与数式有关的模块第三讲因式分解

1、 源于名校，成就所托 全日制课程初三教案模块 与数与式有关的模块 第三讲 因式分解教学内容教学目标1、要求学生掌握因式分解的方法。2、能熟练运用因式分解方法解决数学问题。教学重点、难点1、分解因式的方法，典型常见的因式分解拓展题型。2、分组分解法在因式分解中的应用，因式分解中的拓展题型。考点及考试要求 四种因式分解方法，及在实际问题中的应用。 第一部分 知识要点一、知识结构二、因式分解的基本方法1、提公因式法：提取最大公因式 确定最大公因式的步骤：A.确定各项系数的最大公因式； B.确定各项中所含有的所有相同因式（字母或多项式）； C.确定各项因式的最低次幂。注意： 1)提公因式法在因式分解中

2、的地位： 在做因式分解时，首先看且必须看能否提公因式，能提先提，且必须提取最大公因式。 2)提公因式法应注意的问题 （1）提取公因式必须“提尽” （2）适当变形 （3）公因式与某一项相同时，提取公因式后这一项为1，不能漏写2、运用公式法：所用公式：平方差公式和完全平方公式。(两项考虑平方差，三项首先考虑完全平方)下面再补充几个常用的公式：运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式但有很多三项的多项式不能用完全平方，于是我们所学的最难的分解因式方法出现了：3、十字相乘法 一般形式：（十字相乘法适用于二次三项式的因式分解）十字相乘法的依据和具体内容:利

3、用十字相乘法分解因式，实质上是逆用竖式乘法法则它的一般规律：(1)对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项分解成两个因数的积，并且为一次项系数，那么它就可以运用公式分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同(2)对于二次项系数不是1的二次三项式(都是整数且)来说，如果，存在四个整数，使，且，那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是

4、1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母如分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法利用分组分解法分解因式的多项式特征：（1）多项式的项数一

5、般大于三项（2）分组后各组可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法进行分解（3）各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解因式分解一般要遵循的步骤：1、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式2、如果多项式的各项无公因式，那么可以尝试运用公式法或十字相乘法来分解。一般地，若是二次式，则考虑平方差公式；若是三项式，则考虑用完全平方公式或十字相乘法。3、如果上述方法不能分解，那么应考虑分组分解法。4、分解因式，必须进行到每一个因式都不能分解为止。以上步骤可用口诀概括如下：一提二套三分组，分到不能再分才停止 “首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积

6、式” 第二部分 例题经典例1：下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.解：（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法. （2）不是因式分解,因为不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解. （3）不是因式分解,而是整式乘法. （4）是因式分解.【点评】本题主要考查学生对概念的理解，区分整式乘法与因式分解之间的区别。题型1先提取公因式，再用平方差公式例2：分解因式：. 分析：对于系数都含有2的因数，对于字母都含有的因式，于是考虑先提出公因式，由于是两项，剩下的再考虑

7、能否运用平方差公式分解.解:【点评】本题是考查用提公因式法和平方差公式分解因式的方法.求解时要注意一提（提公因式）；二用（用平方差公式），即对一个多项式进行分解因式，有公因式的一定要先提取公因式，再考虑运用公式法；一般情况下，因式分解要坚持到有理数范围内每一个因式不能在分解为止.题型2先提取公因式，再用完全平方公例3：将分解因式的结果是.分析：考虑系数，且每一项都含有字母x，不如视其公因式为，先提出，再看余下的能否用完全平方公式.解:【点评】对于本题也可以将按字母降幂排列，即，再提出公因式，其结果为.题型3二次三项式的分解例4：分解因式：.分析：观察所给的多项式不能直接用提公因式法，也不能用公

8、式法，于是想到利用二次三项式的分解方法，考虑一次项系数是2，则常数项3分解成13.解：.【点评】多项式型的二次三项式是分解因式中的常见题型，此类多项式的分解规律是：如果能把常数项分解成两个因数的积，并且为一次项系数，那么它就可以运用公式另外，本题也可以利用配方法分解，即题型4因式分解的技巧例5：分解因式.分析：这个多项式共有四项，常规的分解方法在此均失去作用，但考虑若前两项提出，剩下的是，后两项提出，剩下的也是，于是还可以从整体上提出，从而达到分解因式的目的.解:【点评】因式分解是一种恒等变形，在变形时应讲究适当的方法和技巧.本题中也可以将第一项和第三项结合，第二项和第四项结合，同样达到从整体

