二重积分计算方法

1、关于二重积分的计算方法第1页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四2本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).二重积分的计算法第2页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四3一、利用直角坐标系计算二重积分(1) 积分区域为：其中函数 X型在区间 上连续.二重积分的计算法第3页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四4计算截面面积( 红色部分即A(x0) )二重积分的计算法以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线 第

2、4页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四5是区间 为底,曲线 为曲边 的曲边梯形.有:二重积分的计算法称为先对y后对x的二次积分(累次积分)(0 xA第5页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四6(2) 积分区域为：Y型先对x后对y的二次积分也即二重积分的计算法其中函数 在区间 上连续.第6页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四7特殊地注D为矩形域:则axb,cyd二重积分的计算法第7页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四8穿过区域且平行于y轴的直线穿过区域且平行于x轴的直线abdc 计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D

3、既是X型:X型区域的特点:Y型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.但可作出适当选择.二重积分的计算法第8页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四9(4) 若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.二重积分的计算法第9页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四10例解 积分域既是X型又是Y型法一所围平面闭区域.两曲线的交点二重积分的计算法第10页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四11？先对x后对y的积分法二二重积分的计算法第11页，共58页

4、，2022年，5月20日，18点7分，星期四12例siny2 对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy 分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示 D:二重积分的计算法第12页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四13oxy二重积分的计算法第13页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四14例交换积分次序：解积分区域:原式=二重积分的计算法第14页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四15交换积分次序的步骤 (1) 将

5、已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的计算法第15页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四161990 年研究生考题, 填空, 3分解二重积分的计算法练习交换积分次序第16页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四17又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.二重积分的计算法第17页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四18例 求证 左边的累次积分中,积分域可表为提示定积分与积

6、分变量的记法无关不能具体计算.所以,是y的抽象函数,证毕.先交换积分次序.二重积分的计算法第18页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四19例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及 解 求所围成的立体的体积.二重积分的计算法?还有别的做法吗第19页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四20二重积分的计算法2002 年研究生考题, 7分练习计算二重积分其中 解 设第20页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四21解计算积分不能用初等函数表示,先交换积分次序.练习二重积分的计算法第21页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星

7、期四第22页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四第23页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四第24页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四第25页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四例则提示: 如图 ， A设有平面闭区域第26页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四例. 有一个平面薄片, 在 平面上占有区域 其面密度为 ，求该薄片的质量M。 由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 被积函 数关于 都是偶函数，根据得解：根据二重积分的物理意义， 第27页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四例.

8、 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四2014.3例. 设 在 连续，且证明证明: 补区域 使其与区域注意到被积函数关于 和 对称，关于直线 对称。第29页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四例.设 为取值恒大于0的连续函数，区域 ， 与 是两个非零常数，则二重积分第30页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四解：由于区域 关于直线 对称，可得从而第31页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四32 计算解 积分区域D关于x轴对称,被积函

9、数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y0的部分.则D1练习二重积分的计算法第32页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四33二、利用极坐标系计算二重积分两相邻弧半径平均值. 内取圆周上一点其直角坐标则设为二重积分的计算法第33页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四34得 即也即极坐标系中的面积元素二重积分的计算法第34页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四35(1) 积分区域D:二重积分的计算法第35页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四36(2)积分区域D(曲边扇形):二重积分的计算法第36页，共58页，2022年，5月2

10、0日，18点7分，星期四37极坐标系下区域的面积(3) 积分区域D: 注一般,在极坐标系下计算:二重积分的计算法第37页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四38解例写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式,在极坐标系下圆方程为直线方程为二重积分的计算法第38页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四39解a例计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下二重积分的计算法第39页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四40解求反常积分例显然有二重积分的计算法第40页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四41又二重

11、积分的计算法对称性质第41页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四42概率积分夹逼定理即所求反常积分二重积分的计算法第42页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四43解计算所围成的平面闭区域.例及直线二重积分的计算法第43页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四44解双纽线求曲线所围成的图形的面积.例根据对称性有在极坐标系下二重积分的计算法由得交点面积第44页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四45将直角坐标系下累次积分:化为极坐标系下的累次积分.oxy解 练习原式=二重积分的计算法第45页，共58页，2022年，5月20日，1

12、8点7分，星期四46解极坐标二重积分的计算法第46页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四47 计算因被积函数D2极坐标例分析故的在积分域内变号.D1二重积分的计算法第47页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四48 二重积分的计算规律再确定交换积分次1. 交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2. 如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;二重积分的计算法第48页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四49 3. 注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4. 被积函数中含有

13、绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函二重积分的计算法第49页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四50例计算 分析从被积函数看,用极坐标系要简单些,但从积分域D的形状看为宜.用却又以直角坐标系在两者不可兼得的情况下,应以D的形状来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系.二重积分的计算法第50页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四51二重积分的计算法第51页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四52三、二重积分的换元法设被积函数在区域D上连续,若变换满足如下条件:(1)一对一地变为D上的点;(2)有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式二重积分的计算法第52页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四53基本要求 注意变换后定限简便,求积容易二重积分的计算法第53页，共58页，2022年，5月20日，18点7分，星期四54例解所围成的闭区域.二重积分的计算法其中D为椭圆作广义极坐标变换第54页，