广东省广州市荔湾区统考2022年数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

1、2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1一个长方形的面积为，且一边长为，则另一边的长为（ ）ABCD2如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DEAC若SBDE：SADE=1:2.则SDOE：SAOC的值为（ ）ABCD3如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（4，4

2、）、D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，若点B的坐标为（3，1），则点A的坐标为（）A（0，3）B（1，2）C（2，2）D（2，1）4某商务酒店客房有间供客户居住当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是( )ABCD5如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠的面积之和是（ ）AnBn-1C4nD4（n-1）6函数y3（x2）2

3、4的图像的顶点坐标是（ ）A（3，4）B（2，4）C（2，4）D（2，4）7已知，若，则它们的周长之比是（ ）A4：9B16：81C9：4D2：38函数y与ykxk(k为常数且k0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()ABCD9-4的相反数是（ ）ABC4D-410已知二次函数，下列说法正确的是（ ）A该函数的图象的开口向下B该函数图象的顶点坐标是C当时，随的增大而增大D该函数的图象与轴有两个不同的交点二、填空题(每小题3分,共24分)11在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_12某计算机程

4、序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这个数据的平均数等于_.13方程的根是_.14一元二次方程的一个根为，另一个根为_.15如图，三个顶点的坐标分别为， 点为的中点以点为位似中心，把或缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为_16从0，1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积为0的概率是_.17如图所示，个边长为1的等边三角形，其中点，在同一条直线上，若记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则_.18如图，已知一块圆心角为270的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是_cm三、解答题(共66

5、分)19（10分）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4.(1)一次性随机抽取2张卡片，求这两张卡片上的数字之和为奇数的概率；(2)随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次取出的卡片上的数字之和等于4的概率.20（6分）如图，已知抛物线（a0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标21（6分）已知：二次函数，求证：无论为任何实数，该二次函

6、数的图象与轴都在两个交点；22（8分）如图，已知点B的坐标是（-2，0)，点C的坐标是（8，0)，以线段BC为直径作A，交y轴的正半轴于点D，过B、C、D三点作抛物线.（1）求抛物线的解析式；（2）连结BD，CD，点E是BD延长线上一点，CDE的角平分线DF交A于点F，连结CF，在直线BE上找一点P，使得PFC的周长最小，并求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使得GFC=DCF，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.23（8分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+ax+a（a0）交x轴于点A和点B（点A在点B左边），交y轴于点C，连接

7、AC，tanCAO1（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，D是第一象限的抛物线上一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90，得到线段DE（点B与点E为对应点），点E恰好落在y轴上，求点D的坐标；（1）如图1，在（2）的条件下，过点D作x轴的垂线，垂足为H，点F在第二象限的抛物线上，连接DF交y轴于点G，连接GH，sinDGH，以DF为边作正方形DFMN，P为FM上一点，连接PN，将MPN沿PN翻折得到TPN（点M与点T为对应点），连接DT并延长与NP的延长线交于点K，连接FK，若FK，求cosKDN的值24（8分）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点

8、，直线y x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交 线段CD于点E，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，请直接写出存在 个满足题意的点25（10分）如图，在等边ABC中，把ABC沿直线MN翻折，点A落在线段BC上的D点位置（D不与B、C重合），设AMN（1）用含的代数式表示MDB和NDC，并确定的取值范围；（2）若45，求BD：DC的值；（3）求证：AMCNANBD26（10分）如图，点A、B、

9、C、D、E都在O上，AC平分BAD，且ABCE，求证：参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据长方形的面积公式结合多项式除以多项式运算法则解题即可【详解】长方形的面积为，且一边长为，另一边的长为故选：A【点睛】本题考查多项式除以单项式、长方形的面积等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键2、B【分析】依次证明和，利用相似三角形的性质解题.【详解】，故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答3、C【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可【详解】解：在第一象限

10、内将线段CD缩小为线段AB，点B的坐标为（3，1），D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，C（4，4），端A点的坐标为：（2，2）故选：C【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.4、D【分析】设房价定为x元，根据利润房价的净利润入住的房间数可得【详解】设房价定为x元，根据题意，得故选：D【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系5、B【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和

11、【详解】解：如图示，由分别过点A1、A2、A3，垂直于两边的垂线，由图形的割补可知：一个阴影部分面积等于正方形面积的，即阴影部分的面积是，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：故选：B【点睛】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积6、C【详解】函数y3（x2）24的图像的顶点坐标是（2，4）故选C.7、A【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可【详解】ABCDEF，AC：DF=4：9，ABC与DEF的相似比为4：9，ABC与DEF的周长之比为4：9，故选：A【点睛】此题考查相似三角形性质

12、，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键8、A【解析】当k0时，双曲线y的两支分别位于一、三象限，直线ykxk的图象过一、二、三象限；当k0时，双曲线y的两支分别位于二、四象限，直线ykxk的图象过二、三、四象限；由此可得，只有选项A符合要求，故选A.点睛：本题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系反比例函数y= 的图象当k0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k0时，它的两个分支分别位于第二、四象限一次函数图象与k、b的关系：k0，b0时，图像经过一二三象限；k0，b0，b=0时，图像经过一三象限，并过原点；k0时，图像经过一二四象限；k0，b0时，图像经过二三四

