微积分第三版课件第三章第四节

1、第四节 有理函数的不定积分第四节 有理函数的不定积分本节要点 本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分一、有理函数的不定积分二、可化为有理形式的三角函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分方法, 并讨论某些可以化为有理函数的积分.本节要点 本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积一、有理函数的不定积分 1.有理函数的部分分式分解方法 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具其中 为非零整数, 都是实数, 且有如下形式的函数:一、有理函数的不定积分 1.有理函数的部分分式分解方法 有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和, 假设多项式 之间没有公因式, 且 的的次数

2、大于或等于 的次数, 此时称该有理函有理函数的原函数都是初等函数, 它们一定可以通过有理函数、对数函数、反正切函数表出.次数小于 的次数, 此时称该有理函数为真分式. 若数为假分式. 利用多项式的除法, 可将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和, 例如 例如 由代数学知道, 多项式 总可以在实数范围内分 其中 因此有理函数中的真分解成一次因式与二次因式的乘积, 即式可以分解成若干个部分分式之和. 由代数学知道, 多项式 总可以在理学微积分第三版课件第三章第四节其中 等都是需要确定的常数,方法一: 将部分分式通分后, 再比较分子系数, 通

3、过解比较分子系数, 得方程组:它们可以通过下面方法确定:方程组确定系数. 例如:其中 即:方法二: 部分分式通分后, 在分子恒等式中代入特殊的 值从而确定常数. 例如即:方法二: 部分分式通分后, 在分子恒等式中代入特殊的令 得 ;令 得 ; 将及 代入上式得 因此即:令 得 ;令 例 分解解 因 所以即有令 令令例 分解解 因 所以即有令 即有即有 2.部分分式的不定积分 当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后, 只出现多项式与下列形式的部分分式. 故只需考虑下列形式的部分分式的不定积分. 2.部分分式的不定积分 当有理函数分解成多项式具体解法如下:具体解法如下:其中而其中而即于是 总

4、之, 有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和以后, 各部分的不定积分都可以得到.即于是 总之, 有理函数分解成多项式与若干个部分分式例1 求积分解 例1 求积分解 例2 求积分解 因故例2 求积分解 因故例3 求积分解 因故例3 求积分解 因故例4 求积分解 因故例4 求积分解 因故例5 求积分解 设例5 求积分解 设即有因此有即有因此有因而相应的积分为因而相应的积分为 考虑下列形式的不定积分 其中 为有理函数. 由于二、可化为有理形式的三角函数的积分 考虑下列形式的不定积分 令 则， 而 故即令 这里所用的变量代换 对三角函数的有理式都适用, 故此代换又称为万能代换.这里所用的变量代换 对

5、三例6 求积分解 令 , 则例6 求积分解 令 理学微积分第三版课件第三章第四节例7 求积分解 令 则原积分为例7 求积分解 令 理学微积分第三版课件第三章第四节 一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法:若 则可用代换:若 则可用代换:若 则可用代换: 一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法:若例8 求积分解 由上面的讨论, 做变换 则:例8 求积分解 由上面的讨论, 做变换 理学微积分第三版课件第三章第四节例9 求积分解 例9 求积分解 理学微积分第三版课件第三章第四节例10 求积分时为零, 且解 设 比较等式两边的系数, 得到其中 不同例10 求积分时为零, 且解 设 比较等式两理学微积分第三版课件第三章第四节例11 求积分 其中解 因其中 则例11 求积分 理学微积分第三版课件第三章第四节例12 求积分解 因其中例12 求积分解 因其中理学微积分第三版课件第三章第四节三、可化为有理形式的简单无理函数的积分 考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：令 其中 为 的最小公倍数. 这样上述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分.三、可化为有理形式的简单无理函数的积分 考虑下列形式的例13 求积分解 令 即 故积分为例13 求积分解 令 例14 求积分解 令 即例14 求积分解 令 例15 求