高中数学新课程创新教学设计案例-柱

1、20 柱、锥、台体的体积教材分析这节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积、表面积以后，在体积概念与体积公理的基础上，研究柱、锥、台体的体积其中柱体体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积柱、锥、台体的体积是立体几何的重要内容，是历年高考的重点通过这节知识的学习，既要使学生知道三种几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的三种几何体的体积公式的推导是教学的重中之重教学目标1. 使学学生掌握握柱、锥锥、台体体的体积积公式及及其初步步应用2. 通过过对三种种几何体体体积公公式的探探索，使使学生学学会观察察、类比比、归纳纳、猜想想等方法法，培

2、养养学生分分析、抽抽象、概概括及逻逻辑推理理能力3. 通过过三种几几何体体体积公式式的探索索，培养养学生独独立思考考、刻苦苦钻研、孜孜孜以求求的毅力力及勇于于探索、创创新的精精神任务分析对于体积这这一内容容，学生生早在小小学就有有了初步步认识，如如长方体体的体积积公式但如何何推导锥锥、台体体体积是是目前的的重要任任务三三种几何何体的体体积公式式的推导导有着密密切的联联系，教教学时要要不断强强化三者者之间的的关系，强强化借助助用已知知来研究究未知这这种探索索问题的的一般性性的研究究方法柱、锥锥体体积积公式推推导的理理论基础础是祖 原理为此，必必须将祖祖 原理理要求的的三个条条件务必必要落实实到位

3、，只只有这样样，棱柱柱、圆柱柱与长方方体之间间的体积积转化以以及一般般棱锥与与三棱锥锥之间的的体积转转化才能能水到渠渠成三三棱锥体体积公式式的推导导是本节节的重点点，也是是难点要充分分利用多多媒体，通通过课件件演示，生生动形象象地表现现三棱锥锥与三棱棱柱体积积之间的的关系，让让学生充充分体会会割补变变换这一一数学思思想最最后，利利用台体体的定义义，并紧紧扣台体体与锥体体的关系系，求出出台体体体积教学设计一、问题情情景在多媒体屏屏幕上播播出阿基基米德利利用水来来辨别金金王冠纯纯度高低低的故事事通过过这个故故事教师师指出，在在古代，人人们就对对体积的的求法进进行了探探索接接着指出出我国古古代在公公

4、元5世世纪对体体积曾进进行过比比较深入入的研究究，引出出祖 原原理二、建立模模型（一）祖 原理在屏幕上显显示祖 原理教师强调这这个原理理在欧洲洲直到117世纪纪才被意意大利的的卡瓦列列里提出出，比祖祖 之晚晚11000年以以上，目目的在于于激发学学生的爱爱国热情情1. 学生生讨论教师启发能能否根据据原理的的思想，利利用手中中的课本本等道具具把这个个原理解解释一下下2. 练习设有底面积积与高都都相等的的长方体体和六棱棱柱，思思考这两两个几何何体的体体积有何何关系说明：由于于祖 原原理条件件比较复复杂，学学生不易易弄清，教教师要把把已知条条件分析析清：（11）这两两个几何何体夹在在两个平平行平面面

5、之间（2）用用平行于于两个平平行平面面的任一一平面去去截两几几何体可可得两个个截面（3）两两个截面面的面积积相等只有这这三个条条件都具具备，才才能得出出两个几几何体的的体积相相等（二）柱体体体积公公式的推推导问题设有底面积积都等于于S，高高都等于于h的任任意一个个棱柱，一一个圆柱柱，如何何求这两两个几何何体的体体积？为了把这个个问题让让学生水水到渠成成地想出出来，可可以提出出以下几几个阶梯梯性的问问题（1）柱体体体积公公式目前前不知道道，那么么同学们们会求什什么特殊殊几何体体的体积积呢？（2）根据据刚才对对祖 原原理的研研究发现现，如果果两个几几何体满满足祖 原理中中的三个个条件，那那么这两两

