压电效应下一维六方准晶中正六边形孔边裂纹传播问题

1、压电效应下一维六方准晶中正六边形孔边裂纹传播问题摘要为了研究压电效应下一维六方准晶正六边）孔边快速传播裂纹问题，采用动力学理论，推导了一维六方压 电准晶在运动坐标系下的反平面弹性问题的控制方程。引入无限大平面内正六边）孔口双裂纹到数学平面的保角映射 函数，利用柯西积分公式，研究了在电不渗透的边界条件下一维六方压电准晶中正六边）孔边快速传播裂纹的反平面动 态问题，得出了当裂纹匀速传播时，动态应力强度因子和电位移强度因子的解析解。这些结论在工程的动态实践应用分 析中具有一定的参考价值。关键词正六边）孔边裂纹;保角映射函数;动态应力强度因子；电位移强度因子0引言随着科学技术的发展和新材料的出现，准晶

2、 是一种目前研究较为广泛的新材料，准晶体在一 定条件下,会使得微观缺陷发展成为宏观缺陷，从 而发生断裂破坏,甚至诱发事故，准晶体在断裂损 伤中,其破坏与准晶体的裂纹发展和传播都有很 大关系。国内外学者对其进行了大量的研究，不 管是理论研究还是实验室试验均取得了丰硕成 果I4文献B5利用复变函数方法,研究了一 维六方压电准晶中多角形缺陷唇形快速传播裂纹 问题，给出了动态应力强度因子的解析解。文献 6 C利用保角映射技术，在电不渗透型的边界条 件下借助复变函数方法，解决了一维六方压电准 晶中正六边形孔边裂纹的反平面问题，并得到了 场强度因子的解析式。下面不仅考虑声子场、相 位子场及电场之间的耦合作

3、用，还考虑正六边） 孔边裂纹沿准周期方向匀速传播的动力学问题, 得到了电不渗透情形下动态应力强度因子和电位 移强度因子的解析解!I基本理论在具有压电效应的一维六方准晶材料中，建 立空间直角坐标系&3 =1,2,3），设坐标轴&-方 向为准周期方向，记D.,（分别表示电位移、电 场和电势,E.j ,）.,）.分别表示声子场的应变、应 力和位移分量,*,初,诺3（3，j = 1,2,3）分别表示 相位子场的应变、应力和位移分量,表示声子 场的弹性常数,1.表示相位子场的弹性常数 表示声-相位子场耦合的弹性常数,et,?,表示压 电常数, + ii ,+-3表示介电常数,p表示具有压电效 应的一维六

4、方准晶材料的密度。则具有压电效应 的一维六方准晶弹性问题的本构方程如下：-01 -C12%000&0000角3 。22-01 -C12%000&0000角3 。22Ch CB000Ri0000S2233C33000为0000角333。23C44000R300%02,23C44000为5002%。66000000妇0000。33气灼00150旧2瓦皿00气1_&100-El_4i0.A 一一切-E3_(1)几何方程-初=；/ djul + $凹)* = $严3 ,/i,j = 1,2,3)E.j =-弓 (运动平衡方程为( 2)2$( C15)主干士工其中 V = 2 12,6 = 44 1表

5、15子$&1$&2+11C ?场压电弹性常数,K = J3 +&表示相位子场压+11$1 )31 1 $2 )32 1 $3 )33$2 u$+1,2,3/ ? ) 2电弹性常数,d = 11表示声子场-相位+11子场耦合的压电弹性常数。引入新的位移势函数B/CL1 / &1，&2，t)，虬/ &1 ,$1 11 1 $2 22 1 $3 33 =$2 H3$+$1 E 1 $2。2 1 $3 E3 =&2 ,t)和 L / &1，&2 ,t),且设U3 =- BM2W3 = BM1 1 .M2当缺陷沿准晶的准周期方向穿透时，材料的 几何性质不随周期方向改变，即公式/ 1)中所有 变量对&3的

6、偏导数为0。该问题可分解为两个独立的问题，文中只分析其中准周期弹性场的反平面问题。 整理(1) - ( 3)式得/ 442)3 1 J3 2W3 1 C15 2( = PT$+J3 2)3 + I 2H3 + ?15 2( = p 2 $tC15 V2U3 1 ?15 V2H 一 +11 2( = 0 进一步化简得$26 V2)3 1 K V2 H3 = p z $t TOC o 1-5 h z ,$2 H3KV )3 1 DV h = p 2-33$t2C15 . 1 ?15 B?15 . - C15 B习M1 1M2 1 M3+11+11( 6) 通过( 4)的第三式和( 5)式进一步转化

7、为 fV2 M1 = = *M1$tV2 M2 咋M2 $tV2 M3 = 0其中.=g B6 - D +6 - D) 2 1 4B2 ,且有 M1 = !( . 1 D) /p ,M2 = !( 6 - .) /p，分别为反平 面情形下波的传播速度。把(6)代入( 1)得由位移势函数M,(3 = 1,2,3)表示的应力和电位移分量为 TOC o 1-5 h z s c2、W c/ 八眦8心03 二。31 = (4? + B ) + B( 一 4) + 电一 ox1oxx 处八泌2b广=(初+ B )- + 8- + H” = B0 + D)警 + (Dt - B?)穿 + d* 孕网豹网H

