控制工程基础第三章

1、第三章第三章时间响应分析基本要求了解系统时间响应的组成；了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点；掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。掌握线性系统中， 输入存在微积分关系， 其输出也存在微积分关系的基本结论；掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲 线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系；掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误 差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构

2、和参数以及干扰对系统偏差的影响。本章重点一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶 跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位 阶跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系， 二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差 影响。本章难点二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其 与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。时间响应的概念时间响应及其组成

3、1、时间响应:系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程，即系统的时间响应。它由两部分组成：瞬态响应:系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应：时间t趋于无穷大时，系统的输出稳定状态。时间响应就是系统微分方程的全解。包含通解和特解两个部分。通解完全由初始条件引起的，工程上称为自由响应，特解只由输入决定，工程上称为强迫响应。控制系统的动态特性可以通过在输入信号作用下，系统的瞬态响应来评价的。系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。2、时间响应函数:时间响应（函数）等于传递函数与输入的拉氏变换之积再取拉氏逆变换。 X o( s

4、)G (s)i ( s)两边取拉氏逆变换1i xo (t) LG(s) X(s)i典型输入信号常用的输入信号:单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数(单位加速度函数)、正弦函数和某些随机函数。(t(t)定义： (t) 0t t 0 (t)dt 1tL变换：0(t) 1定义：1t 01u(t) 0t 0tu (u (t)Lu(t) 1srr(t)（1）定义：t xi (t) 0t 0t 0t（2）L变换：Lxi(t)1s2定义：t2xi(xi(t)xi (t) 0t 0tL变换：0Lxi(t)1s3正弦函数sinsint0 xi (t) Xi0sint 0t 0tL变换：Xsi

5、ntXiis2 2选取输入信号应当考虑以下几个方面， 输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况，输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析处 理，输入信号能使系统在最恶劣的情况下工作。在时域分析中，经常采用的典型输入信号有下面几种，其中阶跃信号使用得最为广泛。一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型1一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其典型环节是惯性环节。1传递函数：-Ts(-Ts+Xo(s) 1Ts+1(s) 1Ts+1G(s) Xo (s) T：一阶系统的时间常数Xi(s)Ts 1一阶系统的单位阶跃响应o ( s )G ( s )i ( s )11Ts 1so时间响应为：ox

6、(t) L1X(s)11etTs(Ts 1)o单位阶跃响应曲线：o1.21特点：e t T ，稳态值为1；0.80.60.4x tT1 et T单调上升的指数曲线；Txo(T)=0.6320.200246810，过渡过程持续时间变短，表明系统惯性越小，系统的快速性能越好。一阶系统的调整时间ts=(34)T，以此来评定响应时间的长短。时间常数T可通过响应曲线求得，可由下述两种方法确定： 1.在响应曲线上，找到稳态值的63.2%的A点，并向时间轴t作垂线，与其交点值，即为时间常数T。由t=0那一点O（即原点）作响应曲线的切线，与稳态值交于 A点。由A点向时间轴t作垂线，与其交点值即为时间常数T。此

7、种方法可由下式得到证明。dy(t)1t1edtTt0 T即为斜率值，由OAT 即可知上述求时间常数的求法是正确的一阶系统的单位脉冲响应(s) G(s) X (s)1oiTs 1o时间响应为：ox (t) L1X(s) L11 Ts 1Te t(t 0)o单位脉冲响应曲线：o1T1T0.368 1T0.50.40.30.2特点：当T ，过渡过程持续时间变短，表明系统惯性越小，系统的快速性能越好。0.100246810一阶系统的单位斜坡响应( s ) G ( s ) ( s ) 11otTtTiTs 1s 2x o (t ) L1 o (s) L1 1s 2(Ts t T 1)Te (t 0)单位

8、斜坡响应曲线：T=2sT=2sTxi (t) tx (t) t T Te t To9876543210012345678910tTtTt)t) o( t )1etTtTw( t )t)1utor(t)1e xou(t)输入：单位脉冲ddt 单位阶跃d单位斜坡dt输出：单位脉冲 响应 ddt 单位阶跃 响应 =d 单位斜 坡响应。dt对于任意线性系统而言，若输入A是输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若输入A是输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分。数域输出响应ess1TS 1 (t)1 teT(t0 )T01(t)t1eTt00ttt

