2022年人教版《一元二次方程(导学案)》学案

1、第二十一 一元二方程一二方的关念一新导导入课：情景：要设计一座高 人体雕使它的上部腰以上与下部腰)的高度比等于 下部与全部全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米问题 ：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系） 问题 ：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段 AB 示雕像的高度，雕像上部的高度表示为 AC,下部的高度表示为 在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题 ：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式 BC2=2AC问题 ：设雕像下部高 请说出你所列的方程，并化这个方程是一元一次方程 吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二

2、次方（板书课题）学习目：（1会设未知数，列一元二次方(2)了解一元二次方程及其根的概（3能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系学习重难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概.难点：寻找等量关系.二分学自学指：（1自学内容：教材第 1 页第 2 页的问题 、问题 2.（2自学时间5 分.（3自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方（4自学参考提纲：问题 要制作一个无盖的方盒四都要剪去一个相的正方形们设正方形边长为 x ，则盒底的宽为(x) ，盒底的长为100-2x) ，根据矩形的面积公式及方盒的底面积 cm 可方程为(x)(50-2把整理为课本上的方程吗？ 试说明

3、具体经过哪几步变形得先去括号 5000-100-200 x+42移项合并同类项 42-300+1400=0系数化为 1(边同除以 4) 2-75+350=0问题 ，本次排球比赛的总比赛场数为 场设邀请 x 支参赛，则每支队与其余 (x 支都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是 (x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程吗？试说明具体经过哪几步变形得. 去括号 x-12x=28系数化为 1(边同乘以 2) 2-x=56自学：生可参考自学指导进行自.助学：（1师助生：明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方.差异指导要明问题

4、单循环比赛与双循环比赛的区别不会寻找等量关系 的学生给予辅导，说明化简方程的基本要（2生助生：同桌之间、小组内交流、研强化：（1总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依 据（2练习：根据下列问题列方程一个圆的面积是 22，求半径. 一直角三角形的两条直角边相差 ，面积为 9cm2，求较长的直角边的12x(x4 个完全相同的正方形面积之和 ，求正方形边长 . x2=25一个长方形的长比宽多 2面积是 100求长方形的长 (-2)=100把长为 的木条分成两段较一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方 较短一段的长 x.x)2自学指：（1自学内容：教材第 3 页内容（

5、2自学时间5 分.（3自学方法：观察方程，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它 们共同的特.（4自学参考提纲：结合一元一次方程的定义请一元二次方程进行定义号两边都是整式只含有 一个未知数一元)，并且未知数的最高次数是 二次的方程，叫做一元二次方.一元二次方程的一般形式是 x2+b+c=0(a，什么要规定 a0？因为 时未知数的最高次数小于 同桌之间相互说说方程的二次项，二次项系数次项一项系数，常数项 各是什么.方程xx-4=0二次项x二次项系数1一次项2x一次项系数：2常数项：-4方程x-75x+350=0二次项x二次项系数1一次项：-75 一次项系数：常数项：350方程x-x二次项x

6、二次项系数：1一次项：一次项系数常数项：举例说明什么是一元二次方程的.自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？ 去括号，移项，合并同类自学：生可参考自学指导进行自.助学：（1师助生：明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符 （2生助生：生生互动交流、订正错强化:(1)交流总结：确定一元二次方程项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项合并同类项等步骤把化成一般形式通常习惯把二次项系数化为正数，且各项 系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符.(2)练习：将下

7、列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系 数及常数项：xx；x；解：原式化为 52-4x-1=0 解：原式化为 x二次项系数 一次项系数： 常数项 二项系数 次项系数 数项 x（x+2）=25-2)(x+1)=8x解：原式化为 4 解原式化为 x2-7+1=0二次项系数4 一项系数 常项： 二项系数 次项系数-7 常项：1若方+x=1 是于 的元二次方程 m 的值范围是 m0 且 1.三、评价学生的我评价（围绕三维目标节课你学到了哪些知识？还有什么惑？教师对生的评价：（1表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问 题等（2纸笔评价：课堂评价

8、检.教师的我评价（教学反思:(1)注重知识的前后联系，在温故知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律， 降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结 合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地.(3)增设例题难度，让学生产生困，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知(4)对于一元二次方程的根的概念成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分 析的过程，让学生在交流中体会成（时间：12 分钟满分 分一、基础巩固（70 分（10 ）一元二次方程 32=5x 的次项系数和一次项系数分别是C） ， 3 C. 3， 50（10 ）下列哪些

9、数是方程 x+ 的？4 ， ， 1 ， 1， 2 3 4.解：4，3（20 分将下列方程化成一元二次方程的一般形，并写出其中的二次项系数次 项系数和常数项.（132x ）25x；解：原式化为 32-6x解：原式化为 42+5二次项系数3一次项系数-6 常数项：1（3(xx10;解：原式化为 x2二次项系数1一次项系数0 常数项：10二次项系数4一次项系数5 常数项：（）2)(+1)=x(2x1).解：原式化为 x2+2x-2=0 二次项系数1一次项系数2常数项：-2（30 ）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形（1一个长方形的长比宽多 面积是 132cm,方形的长和宽各是多少？

