向量运算法则

1、(1)实数与向量的运算法则：设、为实数，则有:1)结合律：*一)(a。2)分配律：()，,ab)，。(2)向量的数量积运算法则：1)(la).ba.b).ba(lb)。3)(ab)cacbc。(3)平面向量的基本定理。q,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a,有且仅有一对实数,，满足aee。121122a与b的数量积的计算公式及几何意义：a.baIIbIcos，数量积a.b等于a的长度IaI与b在a的方向上的投影IbIcos的乘积。(5)平面向量的运算法则。1)设a=(%,y),11b=(%,1)设a=(%,y),11b=(%,y)，则a+b=(%,yy)。2212

2、122)设a=(%,y),11b=(%,y)，则a-b=(%,yy)。2212123)设点A(%,y),11B(%,y)，贝ljABOBOA(%,yy)。222124)设a=(%,y),P，则a=(%4)5)设a=(%,y),b=(%,y)，则ab=(%yy)5)11221212(6)两向量的夹角公式：cos.-%2ycos.-%2y2.-%2y21122(a=(%1,y1)，b=(%,y)。22(7)平面两点间的距离公式：d=Id=IABlABBlAB(%)2(yy)2A,B2121(A(%1,y1)，B(%,y)。22(8)向量的平彳行与垂直：设a=(%,y),b=(%,y)，且b0,则有

3、:11221)a|bb=a%y%y0。2112212)2)alb(al0)lb=0l%lyyl0。1212(9)线段的定比分公式：设P(设P(%i，yi)，P2(%2,y2)，P(%,y)是线段PP的分点，是实数，且PPPP,则12%喙TOC o 1-5 h z1BBOPmOPiOPmtOP(1)(9PJ)。I(io)三角形的重芯公式：ABC三个顶点的坐标分别为A(x,y)、B(x,y)vC(x,y),则ABC的重心的坐112233标为工“尸,二八33(11)平移公式：%/.%/.卧左OPMOPPP(12)关于向量平移的结论。一TT1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点Pxh,yk

4、)。2)函数y/(%)的图像。按向量。=(h,k)平移后得到图像C：y/(xH/i)Uk。3)图像。按向量a=(九左)平移后得到图像C:、/(%),贝I。为、/(%/)左。4)曲线。：/(%,y)B0按向量a=(h,k)平移后得到图像C:f(xk)B0。1向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。要4向量的加法向量的加法,。1向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。要4向量的加法向量的加法,。向量加法的运算律:交换律：a结合律：2向量的减法的反向量为如果、是互为相反的向量，那么即“共同起点，指向被国5向盘的戒法向量的减法减”则如图：以的结束为起点，的结束为终点。3向量的数

5、乘实数九和向量的乘积是一个向量，记作入，且入=入。当入0寸，入与同方向当入0寸，入与反方向；ES3向量的数奏向量的数乘当入=0时，入=0,方向任意。当=0时，对于任意实数入，都有入=0。注：按定义知，如果入=0，那么入=0或=0。实数人叫做向量的系数，乘数向量入的几何意义就是将表示向量的有向线段伸长或压缩。当八时，表示向量的有向线段在原方向（入0或反方向（入0上伸长为原来的I入I倍当八时，表示向量的有向线段在原方向（入0或XX反方向（入0上缩短为原来的I入I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：入b=Ab=入b。向量对于数的分配律（第一分配律）：八|J二八|J数对于向量的分配律（第二分配律

6、）：入b大入b数乘向量的消去律：如果实数人/0且入大b,那么小如果力0且入=1,那么入=p。4向量的数量积定义：已知两个非零向量b作=则角b称作向量和向量b的夹角，记作b并规定0WbWn定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a-b。若a、b不共线，则a,b=|a|Tb|,cosa,b（依定义有：cosa,b=a,b/|a|,|b|）；若a、b共线，则ab=|a|b|。向量的数量积的坐标表示：a-b=xx+y-y。向量的数量积的运算律a,b=b,a（交换律）（入a）b=A（ab）（关于数乘法的结合律）（a+b）c=a,c+b,c（分配律）向量的数量积的性质a2=幅|的平

7、方。ab=a,b=0。|ab|W|a|,|b|。（该公式证明如下：|ab|=|a|b|,|cosa|因为0W|cosa|W1,所以|ab|W|a|Tb|）向量的数量积与实数运算的主要不同点.向量的数量积不满足结合律，即：（ab）c/a（bc）；例如：（a,b）八2/a2b2o.向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac（a/0）,推不出b=c。.|ab|与|a|,|b|不等价.由|a|=|b|,推不出a=b或a=b。、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积图工向量的几何表示向量的几何表示（外积、叉积）是一个向量，记作aXb（这里“X”并不是乘号，只是一种表示方法，与“”不同，也可记做“A”）

8、。若a、b不共线，则aXb的模是：|aXb|=|a|b|,sina,b；aXb的方向是：垂直于a和b,且a、b和2义6按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则aXb=0。向量的向量积性质：IaXb|是以a和b为边的平行四边形面积。aXa。a垂直b=aXb向量的向量积运算律aXbbXa（入a）Xb入（aXb）aX（入b）aX（b+）aXb+aX注：向量没有除法，“向量向量CD”是没有意义的。6三向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c向量a、b的向量积aXb,再和向量作数量积（aXb）-c向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、的混合积，记作（ab）或（6）,即（ab）ab）aXb）混合积具有下列性质：i三个不共面向量a、b、的混合积的绝对值等于以a、b、为棱的平行六面体的体积V并且当a、b、构成右手系时混合积是正数；当a、b、构成左手系时，混合积是负数，即（ab）（当a、b、构成右手系时S；当a、b、构成左手系时）2上性质的推论：三向量a、b、共面的充要条件是（ab）（ab）（a（abba）（baa（b（aXb）a（bX）例题正方形B设向量）（）二（）例题正方形B设向量）（）二（）：（G二二B二有=小二二0LB=)二GK二从)()=0.ALBXGK、二向量二重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程:1i3%,5-M;户J