6、个几何何体的体体积就可可以相互互转化柱体的的体积公公式目前前不会求求，能否否利用祖祖 原理理把目标标几何体体的体积积转化为为长方体体的体积积呢？教教师进一一步引导导：构造造一长方方体，使使已知的的棱柱、圆圆柱与构构造的长长方体满满足祖 原理的的条件（3）长方方体如何何出现呢呢？让学生讨论论得出：已知棱棱柱、圆圆柱目前前已经夹夹在两平平行平面面之间，并并且底面面积相等等，所以以只要在在两平行行平面之之间放一一个与前前面两几几何体底底面积相相等、高高相等的的长方体体即可根据祖祖 原理理这三个个几何体体的体积积相等，而而长方体体体积可可以利用用底面积积乘高求求得，故故两目标标几何体体的体积积也就得得

7、出了教师在大屏屏幕上显显示推导导过程：先把棱棱柱放在在两平行行平面之之间，然然后再让让长方体体出现，最最后动态态地显示示三个几几何体被被平行于于两个平平行平面面的任一一平面去去截两几几何体可可得三个个截面；三个截截面的面面积相等等教师明晰：柱体（棱棱柱、圆圆柱）的的体积等等于它的的底面积积S和高高h的积积，即VV柱体SSh练习已知一圆柱柱的底面面半径rr，高是是h，求求圆柱的的体积教师明晰：底面半半径为rr，高为为h的圆圆柱的体体积V圆圆柱SShr2h（三）锥体体体积公公式的推推导1. 等底底面积等等高的两两个锥体体的体积积的关系系问题（1）刚才才我们利利用祖 原理获获得了等等底面积积等高的的

8、柱体与与长方体体（两个个柱体）等等体积，那那么等底底面积等等高的两两个锥体体的体积积之间有有什么关关系呢？（2）你们们怎么知知道它们们的体积积是相等等的？（有的学生生会说是是估计的的）（3）能证证实你们们估计的的结论（猜猜想）吗吗？（有了前面面连续两两次用祖祖 原理理证明等等底等高高的两个个柱体体体积相等等，学生生的这个个猜想就就比较容容易再次次利用祖祖 原理理来证明明）师生共同分分析：用用祖 原原理设有任意两两个锥体体，不妨妨选取一一个三棱棱锥，一一个圆锥锥，并设设它们的的底面积积都是SS，高都都是h（如如图200-1）（1）把这这两个锥锥体的底底面放在在同一个个平面上由由于它们们的高相相等

9、，故故它们的的顶点必必在与平行的的同一个个平面上，即即这两个个锥体可可夹在两两个平行行平面，之之间（2）用平平行于平平面的的任意平平面去截截这两个个锥体，设设截面面面积分别别为S11，S2，截面面和顶点点的距离离是h11，体积积分别为为V1，V2，则由由锥体平平行于底底面的截截面性质质，知所以，故故S1S2由祖祖 原理理，知VV1V2（学生叙述述，教师师板书）结论：如果果两个锥锥体的底底面积相相等，高高也相等等，那么么它们的的体积相相等教师明晰：等底面面积等高高的两个个锥体的的体积相相等（由学生提提出问题题、分析析问题并并解决问问题，这这是对学学生高层层次的要要求当当学生达达不到这这个层次次时

10、，可可由教师师提出问问题，学学生分析析问题和和解决问问题教教师提出出问题后后要给学学生观察察、比较较、分析析、归纳纳、猜想想、发现现的时间间著名名数学教教育家波波利亚曾曾提出：只要数数学的学学习过程程稍能反反映出数数学发明明的过程程，那么么就应当当让猜想想、合情情推理占占有适当当的位置置猜想想后还要要严格地地证明，合合情推理理与逻辑辑推理并并重，既既教证明明又教猜猜想，这这才是解解决问题题的完整整过程）2. 锥体体体积公公式的推推导教师启发：上述定定理只是是回答了了具有等等底面积积、等高高的两个个锥体的的体积之之间的相相等关系系，但这这个体积积如何求求出，能能否像柱柱体那样样有一个个体积公公式

11、仍然然是一个个谜然然而它给给了我们们一个求求锥体体体积的有有益启示示：只须须找到一一个“简简单”的的锥体作作为代表表，如果果这个代代表的体体积求出出来了，那那么，根根据等底底面积等等高的两两个锥体体的体积积即可获获得其他他锥体的的体积问题（1）用怎怎样的“简简单”锥锥体作代代表来研研究呢？（2）如何何求这类类锥体的的体积呢呢？（此时学生生思考受受阻，可可由教师师启发）（3）任何何新知识识都是在在已知旧旧知识的的基础上上发展起起来的，现现在我们们已经能能求出柱柱体的体体积那那么三棱棱锥的体体积能否否借助柱柱体的体体积公式式来求呢呢？教师启发：可以尝尝试补成成三棱柱柱，然后后考虑三三棱锥与与三棱柱