9、 T TeTt0T1 t221 tt 2 Tt T 2 eT )t 02无穷大等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。例3-1已知某一单位反馈系统的开环传递函数为G(s) 20试求系统的单位阶跃响应1解：首先求出系统的闭环传递函数Y(s)G(s)200.95X (s)1 G(s)211因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（3-12）式可知k 0.95T (s)因此，单位阶跃响应表达式为y(t) tk(1eT te0.01e100t )响应曲线如图3-8所示。例3-2某一系统单位阶跃响应曲线如图3-9所示，写

10、出其传递函数解：在响应曲线上，找到稳态值（此值为10）的63.2（即6.32）点，此点所对应的时间为0.1(s），即为时间常数，而传递函数的增益k值，可由输出的稳态值10 与输入的阶跃值的比值得到，即k 1（1s）因此，系统的传递函数为G(s) k10Ts11二阶系统的时间响应二阶系统的数学模型二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。传递函数：Xi Xi s+X0s-2 ns(s2n )Xi sX0snns2 2 s 2n2n为无阻尼固有频率 ， 为阻尼比。nns2 2n2 0j snn 21 ss1,2 ss1,2-n ss2j s-n1 - 2n1 - 2s1 + j n

11、sj0 1 1 12-n 0阻尼比与极点的关系阻尼比极点极点特征,s2 2 ,s2 n点0,s2 n j1 点,s2 jn,s2 n j1 点二阶系统的单位阶跃响应Xo (s) Xi (s)G(s)12nnss2 s 2nn1、当=1时（临界阻尼）22Xo (s)n21n1s(s n )s(s n)s nxn2oot)X 1xn2oon ttnntn=1n1(1 t)en单调上升,没有超调。0510152、当1时（过阻尼）12X o ( s) ns( s )( s s2)1oxo (t) LX(s)1o2n s(s a)(s 2ns1s211s2 s1(s2es2t )0510152atas

12、,bs n 1)12eababs ts te11 1s1s21e 2()(s2 s1s2es2tet 2 1n(2s 2 曲线上升缓慢，没有超调。= 0.1 n= 0.1 n=1121Xo (s) G(s)nn1ss2 s 2sn1n1sents11 21 2xo (t) 1sin(d tarctg11 2d n指数衰减的振荡，振荡频率为d4、当= 0 时(t)1cosnt无阻尼时瞬态响应是等幅振荡， 振荡频率为n负阻尼情况 0） = =0.10.3n =10.50.70.91.01.21.61.41.210.80.60.40.20 051015二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随着阻尼的减

13、小，其振荡特性表现得愈加强烈，但仍为衰减振荡，当0时达到等幅振荡. =11时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性.从过渡过程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以 =1时的过渡过程时间最短。工程上通常使=0.40.8之间，其超调不大，过渡过程较短。极点与阶跃响应的关系阻尼比极点极点在s平面的位阶跃响应形式,s2 n2n1,s2 n, s2 n01 jn1 2s1, jn, s2 n2 jn1二阶系统的单位脉冲响应2X(s)nnosnn 2(1)当01时:w(t)nentsin(n1 21 21 2 (2)当=0时:w(t) Ln n sinnt(3)当=1时:s2 2n2n2 tw(t

14、) L(s2n2n )2 nten22 122 1w(t)nexp( 2 nt2 exp( 21)nt=0.10.3=0.10.30.50.70.90.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8051015欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于n 。单位斜坡响应二阶系统时间响应的性能指标用以衡量系统瞬态响应的参数，称为性能指标。线性系统的性能指标取决于系统本身的特性而与输入信号的大小无关。评价控制系统动态性能的好坏，常以时间域的特征量来表示的。通过单位阶跃响应来评价控制系统的瞬态响应特

15、征。二阶系统时间响应的性能指标1、上升时间tr：响应曲线从初态开始，第一次达到输出稳态值所需的时间。t rt r510151.4(tr ) 111.211120.6 tg0.4 112n0.20当n一定，tr；当一定， ntr2、峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需的时间。M M pt p51015dxo(t)dt 0dt1.41.210.80.6t p 1120.40.20当n一定,tp；当一定，n tp 3、最大超调量Mp：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量。 %xo(tp)xo()xo ()100%1.6M pM pt p510151.210.811 2M p e1 1 20.60.4

