线性代数资料

1、雌性猫头鹰第k年的种群量记为。 分别表示雌性猫头鹰在幼年期、半成年期和成年期的数量。根据实际数据，R.Lamberson及其同事设计了下述模型： 或 这种方程被称为动力系统（或离散线性动力系统），描述系统随时间推移发生的变化。目的：剖析线性变换 的作用，把它分解为容易理解的元素。研究 在 时的情况 5.1特征向量与特征值线性变换可使向量往各个方向移动，但对某些特殊向量，A对它们的作用是很简单的。例1：设 ，则 （A仅仅是“拉伸”了v）。定义：为 矩阵，为非零向量，若存在数 使得 成立，则称为的特征值，称为对应于的特征向量。例2： 设，和 是否是的特征向量？解： 因此是特征值-4对应的特征向量，

2、而不是特征向量。例3：证明7是例2中矩阵的特征值，并求其对应的特征向量。解：数7是矩阵的特征值当且仅当方程 有非平凡解，上述方程等价于。 计算 方程有非平凡解，故7是特征值。故通解为 ，其为对应的特征向量注：不能用行化简来求特征值，矩阵的阶梯形通常不显示出其特征值。由上例可知数是矩阵的特征值方程有非平凡解注：所有解的集合就是矩阵的零空间，故而是的子空间，称为的对应于特征值的特征空间。特征空间由零向量和所有对应于的特征向量组成。图5.3显示特征空间及对每个特征空间的几何意义。例4： 设，的一个特征值是2，求对应的特征空间的一个基。解：计算行变换化简增广矩阵： 。方程的通解为：任意数从而2是特征值

3、，对应特征空间是的2维子空间，其一个基为：。注：已知特征值，手工计算特征向量方法如例4。但数值计算中的舍入误差有时会使简化阶梯形矩阵出现错误的主元素。 可准确求出特征值的几种特例：定理1： 三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。证明： 为简单起见，考虑的情形。假设是上三角矩阵，则 数是矩阵的特征值本例方程有非平凡解本例对角线元素至少一个为零之一故的特征值是。若A为下三角矩阵，见习题28。例5：设，的特征值为3，0，2。B的特征值是4和1。注：矩阵A有零特征值 有非平凡解 A是不可逆的 定理2：是矩阵相异的特征值，是与对应的特征向量，那么向量集合线性无关。证： 反证法。假设线性相关，则存在最小下标

4、，使得是线性无关向量的线性组合，即存在数使得 (1)两边乘A，则有 (2)因为线性无关，故有系数全为零。又因，因此只有，由（1）得，矛盾。 故线性无关。特征向量与差分方程的解的构造。取的一个特征向量和它对应的特征值 ，则 是方程的解。上式的线性组合也是方程的解，见习题33。5.2 特征方程例1：求的特征值。解： 是A的特征值 有非平凡解（逆矩阵定理） 不可逆（2.4节定理4）行列式为0，从而特征值是下列方程的解故从而A的特征值是3和-7。行列式设A是矩阵，是对做行替换和行交换（不做倍乘）所得到的任一阶梯形矩阵，是行交换的次数，则 例2：计算 的行列式。解： 故。或者故。定理： （可逆矩阵定理（

5、续）设是矩阵，则是可逆的当且仅当s. 0不是的特征值，t. 的行列式不等于零。注：如果是矩阵，那么是由的列向量生成的平行六面体的体积。 的列向量线性无关平行六面体的体积不等于零 可逆反之，的列向量非零且线性无关，则它们位于同一个平面或一条直线上。定理3：（行列式的性质）和是矩阵 可逆的充要条件是。 。 。 若是三角形矩阵，那么是主对角线元素的乘积。 对做行替换不改变行列式值。做一次行交换改变行列式符号一次。数乘一行 ，行列式值等于此数乘原来的行列式值。特征方程：数值方程称为的特征方程。数是矩阵的特征值数是特征方程的根例3：求 的特征方程。解： 特征方程，展开多项式，得。注1： 若是矩阵，则是n

