2018年高考数学总复习三角恒等变换

1、(完满word)2018年高考数学总复习三角恒等变换(完满word)2018年高考数学总复习三角恒等变换(完满word)2018年高考数学总复习三角恒等变换第三节三角恒等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，认识它们的内在联系.能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）.命题趋势研究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有浸透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型牢固，属中下档难度.考题

2、以观察三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：研究已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）.知识点精讲常用三角恒等变形公式和角公式sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tantan差角公式sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tantan倍角公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2tan22tan1tan2降次（幂）公式sincos1sin2;sin21cos2;cos21cos2;222半角公式sin1cos;cos1cos;2222ta

3、nsin1cos.1cossina2辅助角公式asinbcosa2b2sin(),tanb(ab0),角的终边过点(a,b)，特别a地，若asinbcosa2b2或a2b2，则tanb.a常用的几个公式sincos2sin();4sin32cos2sin();33sincos2sin();6题型65两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.例4.33证明(1)C:cos()coscossinsin;(2)用C证明S:sin()sincoscossin(3)用(1

4、)(2)证明T:tan()tantantan.1tan解析(1)证法一：如图432（a）所示，设角,的终边交单位圆于P(cos.sin),P(cos(),sin(),由余弦定理得122OP12OP222OP1OP2cos()PP12coscos()2sinsin()222cos()22(coscossinsin)22cos()C:cos()coscossinsin.证法二：利用两点间的距离公式.如图432（b）所示A(1,0),P1(cos,sin),P2(cos(),sin(),P(cos(),sin(),由OAPOPP;得，AP2133231PP.故(1cos()2(0sin()2cos(

5、)cos2sin()sin2,即1cos()2sin2()cos2cos22coscossin2sin22sinsin化简得cos()coscossinsin(2)sin()cos()cos()22coscos()sinsin()22cossinsincosS:sin()sincoscossin(3)tan(sin(sincoscossin)coscossinsincos(sincoscossincoscoscoscosT:tan()tantancoscossinsin1tan.tancoscoscoscos变式证明：(1)C:cos()coscossinsin;(2)S:sin()sinco

6、scossin(3)T:tan()tantan.1tantan题型66化简求值思路提示三角函数的求值问题常有的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转变为所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求别的一些角的三角函数值，解题要点在于“变角”，使其角相同或拥有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示；将已知条件转变而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时第一要解析已知条件和结论中各种角之间的互有关系，并依照这些关系来选择公

7、式.给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、引诱公式求角.一、化同角同函例4.34已知cos(x)3则sin2x2sin2x()451tanxA.7B.12C.11D.1825252525解析解法一：化简所求式sin2x2sin2x1tanx2sinxcosx2sin2xsinx1cosx2sinx(cosxsinx)cosx2sinxcosx.cosxsinx由cos(x)3得2cosx2sinx3,即cosxsinx32,两边平方得542255cos2xsin2x2sinxcosx18,即12sinxcosx18.2

8、525所以2sinxcosx7.应选.25解法二：化简所求式sin2x2sin2x2sinxcosxsin2x1tanxsin2(x)cos2(x)12cos2(x)7.应选.424425评解说法一运用了由未知到已知，单方向的转变化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.变式1若cos()1,cos()3,则tantan_.5541tan变式2若cos，是第三象限角，则2()51tan211C.2D.2A.B.22变式3（2012江西理）若tan1，则sin2().4111tan1A.B.C.D.5432二、建立已知角与未知角

9、的联系（经过凑配角建立）将已知条件转变而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时第一要解析已知条件和结论中各种角的互有关系，并依照这种关系来选择公式.常有的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，引诱等.和、差角变换如可变为()；2可变为()()；2可变为()例4.35若0,cos3)3的值为（）.2,sin(,则cos55A.1B.7C.24241或25D.2525解析建立未知角与已知角的联系，().解析解法一：coscos()cos()cossin()sin.因为(3cos()4(0,),sin4,)所以，则,0,sin22525,cos(4)3(3)424.555525解

10、法二：因为(,)，所示cos(1,0).2应选.评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()等.解题时，要注意依照已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号.变式1已知sin5,sin()10,(0,)则().5102A.5B.C.4D.1236变式2若(,3),(0,),cos()3,sin(3)5，则44445413sin()_.二、辅助角公式变换例4.36已知cos()sin43，则sin(7）.)的值为（656A.25B.25C.4D.45555解析将已知式化简，找到与未知式的联系.解析由题意，coscossinsinsin4356

11、63cos3sin3sin()43，得sin(46).22655所以sin(7)sin()sin()4.应选.6665变式1设sin14ocos14o,bsin16ocos16o,c6,则a,b,c的大小关系为2（）.A.abcB.bcaC.acbD.bac变式2设sin15ocos15o,bsin17ocos17o,则以下各式中正确的选项是（）.A.aa2b2B.aba2b22b2C.ba2b2D.baa2b22a2倍角，降幂（次）变换例4.37（2012大纲全国理7）已知为第二象限角，sincos3则3cos2().A.5B.5C.5D.53993解析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公

12、式求解.解析解法一：；因为sincos3所以(sincos)2133得2sincos2，即sin22.又因为为第二象限角且33sincos3(2k,2k3)(kZ).30，则42所以2(4k,4k3)(kZ).故2为第三象限角，2cos21(2)25.应选.33解法二：由为第二象限角，得cos0,sin0，cossin0,且(cossin)212sincos，又sincos3，则3(sincos)212sincos12sincos2，得(cossin)25，333所以cossin15，3cos2cos2sin2(cossin)(cossin)3(15)5.应选.333变式1若sin()1则co

13、s(2)().633A.7B.1C.1D.793394，则sin(27变式2（2012江苏11）设为锐角，若cos()的值省.6512为变式3已知sin(2)3,sin12且(,),(,0),求sin值.51322变式4若sin3,(,),tan()1，则tan(2)().522A.24B.7C.24D.7724724变式5已知sin1cos(0.)，则cos2_.，且2)2sin(4引诱变换例4.38若f(sinx)3cos2x，则f(cosx)().解析化同函f(cosx)f(sin(L)以便利用已知条件.解析解法一：f(cosx)fsin(x)3cos2(x)3cos(2x)3cos2x

14、.应选.22解法二：f(sinx)3cos2x3(12sin2x)2sin2x2则f(x)2x22,x1,1故f(cosx)2cos2x22cos2x13cos2x3.应选.变式1是第二象限角，tan(2)4，则tan_.3变式2若sin(5,cos2_.)(0,)，则cos()41324最有效训练题19（限时45分钟）1.已知函数f(x)sinx3cosx,设af(),bf(),cf()，则a,b,c的大小）.763关系为（A.abcB.cabC.bacD.bca2.若sin()1，则cos(2)().343A.1B.1C.7D.744883.若tan1，则cos(2)().424211B.D.A.5C.2524.已知tan()1,tan1，且,(0,)，则2().237C.,53,5A.B.D.44444445.函数ysin(x)(0)的部分图像如图433所示，设是图像的最高点，是图像与x轴的交点，则tanAPB().10.884C.D.776.函数ysinx3的最大值是（）.cosx4A.1B.1226C.4D.12262153157.已知tan()3，则sin22cos2_.4sinxsiny138.已知x,y满足，则cos(xy)_.cosxcosy159.3t