北京大学量子力学期末试题

1、 10/10北京大学量子力学期末试题 量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?= .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量

2、可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x = 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?=?-0 00 x x Axe x x 的状态，其中,0求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=? 其中= /j 6、一维自由运动粒子，在0=t

3、 时，波函数为 ()()x ,x =?0 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ? ?=V x V x V 中，求：E 0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ? ?=0 2 102 2x x x V X 6、粒子以动能E 入射，受到双势垒作用 ()a x ()x (V V x -+=0 求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。 7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态， 02 121=k kx V ) x ( （1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为 22kx V )X (= 随

4、即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率； （2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间后，势场又恢复成1V ，问取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。 8、设一维谐振子处于基态，求它的22 x p ,x ?，并验证测不准关系。 第四章 量子力学中的力学量 1、 若() )z ,y ,x (z y x V p p p H + =2 2221 证明：,x V i P ,H x ?= ,p i x ,H x -= 2、设 q )q (f ,i p ,q 是 =的可微函数，证明 （1） ,ihpf )q (f p ,q 22 = （2）;f p i )q (f p ,

5、p =2 2 3、证明 0+B ?,A ?,C ?A ?,C ?,B ?C ?,B ?,A ? 4、如果，B A ?,?是厄密算符 （1）证明 ( )B ?,A ?i ,B ?A ?n +是厄密算符； （2）求出B ?A ?是厄密算符的条件。 5、证明： +=-A ?,L ?,L ?,L ?!,A ?,L ?,L ?!A ?,L ?A e A ?e L ?L 3121 6、如果B ,A 与它们的对易子 B ?,A ?都对易，证明 B ?,A ?B A ?B ?A e e e 21+=? （提示，考虑(),e e e ) (f B ? A ? B ? A ? +-?=证明 f B ,A d df

6、 = 然后积分） 7、设是一小量，算符1 -A ?A ?和存在，求证 +=1112121111A ?B ?A ?B ?A ?A ?A ?B ?A ?A ?)B ?A ?( 8、如ni u 是能量n E 的本征函数（为简并指标i ），证明 ()?=+* 0d x u x p xp u nj x x ni 从而证明：?=ij nj x ni d xu p u i 2 9、一维谐振子处在基态 ()2 2 122/x a /e a x - = ? 求： （1）势能的平均值;X m A 222 1 = （2）动能的平均值;m /P T x 22= （3）动量的几率分布函数 其中 =m a 10、若证明,

7、iL L L y x = (1) =L ?L ?,L ?z 022=- +L ?,L ?L ?,L ? (2) 11+=lm lm Y C Y L ? 12-=lm lm Y C Y L ? (3) ()- -+=-L ?L ?L ?L ?L ?L ?y x 2 122 11、设粒子处于),(Y lm ?状态，利用上题结果求2 2 y x l ,l ? 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2X ?随时间的变 化为： ()() ()()()() 22 2 0000 2 21212t P p x X p XP X X x t x X X t ?+?-+ ?=? （注：自由粒子2

8、 x x P ,P 与时间无关）。 第五章 变量可分离型的波动方程 1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势 () 000+=B ,A ,r /A Br r V 其中，求粒子的能量本征值。 7、设粒子在半径为a ，高为h 的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位 能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。 8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示： ()2r A r e Z r += 其中，e Z 表示原子实的电荷，0A ，证明，电子在原子实电场中的能量为 () 2 2 241 2l nl n z e E +- = 而

9、l 为l 的函数，讨论l 何时较小，求出l 小时，nl E 公式，并讨论能级的简并度。 9、粒子作一维运动，其哈密顿量 ()x x V m p H +=22 的能级为) (n E 0，试用H ellm ann F eynm en -定理，求 m P H H x + =0 的能级n E 。 10、设有两个一维势阱 ()()x V x V 21 若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为() 2121,n E ,E n n = （1）证明n n E E 21 （提示：令()()211V V x ,V +-= （2）若粒子的势场 ?=b x KX b x Kb ) X (V 22212 1 中运动，试估

10、计其束缚能总数的上、下限 11、证明在规范变换下 ?*?= () ?*?-?-?*?=* A ?c q P ?P ?j 21 ? ? ?-=A ?c q P ? 不变。 12、计算氢原子中P D 23的三条塞曼线的波长。 13带电粒子在外磁场()B ,B 00= 中运动，如选 ? ? ?-=02121,xB ,yB A ?或),xB ,(A 00= 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。 14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场B 中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z 轴方向，电场方向为X 轴方向）。 第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论 1、列出下列波函数在动量表象中的表示

