初中数学 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛(小学组)试题及答案

1、 5/5初中数学 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛(小学组)试题及答案 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A （小学组） （时间: 年4月10日10:0011:30） 一、填空题（每小题 10分，共80分） 1.在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球. 2.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格. 3.汽车A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站, 途中

2、A 与B 相遇20分钟后再与C 相遇. 已知 A 、B 、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 4.将,111111 234567 和这6个分数的平均值从小到大排列, 则这个平均值排在第 位. 5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 ，这些 “好数”的最大公约数是 . 6.右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形的表面积为 . 7.数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 张是

3、卡片“3”. 8.若将算式 2010 20091 200820071871651431211?+ ?-+?-?+?-? 的值化为小数， 则小数点后第1个数字是 . 二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程) 9.右图中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由. 10.长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？ 总 分 装 学校 年级 姓名 准考证号 订 线 11.足球队A ，

4、B ，C ，D ，E 进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分. 若A ，B ，C ，D 队总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至多得几分？至少得几分？ 12.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成 =?19101112116316424, 请问这两个数1163和16424中有质数吗? 并说明理由. 三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程） 13.右图中，六边形ABCDEF 的面积是2010平方厘米. 已知ABC ，BCD ，CDE ，DEF ，EF A ，F AB 的面积都等于335平方厘米

5、，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米. 求六边形111111A B C D E F 的面积. 14.已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数 E 1 A B C D E F A 1 B 1 D 1 F 1 C 1 装 订 线 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A 参考答案（小学组） 一、 填空题（每小题 10分，共80分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 173 19 425 5 223，3 32 3 4 二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程) 9. 答案：不能！ 理由如下：假设能拼成45的长方形，如图A 小方格黑白相

6、间染色。其中黑格、白格各10个。 将五块纸板编号，如图B 所示，除纸板之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而盖住3个黑格或一个黑格。这样一来，由4个11的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10个黑格不符！ 10. 答案：28，72 L 解：（1）易知 红线与蓝线重合的条数是 31)12,8(=-； 红线与黑线重合的条数是 1121)18,8(=-=-； 蓝线与黑线重合的条数是 51)18,12(=-； 红线、蓝线、黑线都重合的条数是 1121)18,12,8(=-=-； 由红线7条，蓝线11条，黑线17条确定的位置的个数是 271)513(17117=+-+.

7、 因此，依不同位置的线条锯开一共得到 28127=+（段）. （2）最小公倍数 723629,3,4218,12,8=?=?=. 因此，将木棍等分成72段时，至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两 条之间，并且再短（段数更多）时就做不到了. 所以锯得的木棍最短的一段的长度是72 L . 11. 答案：5，7. 解：设A ，B ，C ，D ，E 五队的总分分别是a ，b ，c ，d ，e ，五队的总分为S ，则e e d c b a S +=+=20. 五队单循环共比赛10场，则30S . 如果有一场踢平，则总分S 减少1分. 因为00011+=a ， 001311114+=+=b ， 01337

8、+=c ， 11338+=d ， 所以比赛至少有3场平局，至多有5场平局. 所以330530-S ，即272025+e . 故75e . 事实上，E 队胜A ，B ，负于C 队，与D 踢平时，7=e ； E 队胜A ，负于C ，但与B 、D 踢平时，5=e . 所以E 队至少得5分，至多得7分. 12. 答案：1163是质数. 解：1163是质数,理由如下: （图A ） （图B ） （1）显然16424是大于2的偶数,是合数. （2）如果1163是合数,但不是完全平方数,则至少有2个不同的质因数,因为 31113311163=,所以,如果1163有3个以上不同的质因数,必有一个小于11.但是显

9、然2,3,5,7都不能整除1163,11也不能整除1163,因此1163仅有2个不同的大于11的质因数.大于11的质数是: 13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101. 既然237116337311147?=,1163的两个不同的质因数一定有一个小于37,另一个大于11.计算 97131261116311578913?=?； 73171241116311566817?=?； 67191273116311596119?=?； 53231219116310814723?=?； 4129118911631073372

10、9?=?. 所以1163是质数. 三、解答下列各题 （每小题 15分，共30分，要求写出详细过程） 13. 答案：670. 解：如图，已知ABC ，BCD ，CDE ，DEF ，EF A ，F AB 的面积都等于335平方厘米，它们面积之和为33562010?=平方厘米=六边形ABCDEF 的面积。 因此，未被盖住的六边形111111A B C D E F 的面积 =重叠部分的面积 = (1)(3)(5)(7)(9)(11)S S S S S S +. 另一方面,在ABC 中, (1)(3)(2)335S S S +=-, 在BCD 中, (3)(5)(4)335S S S +=-, 在CDE

11、 中, (5)(7)(6)335S S S +=-, 在DEF 中, (7)(9)(8)335S S S +=-, 在EF A 中, (9)(11)(10)335S S S +=-, 在F AB 中, (11)(1)(12)335S S S +=-, 上述6个式子相加，得 ()() (1)(3)(5)(7)(9)(11)(2)(4)(6)(8)(10)(12)23355S S S S S S S S S S S S +=?-+ 即 ()(1)(3)(5)(7)(9)(11)233566701340.S S S S S S +=?-= 所以 (1)(3)(5)(7)(9)(11)1340 670

12、.2 S S S S S S += 因此, 六边形111111A B C D E F 的面积 =(1)(3)(5)(7)(9)(11)S S S S S S +=670(平方厘米). 14. 答案：11，12，15，24，36. 解：两位自然数共有90个，一个一个地去试算检验它是不是满足条件，工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围. 设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a ，b . 显然a , b 不等于0. 因为10ab a b =+，10a b +能被ab 整除意味着10a b +能被a 整除且10a b +能被b 整除. 如果10a b +能被a 整除，说明b 能被a 整除；如果10a b +能被b 整除，说明 10a 能被b 整除. 这就是说，数字a ，b 同时要满足两个条件：（1）a 整除b ，（2）b 整除10a 。 对满足这两个条件的a ，b ，进行试算，可以缩小试算的范围。 若a 1，则10能被b 整除，b 的可能值为1，2，5，这时ab 11，12，15，它们符合条件； 若a 2，则b 是偶数，且20能被b 整除，b 的可能值是2，4. 经检验后知 E 1 A B C D E F A 1 B 1 D 1 F 1 C 1 (1) (2) (3) (4) (5