几何题中常用辅助线的作法

1、几何题中常用辅助线的作法稍微复杂一点的几何问题，总要添加辅助线，通过恰当的辅助线，我们可以较快地寻求证题的途径和方法，减少弯路，本文就初中几何常用的辅助线作一小结，并分别举例说明.连结即连结已知两点得到线段，这是几何中最基本，最常用的辅助线，通过连结两点可得三角形或四边形，如连结圆心和切点可得垂直关系，连结等腰三角形的顶点与底边中点可得垂直与平分.例1如图1，等腰ABC中，D为底边BC的中点，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE=DF.证：连结AD.AB=AC,D为底边BC的中点，AD平分BAC.又DEAB,DFAC,DE=DF例2如图2，已知O与O相交于A、B,从O上一点P作直线PA、PB

2、分别交O于C、D，PE是O的切线.求证：PEDC.证：连结AB。PE为切线，EPCABP.，ABP=C，EPC=C，PEDC.评注：相交两圆的公共弦对两圆中角的沟通作用很大，故在两圆相交的问题中，通常要尝试连结公共弦这条辅助线.二、延长（或截取）一般在证明两线段和（或差）等于第三条线段时，或者几条线段之间的关系时，都采用截长补短法，这里主要渗透了化归思想.例3已知P是ABC中A的外角平分线上任一点，求证：ABACPB+PC.证：如图3，延长BA至D，使AD=AC，连结PD，则APDAPC，所以PD=PC,在BPD中，有BDPBPD，ABACPB+PC.如图4，在正方形ABCD中，E、F是BC、

3、CD边上的两点，EAC=45，求证：EF=BEDF.证：延长CD至G，使DG=BE.AB=AD,B=ADG=Rt，ABEADG，AE=AG,BAE=DAG.BAE+FAD=45，FAD+DAG=45，EAF=FAG=45，AEFAFG，FG=EF，EF=FD+DG=FD+BE.三、平移即作平行线，利用线段的平行移动，可以构造许多可以利用的基本图形，如相似三角形、平行四边形等等，其缜密的思路有很强的启发性.例5如图5，已知AD是ABC的平分线.求证：.分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC，或BD、AB与DC、AC，所在的三角形相似，现在B、C、D三点共线，需要考虑用别的途径换比，在结论中

4、，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CEAD交BA的延长线于E.从而得到BD、DC、AB的第四比例项，这样只需要证明AC=AE就可以了，请同学们自己完成本题证明.例6已知，如图6，点D、E分别在BC、AB边上，AD、CE相交于F，AE:EB=1:3,BD:DC=2:1.求：的值.解：作DGCE交AB于G；作EHBC交AD于H，则.同理：=四、作垂线在圆中，遇到与弦有关的问题时，常常要过圆心作弦的垂线，以及证明一条直线是圆的切线时，要过圆心作直线的垂线.在等腰三角形中，作底边的高线，可利用等腰三角形三线合一的性质，等等.例7已知O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是、,求B

5、AC的度数.分析：如图7，由半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，联想到过O作弦AC、AB的垂线，同时考虑到AB、AC与OA的位置关系，需分类讨论，故本题有两解.简解：如图7所示，易求CAD=30，OAC=30.当AC、AB位于OA的同侧时，有BAC=15；当AC、AB位于OA两侧时，有BAC=75.五、作切线一般是两圆相切时，常作出过切点的公切线.例8如图8，O与O内切于点P，O的弦AB切于O于点C,PA、PB分别交于O点E、F,求证：PC平分APB.证：作两圆的公切线PT,连结CE,则B=TPA,ECP=TPAAB是O的切线，BCP=CEP.APCBPC，即PC平分APB.本题证法很多，

6、请同学们考虑其他证法，当两圆相切时，过切点作两圆的公切线，能将圆周角和弦切角进行转换来证题，这种转化的思想要认真体会并能灵活运用.六、补圆例9如图9，ABC中，AD平分BAC交BC于D.求证：AD=ABAC-BDCD证：作ABC的外接圆O，延长AD交O于E,连接BE,由相交弦定理，得ADDE=BDCD.在ABE和ADC中，BAD=CAD,E=C,ABEADC.，ADAE=ABAC,AD(AD+DE)=ABAC,AD=ABAC-ADDE= ABAC-BDCD.七、旋转变换运用旋转变换，能使已知或所求的部分线段集中到一个基本图形中，从而简便地解决问题.例10如图10，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2,PC=4,求ABC的边长.解：将BPA绕点B逆时针旋转60，则BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处，BM=BP，MC=PA，PBM=60，BPM是等边三角形，PM=PB=2.在MCP中，PC=4，MC=PA=2，PM=2，PG=PMMC且PC=2MC，MCP为Rt，且CMP90。CPM30.又MBP是等边三角形，BPM=60,故BPC=90，CBP是 Rt.BCPBPC=（2）