8、爻=B0 + D)孕 + (Dr/ - B?)孕 + 此孕ox2ox2ox2詈誉2 电不渗透的正六边形孔边快速传播裂纹如图1所示，假设一无限大的一维六方准晶 体内部含有沿准周期方向穿透的正六边形孔边裂 纹,正六边形孔的边长为左右裂纹长度分别为 L#和心，以速度M匀速沿&1方向运动，在无穷远处 受到沿准周期方向的剪应力p和电载荷T的作用。图1具有压电效应的一维六方准晶中含正六边形孔边;纹)变换& = &1 - vt,y = &2，建立运动坐标系 &将问题转化为稳定裂纹动力学问题，该问题的电不渗透边界条件为则方程(7)可化为三个新的方程2 $2L $2L TOC o 1-5 h z /# 侦 1侦

9、=$&$(单+料=0$&$( 10)其中 8, = Ji - m2K / 3 # 1，2) o由文献B8知方程组(10)的解L,(3 = 1，2，3)可以表示成三个解析函数!1 ( P1)/ P2)，f-/p)的实部或虚部，故令L = Re舄 p,) = 1,2)L- = Re f-/p) ( 11)其中P1 =&+3(1 ,P2 = & + 3(2，P = & +3(，(1 = 81 (,(2 = 82 (根据解析函数的性质可得但=勾=；(如+屏域项+响_邳0 _缁+%或) %寸阶+叫#-/)+-序域修顼)+0妫-?)( 12) 引入保角映射囱P1 = P2 = P = *( 0) = J

10、B1( 0-1) + 岸( 0-1 )5+ 9,1 / 0-1) 11 + 洁那 0-1) 17 + ( 13)其中P _ : )-2 = 32 = E2 =P # L： )-2 = $ P，2 = ，2 = $ T( 9)( 14)()_ (1 +)2 +& (1 -)2 +_l)(l+g) +2(密 +1)(1_孑)+( _1)(1_)4( 14)( 15)且 心_曾_1)+；,归 2_1)(1 + 彳)2+2(砂/I)睹 2+1)+(驴_( 15)*2 J(一 1)(1+打 +2(砂2 +1)(1-fl +( -i)Q该映射将P1 ,P2，P平面中正六边)孔边裂纹 外部近似地映射到0平面

11、上的单位圆内部，对应 点 * 1 ( a + L2) 1,* 1 / - a - L1) - 1 ,且 J 是 与正六边形边长有关的常系数,J = 0.9258a，实 参数-3 =(1 + +(1 + L)。其中Q,为L,经过保角映射后的长度。函数 J-及它们的导数变换为 /1 ( P1) =/1 ( * 0) = R1 ( 0)J2 ( P23J2 ( P23 =J2 ( *( 0) ) = R2 ( 0)f- / p) = f- / *( 0) = R3 ( 0)八 ( 习)=，(P2)=心R- (0)( 16)点0 =)= ee代入,且两边同乘以da/23()- 0)沿边界2积分得(17

12、)咐+脂盘)一票36)土桐-裁辰S鹳顷6螺Y四-墨扇)岩母购若甲也+功土(徉一端中功)岩+必；*)土 密(功(18) 说土 1)一器如岩=。4-1-(忍白)-些谪)互=-M 皿涉以 3 a(b) 3-&(T-g由柯西公式得：f 也%7 = U：愆),(，=1,2,3)2冗、丫 T g1 r 企(。)切(。) 2m L tyYcr)( 19)广 1 ( P广 1 ( P1)f2 ( P2 )( 20)广3 ( P)把式(19)代入(18)中(代入式(17)得3A14( 0)A*(0)-3A24 0)A*(0)-204 0)+ 11 *(0)其中A = /S2 B( 6. + B2) / E. -

13、 B2)-K2 / . -6)( . + D)A1 = 2/2 B( D. -B2)(P +寻 T)+ 11-K -6) /A2 # 2/1 B( . +D)( P +捋0-(6. + B2)T把式( 20)代入式( 12)可得p平面内该问题的应 力场与位移场。根据文献B7 ,可得裂纹尖端处p = a+L2 ,对 应在0平面内0 = 1处动态的声子场应力和电位 移的强度因子分别为I! = 2 !m/ 17m *( 0)= K !Rx!01K! = 2 !T 17m = K !RT ( 21)!01 !*W其中K表示无量纲场强度因子，且L为裂纹等效长度长度，即 N = / L# +L! + 2-) /2K _ ( -# + -2) - _ 4( -# + -2) + #6( -# _ -2) ( -1 + -23 !( -# + -2尸 + 8( -# - -2) nC15 O( 3# _ 1)?#& 032 / /1 _ /2)X = p3# +:+:+ 1#+1#/#(6. + K2) (E. - K) - /2K2( . _ 6) ( . +E)3#S# S2 (6. +K2) (E. _B2) _B2 / . _ 6) ( . + E) 。2 = B