12、柱之间体体积的关关系此时应该给给学生留留出充分分的时间间，让他他们在练练习本上上把如图图20-2三棱棱锥AABBC以底底面ABCC为底面面，AAA为侧侧棱补成成一个三三棱柱AABCABBC教师利用多多媒体把把这个三三棱柱补补出来（在在屏幕上上动态地地补出）（4）在三三棱柱中中，除三三棱锥AAAABC外外的几何何体是不不规则的的，如能能转化成成规则的的就好了了，如何何转化呢呢？教师启发：连接点点B，CC，就可可把这个个不规则则的几何何体分割割成两个个三棱锥锥教师利用屏屏幕动态态显示分分割过程程分割割三棱柱柱ABCCABCC得三三棱锥（11），（22），（33）如如图200-3（5）思考考一下分分

13、割而得得的三个个三棱锥锥之间有有何关系系？学生讨论得得出：体体积相等等（6）为什什么相等等？试简简要证明明（引导学生生思考两两个锥体体等体积积的依据据前面定定理的条条件：（1）等底底面积（2）等等高）师生共同分分析，同同时教师师板书：在三棱棱锥（22），（33）中，SSABAASSBAAB，又又由于它它们有相相同顶点点C，故故高也相相等，所所以V（22）VV（3）又在三三棱锥（33），（44）中，SSBCBBSSBCCC，它它们有相相同顶点点A，故故高也相相等，所所以V（33）VV（4），所所以V（22）VV（3）V（44）VV棱柱AABCABBCShh（7）一般般锥体的的体积又又如何呢呢？设

14、一般锥体体的底面面积为SS，高为为h师师生共同同得出VV锥体Sh（师师板书）（8）如何何对这一一结果进进行证明明？教师引导：构造一一个三棱棱锥，使使其底面面积为SS，高为为h，由由于等底底面积等等高的锥锥体的体体积相等等，故VV锥体VV三棱锥锥Sh三、应用与与拓展台体体积公公式的推推导已已知棱台台ABCCDEA1B1C1D1E1的上下下底面积积为S上上，S下下，高为为h，求求证V棱棱台（SS上S下）为了解决台台体体积积的求法法可问学学生下列列阶梯性性问题：（1）台体体是如何何定义的的？（2）台体体与被截截的棱锥锥的体积积有何关关系？（3）要求求的台体体体积，只只要求出出棱锥与与截后所所得小棱棱

15、锥的体体积即可可，要求求棱锥的的体积，有有那些条条件，还还缺什么么条件，如如何求呢呢？随着问题的的一个个个解决，思思路也就就水到渠渠成了（分析完思思路后，解解题过程程在大屏屏幕上打打出）教师明晰：台体体体积公式式：一般般地，棱棱台的体体积公式式是V棱棱台hh（S上上SS下），其其中S上上，S下下和分分别为棱棱台上底底面积、下下底面积积和高点评这篇案例重重在教师师启发下下，让学学生进行行一定量量的思维维活动在公式式的推导导过程中中，由于于教师的的阶梯式式提问，不不断创设设思维情情景，使使学生积积极参与与教学活活动，从从而使学学生的思思维品质质得到了了锻炼和和提高在锥体体积积公式推推导的过过程中，教教师不断断渗透联联系和转转化等数数学思想想在这这篇案例例中，体体现了两两次重要要的转化化，一次次是利用用祖 原原理将锥锥体体积积公式的的推导转转化为三三棱锥体体积公式式的推导导，简化化了研究究系统；一次是是利用割割补变换换建立了了三棱锥锥与三棱棱柱之间间的体积积关系其中，第第一次转转化是通通过逻辑辑推理实实现的，第第二次转转化是通通过图形形变换实实现的这篇案例之之所以突突出公式式形成的的过程，是是为了使使学生在在参与公公式的推推导过程程中能在在数学内内容、数数学方法法和思维维教育等等方面吸吸收更多多的营养养这篇案例使使用了计计算机辅辅助教学学，特别别是在体体