系统的稳定性和判定罗斯阵列

1、.6-6系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性,所以对系统稳定性的研究十分重要。本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。一、系统稳定性的意义若系统对有界激励f产生的零状态响应也是有界的,即当时,若有,则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时,稳定的定义不尽相同。这里的定义是有界输入、有界输出意义下的稳定。,否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。可以证明,系统具有稳定性的必要与充分条件,在时域中是系统的单位冲激响应h绝对可积,即6-36证明设激励f为有界,即式中,为有界的正实常数。又因有故有由此式看出,若满足则一定有证毕即也一定有界。式中为有界的正实常数。由式还可看出

2、,系统具有稳定性的必要条件是式和式都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性,它只取决于系统的结构与参数,与系统的激励和初始状态均无关。若系统为因果系统,则式和式可写为 二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定,可以在时域中进行,也可以在s域中进行。在时域中就是按式和式判断,已如上所述。下面研究如何从s域中判断。1.从H的极点即D=0的根分布来判定若系统函数H的所有极点均位于s平面的左半开平面,则系统是稳定的。若H在j轴上有单阶极点分布,而其余的极点都位于s平面的左半开平面,则系统是临界稳定的。若H的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面,则系统就是不稳定的；若在j轴上有重阶极点分布,则系统也

3、是不稳定的。2.用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否,必须先要求出H的极点值。但当H分母多项式D的幂次较高时,此时要具体求得H的极点就困难了。所以必须寻求另外的方法。其实,在判定系统的稳定性时,并不要求知道H极点的具体数值,而是只需要知道H极点的分布区域就可以了。利用罗斯准则即可解决此问题。罗斯判定准则的内容如下：多项式D的各项系数均为大于零的实常数；多项式中无缺项。这是系统为稳定的必要条件。若多项式D各项的系数均为正实常数,则对于二阶系统肯定是稳定的；但若系统的阶数n2时,系统是否稳定,还须排出如下的罗斯阵列。设则罗斯阵列的排列规则如下：阵列中第1、第2行各元素的意义不言而喻,第3行及

4、以后各行的元素按以下各式计算：如法炮制地依次排列下去,共有行,最后一行中将只留有一个不等于零的数字。若所排出的数字阵列中第一列的个数字全部是正号,则H的极点即全部位于s平面的左半开平面,系统就是稳定的；若第一列个数字的符号不完全相同,则符号改变的次数即等于在s平面右半开平面上出现的H极点的个数,因而系统就是不稳定的。在排列罗斯阵列时,有时会出现如下的两种特殊情况：阵列的第一列中出现数字为零的元素。此时可用一个无穷小量来代替该零元素,这不影响所得结论的正确性。阵列的某一行元素全部为零。当D=0的根中出现有共轭虚根时,就会出现此种情况。此时可利用前一行的数字构成一个辅助的s多项式P,然后将P对s求

5、导一次,再用该导数的系数组成新的一行,来代替全为零元素的行即可；而辅助多项式P=0的根就是H极点的一部分。例6-22 已知H的分母D=s4+2s3+3s2+2s+1。试判断系统的稳定性。解：因D中无缺项且各项系数均为大于零的实常数,满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下：可见阵列中的第一列数字符号无变化,故该H所描述的系统是稳定的,即H的极点全部位于s平面的左半开平面上。例6-23 已知。试判断系统的稳定性。解：因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数,满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下：可见阵列中的第一列数字符号有两次变化,即从+2变为-2,又从-2变为+21。故H

6、的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上,故该系统是不稳定的。例6-24 已知。试判断系统是否稳定。解：因D=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10中的系数均为大于零的实常数且无缺项,满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下：由于第3行的第一个元素为0,从而使第4行的第一个元素成为,使阵列无法继续排列下去。对于此种情况,可用一个任意小的正数来代替第3行的第一个元素0,然后照上述方法继续排列下去。在计算过程中可忽略含有,的项。最后将发现,阵列第一列数字符号改变的次数将与无关。按此种处理方法,继续完成上面的阵列：可见阵列中第一列数字的符号有两次变化,即从变为,又从变为6。故H的极点

7、中有两个极点位于s平面的右半开平面上,故系统是不稳定的。例6-25 已知。试判断系统的稳定性。解：因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数,满足系统为稳定的必要条件,故进一步排出罗斯阵列如下：可见第4行全为零元素。处理此种情况的方法之一是：以前一行的元素值构建一个s的多项式P,即将式对s求一阶导数,即现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行的元素,然后再按原方法继续排列下去。即可见阵列中的第一列数字符号没有变化,故H在s平面的右半开平面上无极点,因而系统肯定不是不稳定的。但到底是稳定的还是临界稳定的,则还须进行下面的分析工作。令解之得两个纯虚数的极点：。这说明系统是临界稳定的。实际上,若将D分解因式,即为可见H共有4个极点：,位于轴上；,位于s平面的左半开平面。故该系统是临界稳定的。例6-26图6-38所示系统。试分析反馈系数K对系统稳定性的影响。 图6-38解：解之得欲使此系统稳定的必要条件是中的各项系数均为大于零的实常数,故应