2021-2022学年陕西省汉中市宁强县第三中学高二数学理模拟试卷含解析

1、2021-2022学年陕西省汉中市宁强县第三中学高二数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)在x=1 处导数为1，则（ ） A、 3 B、 C、 D、参考答案：B2. 已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（aR，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（2014）+f（2015）f（2015）=（）A8B2014C2015D0参考答案：A【考点】导数的运算【分析】观察已知解析式f（x）=asin3x+bx3+4，构造g（x）=f（x）4=asin3x+bx3是奇函数，

2、而它的导数是偶函数，利用奇偶函数的性质解答【解答】解：由已知，设函数g（x）=f（x）4=asin3x+bx3是奇函数，由g（x）=g（x），g（x）为奇函数，f（x）=3acos3x+3bx2为偶函数，f（x）=f（x），f（2014）+f（2014）+f（2015）f（2015）=g（2014）+4+g（2014）+4+f（2015）f（2015）=g（2014）g（2014）+f（2015）f（2015）+8=8故选A【点评】本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，灵活构造函数g（x）是解答本题的关键3. 设，若，则=（ ）A. B.1C. D. 参考答案：B略4. 已知等差数列an中

3、，a2+a4=6，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A30B15CD参考答案：B【考点】等差数列的性质【分析】根据等差数列的性质，利用p+q=m+n时，ap+aq=am+an，求出a3的值，进而即可得到a1+a2+a3+a4+a5的值【解答】解：等差数列an中，a2+a4=6，a3=3，则a1+a2+a3+a4+a5=5?a3=15故选B5. 在四边形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）A平行四边形 B矩形 C梯形 D菱形参考答案：C6. 下列命题正确的是A一条直线和一点确定一个平面 B两条相交直线确定一个平面C三点确定一个平面 D三条平行

4、直线确定一个平面参考答案：B略7. 记集合A=（x，y）|x2+y216，集合B=（x，y）|x+y40，（x，y）A表示的平面区域分别为1，2若在区域1内任取一点P（x，y），则点P落在区域2中的概率为（）ABCD参考答案：B【考点】几何概型 【专题】概率与统计【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域1，2的面积，利用面积比求值【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，其中，由几何概型的公式可得点P落在区域2中的概率为；故选B【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域1，2的面积，利用几何概型公式求值8. 已知数列是公比为2的等比数列，满足.设等差数

5、列的前项和为，若，则（ ）A34 B39 C.51 D68参考答案：D分析：由题意求得等差数列的首项和公差，然后根据等差数列的求和公式求解详解：在等比数列中，由可得，解得，故选D9. 已知则的最小值为（ ） A. B. C. D. 参考答案：C略10. 已知数列满足，若，则的值为（ ）A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的最小值为 参考答案：解法一：如图,可看成（0，0）到直线上的点的距离的平方，而的最小值就是原点到直线的距离的平方，此时，其平方即为.解法二：由得，代入中，则=，易知的最小值为.12. 已知下列三个命题：若一个球的半径缩小

6、到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线与圆相切.其中真命题的序号为 .参考答案：13. 函数（其中是自然对数的底数）的极值点是_；极大值=_.参考答案：1或2 【分析】对求导，令，解得零点，验证各区间的单调性，得出极大值和极小值【详解】解：由已知得，令，可得或，当时，即函数在上单调递增；当时，即函数在区间上单调递减；当时，即函数在区间上单调递增故的极值点为2或1，且极大值为故答案为： 1或2 【点睛】本题考查了利用导函数求函数极值问题，是基础题14. 已知不等式组的整数解恰好有两个,求的取值范围是 参考答案：15. 关于函数，有下列命题由，可得必是的

7、整数倍；的表达式可改写成；的图象关于点对称；的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为 。参考答案：16. 已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ks5u 参考答案：略17. ，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （原创题）参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.（1）求证：PB平面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成角的余弦值；（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ

8、的距离为，若存在，求出CQ的值？若不存在，请说明理由.参考答案：解法一：（1）取AB的中点H，连接GH，HE，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，GHADEF，E、F、H、G四点共面.又H为AB的中点，EHPB.又EH面EFG，PB平面EFG，PB平面EFG.（4分）（2）取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GMBD，EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.在RtMAE中，EM，同理EG，又GMMD在MGE中，cosEGM，故异面直线EG与BD所成角的余弦值为.（8分）（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QRAB于R，连接RE，则QRAD.四边形ABCD

9、是正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，ADAB，ADPA.又ABPAA，AD平面PAB.又E、F分别是PA、PD的中点，EFAD，EF平面PAB.又EF面EFQ，面EFQ面PAB.过A作ATER于T，则AT平面EFQ，AT就是点A到平面EFQ的距离.设CQx(0 x2)，则BRCQx，AR2x，AE1，在RtEAR中，AT解得x.故存在点Q，当CQ时，点A到平面EFQ的距离为（13分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.（1）PB（2

10、，0，2），FE（0，1，0），FG（1，1，1），设PBsFEtFG，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，解得st2.PB2FE2FG又FE与FG不共线，PB，FE与FG共面.PB平面EFG，PB平面EFG.（4分）（2）EG（1，2，1），BD（2，2，0）.cosEG，BD故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为（8分）（3）假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，令CQm(0m2)，则DQ2m，点Q的坐标为（2m，2，0）EQ（2m，2，1）而EF（0，1，0），设平面EFQ的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则n（1，0，2m），又AE（0，0，1），点A到平面EFQ的距

11、离d即(2m)2，m或m，又m2不合题意，舍去.故存在点Q，当CQ时，点A到平面EFQ的距离为.（13分）略19. 直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程参考答案：【考点】直线的截距式方程【专题】计算题【分析】设直线l的横截距为a，则纵截距为（6a），写出直线l的截距式方程，把（1，2）代入即可求出a的值，把a的值代入直线l的方程中，经过检验得到满足题意的直线l的方程【解答】解：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6a，直线l的方程为，点（1，2）在直线l上，解得：a1=2，a2=3，当a=2时，直线的方程为2x+y4=0，直线经过第一、二

12、、四象限；当a=3时，直线的方程为x+y3=0，直线经过第一、二、四象限综上所述，所求直线方程为2x+y4=0或x+y3=0【点评】此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程，是一道基础题学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意20. 在ABC中，若acosA=bcosB，判断ABC的形状参考答案：解：cosA=，cosB=，?a=?b，化简得：a2c2a4=b2c2b4，即（a2b2）c2=（a2b2）（a2+b2），若a2b2=0时，a=b，此时ABC是等腰三角形；若a2b20，a2+b2=c2，此时ABC是直角三角形，所以ABC是等腰三角形或直角三角形略21. 已知复数.（1）设，

13、求；（2）如果，求实数a，b的值.参考答案：（1）因为，所以.（2）由题意得：；，所以，解得.22. 学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响（1）求考生甲正确完成题目个数的分布列和数学期望；（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？参考答案：【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数的分布列和数学期望；（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为，则可能取值为1，2，3，（