傅科摆的研究及可视化

1、傅科摆的研究及可视化摘要：利用MATLAB编程求解了傅科摆的运动，并制作模拟其运动的可视化程序，利用该程序对傅科摆的运动规律进行了探究。 关键词：傅科摆；MATLAB；数值模拟、前言1851年，法国物理学家傅科在巴黎万胜 殿的拱顶上悬挂了一个摆长67m,摆锤质量 28kg的单摆，该单摆摆动周期约为16s,实 验发现，改摆的摆动平面绕竖直轴作顺时针 （从上往下看）转动，周期约为32h,这就 是著名的傅科摆实验。这个实验无需依赖地 球以外的任何个体，就能直接向人们展示地 球的转动。由于傅科摆的运动微分方程没有解析 解，故无法人工求得其严格的定量解，因此, 不妨利用计算机数值计算求得傅科摆的严格 定

2、量解，以更好地研究傅科摆。再者，由于 傅科摆具有十分重要的科普意义，加之其虽 然原理简单，但由于摩擦阻力、空气阻力、 场地限制等因素，并不易制作，所以通过计 算机将傅科摆可视化也具有重要的意义和实 用性。二、傅科摆的数值解（一）傅科摆的运动学方程由于傅科摆的摆长很长，故当摆作小角 度摆动时，可以认为摆锤在水平面内运动， 由于摆锤质量大，体积小，故忽略空气阻力。 以摆锤平衡位置为原点O, x轴正方向指向 正南面，y轴正方向指向正东面，如图1建 立直角坐标系。则在该系下，纬度为入处傅科摆的运 动方程为：x(南)rd2xdyg_2co-sinX + -x=0d2ydxq花+23诙，以入+尸=0其中重

3、力加速度g=9.8m/s2,摆长 l=67m,地球自转角速度v=2n/86400。（二）利用matlab数值计算求解运动学 方程本文的目的是在已知初始条件的情况 下求解傅科摆的运动学方程，故选用Matlab 的内置函数。de45，即四阶龙格库塔法进行 求解。由于ode45只能解一阶微分方程，故 求解前需要对（1）行降阶处理，结果如下：（ dxr* =五=2 &）s indXji dF = X4d _ 2（i）S-其中，0 = n /18QX入因为matlab米用 弧度制，故需要将纬度化为弧制。用解微分 方程组的过程如下：function calcu % 计算global xQ yQ vxQ v

4、yQ Phi phi t x y rQ=xQ,vxQ,yQ,vyQ;% 初始条件 phi=Phi*pi/18Q;%将角度转化为弧度t,X =ode45(foucault_fun,t,rQ,); x=X(:,1);y=X(:,3);% 从 X 中获得 x, y 在实际中，傅科摆摆动平面的转动较为 缓慢，为了便于观察，在数值计算时将3 更改为n/5Q。三、三维可视化在得到了傅科摆的严格数值解后，利用 matlab的绘图功能，将其的摆动过程做成三 维动图，程序如下：function draw3D%画三维动图global xQ yQ vxQ vyQ Phi t x y ln=size(t); str=

5、 纬度：,num2str(Phi), xQ= ,num2str(xQ), yQ= ,num2str(yQ),. v x Q = ,num2str(vxQ), vyQ= ,num2str(vyQ); % 图 表标题 cla reset hold onset(gcf, color ,1,1,1); axis(-Q.6,Q.6,- 1,Q.2); axis off axis equal view(164,45) z=-(l八2-x.A2-y.A2).AQ.5;%绘制坐标轴z_axis=line(Q,Q,Q,Q,Q,min(z), color ,k , linestyle,-,.linewidth ,

6、1);%z轴x_axis=quiver3(Q,Q, min(z), l/2,Q,Q, c ol or , k , linestyle , - ,. linewidth,1); text(l/2,Q,min(z),x);%x轴y_axis = quiver3 (Q,Q,min(z) ,Q,l/2,Q, c ol or , k , linestyle , - ,. linewidth,1); text(Q,l/2,min(z),y);%y轴title(str)%图像初始化f_line=line(Q,x(1),Q,y(1),Q,z(1),col or,k,linestyle,-,.linewidth

7、,1);%摆线x x , y y, z z = sphere(4Q); xxx=ones(41,41,n(1); yyy=ones(41,41,n(1); zzz = ones(41,41,n(1); for i= 1:n xxx(:,:,i)=x(i) + 2*xx; yyy(:，:,i)=y(i) + 2*yy; zzz(:，:,i)=z(i)+2*zz; endf_ball=surf(xxx(:,:,1),yyy(:,:,1),zzz(:,:,1), EdgeColor ,1 Q Q);%摆锤f_s=line(x(1),x(1),y(1),y(1),z(1) ,z(1);%摆锤起点axi

8、s square axis(-l,l,-l,l,min(z),Q) hold on grid on for i=1:nset(f_line,xdata,Q,x(i),ydata,Q, y(i),zdata,Q,z(i);%新的摆线位置set(f_ball,xdata,xxx(:,:,i),ydata,yy y(:,:,i),zdata,zzz(:,:,i);%新的摆锤位置set(f_s,xdata,x(1: i), ydata,y(1 :i), zdata ,z(1:i) %绘 制 轨 迹 drawnow limitrate end图2图3图4图 5图 6图 7图图2图3图4图 5图 6图 7

9、图8图9图10图 11四、利用数值解半定量研究傅科摆的 摆动（一）初始速度和方向相同，傅科摆在 不同纬度下的摆动图2-8绘制了从南极点到北极点，随着 纬度增加，傅科摆的摆动轨迹变化的情况。 图中所有轨迹用时均相同，因此，可以看出， 纬度约大，即越远离赤道，傅科摆的摆动平 面转动的速度就越快。其中，如图2所示， 在赤道上，傅科摆的摆动平面完全不转动。 在南北半球同一纬度地区，傅科摆的摆动平 面转动速度相同，转动方向相反：在北半球, 傅科摆的摆动平面顺时针转动；在南半球， 傅科摆的摆动平面逆时针转动。（二）在同一纬度地区，初速度大小相 同，方向不同时的摆动由图9-11可以看出，初速度只有方向 不同时傅科摆的轨迹图像基本完全相同，故 傅科摆的摆动平面的变化与初始速度方向没 有关系。（三）纬度，速度方向相同，速度大小 不同时的摆动从图12-14可以看出改变初速度，轨迹 的图像等比例放大，故傅科摆的摆动平面的 变化与初始速度大小也没有关系。（四）初始坐标不为零且与初始速度不 同时的摆动从图15-17可以看出，改变y方向的初 速度和x方向的速度，会使轨迹的图形发生 变化，但是在同一纬度，摆动平面转动的速 度是不变的。（五）结论由图15-17可得，傅科摆摆动平面的转 动角速