勾股定理培优题

1、勾股定理培优题学习贵在落实勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用， 被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中 c 为斜边）的三边关系，即 a2+b2=c2，它的变形式为 c2- a2=b2或 c2- b2=a2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面， 有着重要的应用， 它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a

2、2+b2=c2，则这个三角形是以 c 为斜边的直角三角形 .勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方2学习贵在落实法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致 . 因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理” .二、基本知识过关测试1. 如果 直角三角 形的两边 为3 ， 4 ，则 第三边 a 的值是.2. 如图，图形 A 是以直角三角形直角

3、边a 为直径的半圆，阴影SA=.3. 如图，有一个圆柱的高等于 12cm，底面半径 3cm，一只蚂蚁要从下底面上 B 点处爬至上底与 B 点相对的 A 点处，所需爬行的最短路程是.4. 如图 . 在 ABC 中， CDAB 于 D，AB=5，CD=2 3 ，BCD=30 ，则 AC=.5.作长为 2 ， 3， 5的线段 .6. 在下列各组数中5，12，13 ； 7，24，25； 32，42，52；3a，4a，5a； a2+1，a2- 1，2a( a1) ；m2- n2， 2mn ， m2+n2( m n 0) 可 作 直 角 三 角 形 三 边 长 的 有组.7. 如图，四边形ABCD 中，

4、AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB BC，则四边形 ABCD 的面积是.3学习贵在落实CAAB13A a12BBDADC第2题图第3题图第4题图第7题图8. 如图，在正方形 ABCD 中， F 为 DC 中点， E 为 BC 上一点，且 EC= 14 BC，试判断 AEF 的形状 .ADFBEC三、综合 . 提高 . 创新【例 1】（ 1）在三角形纸片 ABC 中， C=90， A=30，AC=3，折叠该纸片，使点 A 与点 B 重合，折痕与 AB、AC分别相交于点 D 和点 E（如图），折痕 DE 的长是多少？BDCEA4学习贵在落实2）如图，在矩形 ABCD 中， AB=8，AD

5、=10，按如图所示折叠，使点 D 落在 BC 上的点 E 处，求折痕 AF 的长 .ADFBEC（3）如图，正三角形 ABC 的边长为点， P 是 BC 边上任意一点， PA+PM 记作 S 和 T，求 S2- T2 的值.2， M 是 AB 边上的中的最大值和最小值分别CPAMB5学习贵在落实【练】如图，四边形 ABCD 是长方形，把 ACD 沿 AC 折叠到 ACD，AD与 BC 交于 E，若 AD=4，DC=3，求 BE.ADBECD 【例 2】（1）如图， ABC 中， C=60， AB=70，AC=30，求 BC 的长.ACB2）如图，在四边形 ABCD 中， AB=2，CD=1，

6、A=60，B=D=90，求四边形 ABCD 的面积 .ADCB【练】如图， ABC 中， A=150， AB=2，BC= 13 ，求 AC6学习贵在落实的长 .ABC【例 3】（1）如图， ABC 中， AB=AC=20，BC=32，D 为 BC 上一点， ADAB，求 CD.ABCD（2）如图，在 Rt ABC 中， C=90，D、E 分别是 BC、 AC 中点， AD=5，BE=2 10 ，求 AB.BDCEA【例 4】如图， ABC 中， ACB=90，CD AB 于 D，设7学习贵在落实AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：1） 12+12=12； a b h2）a+bc+h；

7、3）以 a+b，h 和 c+h 为边的三角形是直角三角形 .CADB【例 5】（1）如图， ABCD 为矩形， P 为矩形 ABCD 所在平面上一点，求证： PA2- PB2=PD2 - PC2.ADPBC8学习贵在落实2）锐角 ABC 中， ADBC 于 D，若 B=2C，求证：AC 2=AB 2+ABBC.ABCD变式：如图，AM 是 ABC 的 BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2( AM 2+BM 2).ABMC3）如图， ABC 中， AB=AC，P 为线段 BC 上一动点，试猜想 AB 2，AP2， PB， PC 有何关系，并加以证明 .9学习贵在落实ABPC变式：若点