10、解：设长方形的长为 x，则宽为(x-1)cm根据题意，得 x(x-1)=132，整理，得 x-132=0.2的平方的长方形解：设长方形的长为 xx根据题意，得 xx整理，得 502-25x（3参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 10 .有多少人参加这次聚 会？解：设有 x 人参加了这次聚会根据题意，得 x(x整理，得 x-二、综合应用（20 分（20 ）在一幅长 ， 矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm 是（ 2+130 x 2x，设金色纸边的宽为 x，则 x 满的程C. x-130-1400=0 D. 2-65 -350=0三、

11、拓展延伸（10 分（10 ）如果 是方程 x2-c=0 的个根，求常数 及程的另一个解：将 入原方程中,得 2，得 c=4.将 c=4 代入原方，得 x即方程的另一个根为角的平分线的性质（一）教目（）学识角平分线的画法、角平分线的性质 1（）力练求1掌握角平分线的性质 1 2会用尺规作一个已知角的平分线 （）感价观求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神 教重利用尺规作已知角的平分线角平分线的性质 教难角的平分线的性质 1教方引导发现、讲练结合法教准多媒体课件教过一提问，设境问题：图中哪条线段的长可以表示点 直线 的离 导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙

12、设计一个作角的平分线的操作方案吗？ 二合交 探究新知探 1想想下图是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC点 A 放在角的顶点AB 和 沿着的两边放下，沿 AC 画一条射线 ，AE 就是角平分线你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理生 1要明 AC 是DAC 的分，其实就是证明CAD=CAB生 2 和CAB 分在 和 中，那么证明这两个三角形全等就可以了生 3我看看条件够不够 ADBC DCAC 所以ADC（SSS所以CAD=CAB即射线 AC 就是DAB 的分线生 4原用三角形全

13、等，就可解决角相等线段相等的一些问题看来温故是可以 知新的试试老师再提出问题：通过上述探究能否总结出尺规已知角的平分线的一般方法自己动手做做看然后 与同伴交流操作心得（小完这活，师参到生动，时现题，予发指， 使评具针性讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：AOB求作：AOB 的分线作法：（1）以 O 为心，适当长为半作弧，分别交 OA、OB 于 、N（2）分别以 M 为圆心，大于12MN 的长半径作弧两弧在 内部交于点 （3）作射线 OC，射线 OC 即为求（教师根据学生的叙述作多媒课件演示使生能更直观地理解画法提高学习数 学的兴趣点拨：1在上面作法的第二步中，去“大于12MN 的”这个

14、条件行吗？2第二步中所作的两弧交点一在 的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解学严密性的良好 学习习惯）学生讨论结果总结：11去掉“大于 MN 的”这个件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平2分线2若分别以 M、N 为心，大于12MN 的为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB的内部也能在AOB 的外而我们要找的是 内部的交点否则两弧交点与顶点连 线得到的射线就不是AOB 的平线了3角的平分线是一条射线不线段也不是直线所以第二步中的两个限制缺一 不可4这种作法的可行性可以通过等三角形来证明探 2做做 师请同学们拿出准备好的折纸与剪刀自己动手剪一个角，把剪好的角对折

15、角 的两边叠合在一起再纸片展你到了什么？把对折的纸片再任意折一次后纸 片展开，又看到了什么？生我发现第一次对折后的折痕这个角的平分线折一次又会出现两条折痕而 且这两条折痕是等长的这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对师你的叙述太精彩了这明的平分线除了有平分角的性质还有其他性质今 我们就来研究这个问题做做 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论操作：1折出如图所示的折痕 PD、PE2你与同伴用三角板检测你们折的折痕是否符合图示要求画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画 PD、PE 否等长？ 拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的生同学乙的

16、画法是正确的学画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线不 是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求生甲噢，对，我知道了师同学甲，你再做一遍加深一印象教师提出问题你叙述所画图的性质吗？生回答后师进一步引导:观察操作 得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证证引导学生证明角平分线的性质 ，分清题设、结论，将文字变成符号并加以 证明（一生板演）说说 导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题 1：你能用文字语言叙述所图形的性质吗？生角平分线上的点到角的两边距离相等问题 2示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话学生通过讨论作出下列概括： OC 平分AOB，PDOA，PEOB，PD=PE于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等三用用、 如图，ABC 角平分线 BM、CN 相于点 P 此放到第二课时讲求证：点 P 到边 AB、BC、CA 距离相等师生共析点 P 到 AB、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点三边的距离也 就是说要证PD=PE=PF BM、CN 分别是B、C 的分线根据角平分线性质和等式 的传递性可以解决这个问