16、0.20 %e100%Mp只与有关4、调整时间ts : 响应曲线稳态值附近取稳态值的5%或2%作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最小时间。xo (t ) xo()1.65101551015ts1.2 xo ()(t ts )410.8取 0.02有ts取 0.05有tsn3n0.60.40.205、兼顾各项性能指标欠阻尼的单位阶跃响应t rt rt p5ts1015M p1.41.210.80.60.40.20nrtps改善快速性2) Mp 减弱振荡性，改善准确性，但影响快速性工程上：一般取=0.707为最佳阻尼比。ts、Mp均不大，由Mp确定，再由ts确定n。例3-3 图

17、a是一个机械振动系统。当有8.9N的力（阶跃输入）作用于系统时，系统中质量M所作运动的响应曲线如图b所示，试求出质量m，粘性阻尼系数C和弹簧刚度系数k。 kF=8.9NMp=0.0029CmCm1234b)t/s解：1、系统的微分方程为：由拉氏变换终值定理得：mx Bx kx(t) F.1(t)limtxo (t) lim ss0Xo (s)系统的传递函数为：lim xo(t)t lims Xo(s)s 0 lim s G(s)Xi (s)s 0G(s) X o (s) Xo(s)1 lims18.98.9 0.03X i (s)F(s)msBs s0ms2Bsksk2、由响应曲线得：xo (

18、) 0.03m单位阶跃力F=8.9N,，F(S)=8.9/Sk=297N/mX (s) ms1Bs 8.9s3、由响应曲线得：4、2k0.029n mCM0.03 2100% 9.6%km297M p e100%mn 1.962 77.3kg 0.6C nm 182Ns/m(2)t p 2sn12t n12dn 1.96s例3-4设单位反馈闭环二阶系统的单位阶跃响应曲如图3-18。试确定其开环传递函数。解：由图3-18可见Mp30%,tp0.005(s)查阅图3-14 Mp%与关系曲线，可得11lnM11lnM 2p n1 2n1 2(rad/s)d3.140.00510.360.00510.

19、36211 2tp因为，系统的闭环传递函数为Y(s)2=nX (s)s2 2nnn单位反馈时的开环传递函数为2G(s)ns(s 2n )675.32456103s(s20.36675.3)s(s 486.2)稳态误差分析与计算稳态误差定义误差是希望输出与实际输出之差，是系统的准确性指标。E(s) Xor (s)X0 (s)e(t) xor (t) x0 (t)Xor(s)E (s) 1H 1H(s)ess lime(t)t (s) (s)+-H(s)G(s)H(s)G(s)稳态误差的计算E(s) X(s) X0 (s)1H (s)Xi (s) G(s)1 G(s)H(s)Xi (s) 1H (

20、s)1 G(s)H(s)Xi (s)elime(t)limsE(s)lims1X (s)ssts0s0H (s)1G(s)H(s)i 1H(s)Xo 1H(s)E (s)Xi ( s) (s)+-+-H(s)G(sH(s)G(s)三种稳态误差的形式系统的型次v=0时为0型系统;v=1时为型系统;v=2时为型系统； 依此类推。单位阶跃输入（稳态位置误差）elims11lim1sps01G(s)H(s)1s0 1 G(s)H(s)esp01 Kp0K p limG(s)H(s)s0单位斜坡输入（稳态速度误差）esvlimss0111G(s)H(s)s2 lims0 s 1s G(s)H(s)11

21、0)esv KvKv lim sG(s)H(s)s0( 2)单位抛物线输入（稳态加速度误差）esalimss0111G(s)H(s)s3 lims0 s2s21G(s)H(s)11 v esa Ka( 2)Ka lim s2G(s)H(s)s0( 3)控制工程基础控制工程基础表3-2稳态误差ess型输入信号阶跃x(t)=R斜坡x(t)=Rt加速度x(t)= R t22型 R1 K型0R K型00R K例3-5 某一仿形铣床加工一圆形零件，当仿形指的最高速度为 0.5 rad/s 时，为使误差不大于0.5（0.00087rad）， 欲达到这一要求，系统应为何种类型？其Kv应为多少？解：由于仿形指为斜坡输入，即 x(t) = 0.5t，则X(s)=0.5/s2，而ess=0.00087rad，为使刀具能很好跟踪仿形 指，所以系统应为型系统，查表3-2，可得：KR （1/s）essv0.00087ess例3-6 一个调速系统如图7-6所示，当输入电压为10 V时，