一等比数列及其性质1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,

12、为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(A.32fB.322fC.1225f答案D2.(2016天津,5,5分)设an是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n1,则()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B2.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B3

13、.(2012课标,5,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D4.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是

14、首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)证明:由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=由e2=1+q2=53,解得因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+q2(k-1)于是e1+e2+en1+q+qn-1=qn故e1+e2+en4n5.(2015江苏,20,16分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,2(2)是否存在a1

15、,d,使得a1,a22,a33,a(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a解析(1)证明:因为2an+12an=2an+1-an=2d(n=1,2,3)(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0).假设存在a1,d,使得a1,a22,a33则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=da,则1=(1-t)(1+t)3且(1+t)6=(1+2t)4-1化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3

16、t=4t+1=0,则t=-14显然t=-14不是方程t2=t+1的解,矛盾,所以假设不成立因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+d)分别在两个等式的两边同除以a12(并令t=da则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2

17、k)ln(1+2t).化简得2kln(1+2t)-ln(1+t)=n2ln(1+t)-ln(1+2t),且3kln(1+3t)-ln(1+t)=n3ln(1+t)-ln(1+3t).再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(*).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),则g(t)=2(令(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则(t)=6(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2

18、t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t).令1(t)=(t),则1(t)=63ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t).令2(t)=1(t),则2(t)=12(由g(0)=(0)=1(0)=2(0)=0,2(t)0,知2(t),1(t),(t),g(t)在-13,0故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(*)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k评析 本题考查等差数列的定义、等比数列的运算和综合应用,考查演绎推理、直接证明、间接证明等逻辑思维能力.考点二等比数列的前n项和1.(2013课标,3,5分)等比数列an的前n项和为Sn

19、,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19答案C2.(2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.答案2n-13.(2015山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.解析(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=3(2)因为anbn=lo

20、g3an,所以b1=13当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=13当n1时,Tn=b1+b2+b3+bn=13+13-1+23-2+(n-1)31-n所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)3=23+1-31-n1所以Tn=1312-6经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=1312-6n+344.(2014课标,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求a(2)证明1a1+1a2+解析(1)由an+1=3an+1得

21、an+1+12=3a又a1+12=3所以an+12是首项为32所以an+12=3n2,因此an的通项公式为an(2)由(1)知1an=因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-于是1a1+1a2+1an1+13+所以1a1+1a2+评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩法求和是本题的难点.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2020届河南名校联盟尖子生10月调研,8)等比数列an满足a1=8,a3=a2a5,则log2a1+log2a2+log2a100的值为()A.-2 550B.-2 325C.-4 650D.-5 660答案C2.(2020届甘肃兰州一中

22、9月月考,10)已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4=a3,则使得Tn1的n的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案C3.(2020届黑龙江哈尔滨三中月考,10)定义在(-,0)(0,+)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,若f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-,0)(0,+)上的如下函数:f(x)=x3;f(x)=ex;f(x)=|x则其中是“保等比数列函数”的序号为()A.B.C.D.答案C4.(2019福建宁德期末质量检测,11)某市利用第十六届省运会的契机,鼓励全民健身,从2018年7月起向全市投放A

23、,B两种型号的健身器材.已知7月份投放A型健身器材300台,B型健身器材64台,计划从8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为()A.243B.172C.122D.74答案D5.(2018河南六市第一次联考(一模),10)若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为()A.-2B.-4C.2D.4答案D6.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比数列an的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-89,则当Tn取最大值时,n的值为(A.2B.3C.4D.6答案C二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2020届云南师大附中高三月考,13)记Sn为等比数列an的前n项和,若3S4=2S3+S5,a2=4,则a6=.答案648.(2020届江西宜春重点高中第一次月考,15)若存在等比数列an,使得a1(a2+a3)=6a1-9,则公比q的取