11、 （1）一维谐振子基态：()t i x a e a t ,x - = 222122 （2）氢原子基态：()t E i a r n e a t ,r 2031 - = 2、求一维无限深位阱（0 x a ）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 3、求在动量表象中角动量x L ?的矩阵表示。 4、在（z l ,l 2 ）表象中，求1=l 的空间中的x L ?的可能值及相应几率。 5、设)r (V p H + =22，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则 () =-n nm m n x E E 22 2 （提示：求 X ,X ,H ,X ,H 然后求矩阵元m X ,X ,H m ） 6、若矩阵A ，

12、B ，C 满足iA CB BC ,I C B A 2222 =-= （1）证明：0=+=+CA AC BA AB ； （2）在A 表象中，求B 和C 矩阵表示。 7、设),x (V p H x += 22分别写出x 表象和x P 表象中x p ,x 及H 的矩阵表示。 8、在正交基矢21,和3展开的态空间中，某力学量? ? ?=010100002a A 求 在态32121 212 1+=中测量A 的可能值，几率和平均值。 第七章 自 旋 1、设为常数，证明+=sin i cos e z i z 。 2、若() ,i y x =2 1 证明02= 3、在z 表象中，求n ?的本征态，()?cos

13、 ,sin sin ,con sin n 是) ,(?方向的单位矢。 4、证明恒等式：()()()() B A i B A B A ?+?=?其中B ,A 都与 对易。 5、已知原子 c 12 的电子填布为22 020221j )p ()s ()s (，试给出 （1）简并度； （2）给出jj 耦合的组态形式； （3）给出LS 耦合的组态形式； 6、电子的磁矩算符S e l e 0 02-=，电子处于z j ,j ,l 22的本征态j j m l 中，求磁矩。 j m j j z j j j m l m l =t 时，体系的自旋波 函数，以及自旋反向所需要的时间。 10、有三个全同粒子，可以处于

14、 321,三个单粒子态上，当 1213213211=n ,n ;n n n ;n 三种情形下的对称或反对称波函数 如何写？ 11、两个全同费米子体系处于一个二维方势阱中，假设两粒子间无相互作用， 求体系最低两上能级的能量和波函数。 ? ?-+= k ,a ,)x x (a )x x (k )x ,x (V 求体系的能量本征值及本征函数，按波函数的交换对称性分别讨论之。 第八章 量子力学中的近似方法 一、定态微扰论 1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：01E 及02E 现在受到微扰H ?的作用，微扰矩阵元为b ,a ,b H H ,a H H =22112112 都是实数， 用微扰公式求能量

15、至二级修正值。 2、一个一维线性谐振子受一恒力作用，设力的方向沿x 方向： （1）用微扰法求能量至二级修正； （2）求能量的精确值，并与（1）所得结果比较。 3、设在0H 表象中，H 矩阵表示为 ? ? ?*)()()(E b a b E a E 03020100 试用微扰论求能量的二级修正。 4、设自由粒子在长度为L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边条件 )L ()L (2 2=- 波函数的形式可取为 21022 200,n L n k kx sin L ,kx cos L ) () (= = -+ 设粒子还受到一个“陷阱”的作用 L a e V H a /x ) x (-=。t z 时

16、， 再加上沿x 方向较弱的磁场),B (B 001= 从而)B ,B (B B B 01100=+= ，求0t 时，粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”)(z 1=的几率。 四、散射问题 1、用玻恩近似法，求在下列势中的散射微分截面 （1）)a (e V )r (V ar 02 0=- （2）)a (e V ) r (V ar 00=- 2、用分波法公式，证明光学定量 T k )(f Im =40 3、设势场,r /V ) r (V 20=用分波法求l 分波的相移。 4、质量为的粒子束，被球壳势场散射。 )a r (V )r (V -=0 在高能近似下，用玻恩近似法计算散射振幅和微分截面。 5、求各分波相移l ，并和刚球散射的结果比较。 6、求中子一中子低能S )E (0波散射截面，设两中子间的作用为 ? ? ?=0 0210r a r V V