6、次多项式，称为的特征多项式。注2：特征值的（代数）重数：作为特征方程根的重数。如例3中特征值5有重数2。例4：某矩阵的特征多项式是，求特征值及重数。 解：把多项式分解因式特征值是0（重数4），6（重数1），-2（重数1）。或说特征值是0,0,0,0,6,-2。注： 矩阵的特征方程是n次多项式，算上重根，方程恰好有n个根，可以有复特征值。（5.5节讨论）相似性：（特征多项式用途及特征值近似计算）定义：和是矩阵，如果存在可逆矩阵，使得或，则说相似于。注1：相似于，记，则，即也相似于。故我们简单地说和是相似的。注2：相似变换：变换。定理4：若矩阵和是相似的，那么它们有相同的特征多项式，从而有相同的特

7、征值（和重数）。证： 由和相似，有，则 由定理3（b），有注：相似性与行等价不是一回事。应用到动力系统：例5：设，分析由，所确定的动力系统的长期发展趋势。解：第一步：求的特征值，并找出每个特征空间的基。的特征方程是求得方程的根。 对应的特征向量是方程的非平凡解。 从而特征向量。对应的特征向量是方程的非平凡解。 从而特征向量。第二步：把表示为和的线性组合，即， 从而由，容易算出 从而有当时， 。注：结果与4.9节定理18比较。数值计算的注解：对的一般矩阵，没有公式或有限算法来求解其特征方程。可先估计特征值然后求得特征多项式。习题：19设是矩阵，并假设有个实特征值，特征值按其重数重复，因此。特别的

8、有。24. 证明，若和相似，则。21 判断对错： 的行列式值等于其对角线上元素的乘积。 （错）对做初等行变换不会改变的行列式的值。 （错） 。 （对） 若是的特征多项式的因子，则5是的特征值。 （错）22. 判断对错： 为矩阵，其列为，则等于由生成的平行六面体的体积。 （错） 。 （错） 的特征方程的根的重数称为特征值的代数重根。 （对） 对作行替换不会改变其特征值。 （对） 5.3 对角化目标：计算。例1：若，则，一般有，。 注：对角矩阵， 的计算较简单。例2：设，给定，其中，计算。解：根据矩阵乘法：一般对，。由，可得 注：如果方阵相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵和对角矩阵，有，则称可对角化。

9、对于可对角化矩阵，有。 定理5：（对角化原理）矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。事实上，为对角矩阵 存在个线性无关的列向量，使得 此时。 注：是的基，称为特征向量基。证：易知 “必要性”。假设可对角化，且，则。由上式，有。 因为可逆，故的列线性无关，从而它们是特征向量。 “充分性”。若有个特征向量，则有。若特征向量线性无关，则是可逆的，即有。矩阵的对角化例3：对角化下述矩阵。 解：矩阵对角化工作可分4步。第1步 求出的特征值 特征值是。第2步 求的3个线性无关的特征向量对于的基，。对于的基，。容易验证是线性无关的。 第3步 用第2步得到的向量构造矩阵向量次序不重要 第4步 用对应的特征值构造矩阵 特征值次序必须和矩阵的特征向量次序一致。可简单验证。例4：将矩阵对角化。解：特征方程，特征值是。对于的基，。对于的基，。由定理5，矩阵不能对角化。定理6: （矩阵对角化充分条件）有个相异特征值的矩阵可对角化。证：设是矩阵对应于个相异特征值的特征向量，由5.1节定理2，线性无关，因此由定理5，可对角化。注：不是必要条件，如例3.例5：可对角化，因为其特征值是5，0，-2，三个相异的特征值。特征值不是都相异的矩阵定理7：设是矩阵，其相异的特征值是。 对于，的特征空间的维数小于或等于的代数重数。 矩阵可