9、上分解因式的目的.题型5先局部分解，再从整体上分解例6：分解因式：分析：这个多项式共有三项，无法运用因式分解的方法与技巧，考虑后两项可以运用运用平方差公式，这样可以先把两项看做一个整体，用平方差公式分解为，然后再提取公因式，从而达到从整体上分解因式.解：【点评】本题为了达到分解因式的目的，采取了先局部分解的办法，从而完成整体上的因式分解.题型6因式分解的应用例7：已知 分析：如果求出和的值，显然有点不划算，若对待求式分解因式，会收到意想不到的效果.解：因为，所以当【点评】本题在求值过程中既巩固了因式分解的知识，又运用的整体思想.题型6开放型例7：现有三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，

10、并把结果因式分解.分析：给定三个多项式，择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解，显然答案不惟一.可先选择两个多项式，将它们相加，再将其结果分解因式.解：答案不唯一. 【点评】本题意在考查整式加减和因式分解.因式分解与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确.题型7代入求值例8：已知求的值分析：给定一个多项式，要把结果因式分解，给定一个方程有两个未知数显然要求出两个未知数的值不太可能，因此要对方程左边进行化简，最后即可得到想要的结果.解： 已知，那么的值是 解： 【点评】本题意在考查整体带入的思想.要把条件与问题结合

11、起来，找出条件与问题的共同点即可解决问题。题型8 拆项、添项法（根据学生程度选择使用） 因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例9：分解因式：分析：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成-1+9解法2 将一次项拆成 解法3 将三次项拆

12、成9x3-8x3解法4 添加两项【点评】 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种题型9 换元法（根据学生程度选择使用） 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例10 ：分解因式：分析：将原式展开，是关于的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将看作一个整体，并用字母来替代，于是原题转化为关于的二次三项式的因式分解问题了解：设，则【点评】本题也可将看作一个整体，比如今，一样可以得到同样的结果

13、，有兴趣的同学不妨试一试 第三部分 课后作业 A卷一、选择题1、多项式提取公因式后，另一因式是 （ ）B A B C D 2、若，则N的值是（ ）B A B C D 3、如果，那么等于 ( )DA B C D 4、如果，则b为 ( )BA5 B6 C5 D6 5、多项式可分解为，则的值分别为 ( )DA10和2 B10和2 C10和2 D10和2填空题6、 7、_ 8、(_) 9、_(_) ，10、 ，,11、_时，多项式有一个因式为(_)或（答案不唯一）12、若6，则代数式的值为_ 1713、.三、分解因式14、； 解：原式 15、解：原式 =a2（2a+b）（2a-b）（a+3b）（a-3

14、b）； 解：原式；解：原式 18、； 解：原式 四、简答题19、把分解因式 解： = = =20、把分解因式 解： = = =21、已知2，求的值 解： ，又 ，xya4， ，= 22、若有一因式。求，并将原式因式分解。解：有一因式 当，即时， 23、分解因式：解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设 比较同类项系数，得： 解得： B卷一、选择题1、不能用十字相乘法分解的是 ( )CA BC D2、分解结果等于的多项式是 ( )AA BC D3、若是三角形三边的长，则代数式的值（ ）B A大于零 B小于零 C大于或等于零 D小于或等于零4、把多项式分解因式的结果是（ ）

15、D A B C D5、把分解因式得：，则的值为（ ）A A.2B.3C.2D.3二、填空题6、+=_7、+=_8、+_9、+=_10、+-+-+=_+三、分解因式11、解：原式12、；解：原式 13、； 解：原式 14、； 解：原式 解：原式 四、解答题16、证明：一定能被11整除 解：=（86+75）（86-75） =16111 一定能被11整除17、把分解因式 解： = = =18、把分解因式 解： = = =19、已知2，求的值 解： ， 又 ，xya4， ， =20、用简便方法计算: （1）+ （2）+ 解：+ 解：+ =+ = + = = = = 21、已知+=4，且+=0，你能求出+的值吗？ 解： +=12，即+=12 又 +=4 = +=+=622、证明：+一定能被32整除。 解：+ =+ =+ =+ 所以+一定能被32整除23、当=时，求+ 解：原式=+2 = =+=1624、小明曾作出判断：当为正整数时，+一定能被120整除。你认为小明的判断正确吗？说说你的理由。 解：+ = = = =+它是5个连续整数的积。这5个数中必有1个是5的倍数，1个是3的倍数，1个是4的倍数，且偶数至少有两个。故