8、P 在 BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明 .ABCP（4）在等腰 RtABC 的斜边 AB 所在的直线上取点 P 并设 s =AP2+BP2，试探求 P 点位置变化时， s 与 2CP2 的大小关系，并证明 .10学习贵在落实CAPB变式：若点 P 在 BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明 .CPAB【例 6】（1）如图， ABC 中， D 为 BC 边上的中点，以 D 为顶点作 EDF =90， DE 、DF 分别交 AB、 AC 于 E、F ，且 BE2+FC2=EF 2，求证： BAC=90.11学习贵在落实AFEBDC2）在 RtABC 中

9、， BAC=90， AB=AC，E，F 分别是BC 上两点，若 EAF =45，试推断 BE，CF，EF 之间的关系，并证明 .ABEFC变式一 : 将（2）中 AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明 .ABECF12学习贵在落实变式二：如图， AEF 中 EAF =45， AGEF 于 G，且GF=2，GE=3，求 S AEF .AEGF【例 7】（1）在 ABC 中， ACB=90， AC=BC，P 为 ABC 内一点，且 PA=3，PB=1，PC=2，求 BPC 的度数 .CPAB13学习贵在落实（2）如图，在四边形 ABCD 中，ABC=30， ADC=60，AD=CD，

10、求证 BD2=AB2+BC2.BADC【例 8】在等腰 ABC 中， AB=AC，边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度 m，得到线段 AD.1）如图 1，若 BAC=30， 30 m80，连接 BD，请用含 m 的式子表示 DBC;ADBC（2）如图 2，若 BAC=90，0 m360，射线 AD 与直线 BC 相交于点 E，是否存在旋转角度m，使 AE = 2 ，若存BE在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.14学习贵在落实ABECD【例 9】（1）已知点 P 在一、三象限的角平分线上，且点 P 到点 A（3，6）的距离为 PA=15，求点 P 的坐标；2）已知直角坐标平面内的

11、 ABC 三个顶点的坐标分别为 A- 1，4），B（- 4，- 2），C（ 2，- 2），试判断 ABC 的形状；15学习贵在落实3）求代数式 x2 +1 + (3 - x)2 + 4 的最小值；4）已知 a0，b0，求以 a 2 + b 2 ， a 2 + 4b2 ， 4a 2 + b 2 为三边长的三角形的面积 .16学习贵在落实自我归纳：四、课后练习1. 如图，一艘货轮向正北方向航行， 在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航行， 1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮到达灯塔正东方向 D 处时，货轮与灯塔 M 的距离是多少？17

12、学习贵在落实北东MDBA2. 在 ABC 中， A=30， B=45， BC=10cm，求 AB， AC 及 ABC 的面积 .3. （1）如图，把长方形沿ABCD 对角线折叠，重合部分为EBD.1）求证和： EBD 为等腰三角形；18学习贵在落实2）若 AB=2，BC=8，求 AE.CEADBC（2）如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上，已知 AB=8cm，CE=4cm，求 AD.ADFBEC4如图， ABC 是等腰三角形， BAC=90， AB=AC， D. E. 是 BC 上的两点，且 DAE=45，若 BD=6，EC=8，求 DE 的长.19学习贵在落实

13、ABDEC5如图，在等腰三角形中，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，、F 分别为 AB，AC 边上的点，且 DE DF .1）求证： BE2+CF2=EF 2；2）若 BE=12，CF=5，试求 DEF 的面积 .AEFBDC6如图，等腰 RtABC 中，A=90，P 为 ABC 内一点，PA=1，PB=3， PC= 7 ，求 CPA.20学习贵在落实CPAB7（1）如图1，已知点P 是矩形ABCD 内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2.ADPBC（2）如果点 P 移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；PADBC21学习贵在落实如果点 P 移动到矩形 ABCD 的外部时，如图 3，（1）中结论仍成立 . 请在以上两个结论中任选一个并给出证明 .PADBC归纳结论：8如图， ABC 中， AD 是 BC 边的中点， AE 是 BC 边上的高，求证： AB2- AC2=2BCDE .ABDEC9求代数式x+1 + （9 - x） + 4的最小值 .2222学习贵在落实10试判断，三边长分别为 2n2+2n，2