13、象限；k0，b=0时，图像经过二四象限,并过原点.9、C【分析】根据相反数的定义即可求解.【详解】-4的相反数是4，故选C.【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义.10、D【分析】根据二次函数的性质解题【详解】解：A、由于y=x2-4x-3中的a=10，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意B、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该函数图象的顶点坐标是（2，-7），故本选项不符合题意C、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该抛物线的对称轴是x=2且抛物线开口方向向上，所以当x2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意D、由y=x2-4x-3知，=（-4

14、）2-41（-3）=280，则该抛物线与x轴有两个不同的交点，故本选项符合题意故选：D【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴交点的求法，配方法的应用等解答，难度不大二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目，全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小【详解】解：根据题意可得：标号小于4的有1，2，3三个球，共5个球，任意摸出1个，摸到标号小于4的概率是故答案为：【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A

15、出现m种结果，那么事件A的概率12、.【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法.13、【分析】由题意根据直接开平方法的步骤求出x的解即可【详解】解：，x=2，故答案为：【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解14、【分析】利用因式分解法解得方程的两个根，即可得出另一个根的值.【详解】，变形为：，或，解得：；，一元二次方程的另一个根为：.故答案为：.【点睛】

16、本题考查了解一元二次方程-因式分解法.15、或【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题.【详解】解：如图，在RtAOB中，OB=10，当AOB在第四象限时，OM=5,OM=,MM=当AOB在第二象限时，OM=5,OM=,MM=，故答案为或【点睛】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型16、【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与其乘积等于0的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：画表格得：共由20种等可能性结果，其中乘积为0有8种，故乘积为0的概率为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，

17、掌握列表法与树状图法是解题的关键.17、【分析】由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1，B2，B3，Bn在一条直线上，可作出直线BB1易求得ABC1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值【详解】如图连接BB1，B1B2，B2B3；由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1, B2，B3，Bn在一条直线上SABC1=1=BB1AC1， BD1B1 AC1D1，BB1C1为等边三角形则C1D1=BD1=；，C1B1D1中C1D1边上的高也为；S1=；同理可得；则=,S2=；同理可得：；=，Sn=【点睛】此题考查

18、了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用18、40cm【解析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可【详解】圆锥的底面直径为60cm，圆锥的底面周长为60cm，扇形的弧长为60cm，设扇形的半径为r，则=60，解得：r=40cm，故答案为:40cm【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解三、解答题(共66分)19、 (1)；(2).【分析】（1）先列出一次性随机抽取2张卡片的所有可能的结果，再找出两张卡片

19、上的数字之和为奇数的结果，最后利用概率公式计算即可；（2）先列出两次抽取卡片的所有可能的结果，再找出两次取出的卡片上的数字之和等于4的结果，最后利用概率公式计算即可；【详解】（1）由题意得：一次性随机抽取2张卡片的所有可能的结果有6种，即，它们每一种出现的可能性相等从中可看出，两张卡片上的数字之和为奇数的结果有4种，即故所求的概率为；（2）两次抽取卡片的所有可能的结果有16种，列表如下：第一次第二次12341234它们每一种出现的可能性相等从中可看出，两次取出的卡片上的数字之和等于4的结果有3种，即故所求的概率为.【点睛】本题考查了用列举法求概率，依据题意正确列举出事件的所有可能的结果是解题关

20、键.20、（1）；（2）P（1，0）；（3）M（1，）（1，）（1，1）（1，0）【分析】（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：AB点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；（3）由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MA=AC、MA=MC、AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线中，得：，解得：，故抛物线的解析式：（2）当P点在x轴上，P，A

21、，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x=1，故P（1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=1，设M（1，m），已知A（1，0）、C（0，3），则：=，=，=10；若MA=MC，则，得：=，解得：m=1；若MA=AC，则，得：=10，得：m=；若MC=AC，则，得：=10，得：，；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，）（1，1）（1，0）考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型21、见解析【分析】计算判别式，并且配方得到=，然后根据判别式的意义得到结论【详解】二次函数，而，即为任

22、何实数时， 方程都有两个不等的实数根，二次函数的图象与轴都有两个交点【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程22、（1）；（2）；（3）【分析】（1）由BC是直径证得OCD=BDO,从而得到BODDOC,根据线段成比例求出OD的长，设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),将点D坐标代入即可得到解析式；（2）利用角平分线求出，得到，从而得出点F的坐标（3,5），再延长延长CD至点，可使,得到(-8，8)，求出F的解析式，与直线BD的交点坐标即为点P，此时PFC的周长最小；（3）先假设存在，利用弧等圆周角相等把点D、F绕点A顺时针旋转

23、90，使点F与点B重合，点G与点Q重合，则Q1(7，3),符合，求出直线FQ1的解析式，与抛物线的交点即为点G1，根据对称性得到点Q2的坐标，再求出直线FQ2的解析式，与抛物线的交点即为点G2，由此证得存在点G.【详解】（1）以线段BC为直径作A,交y轴的正半轴于点D，BDO+ODC=90,OCD+ODC=90,OCD=BDO,DOC=DOB=90,BODDOC,B（-2，0)，C（8，0)，,解得OD=4(负值舍去)，D（0,4）设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),4=a(0+2)(0-8),解得a=，二次函数的解析式为y=(x+2)(x-8),即.（2）BC为A的直径，且B（-2，

24、0)，C（8，0)，OA=3,A(3,0),点E是BD延长线上一点，CDE的角平分线DF交A于点F，,连接AF，则,OA=3，AF=5F(3，5)CDB=90,延长CD至点，可使,(-8，8)，连接F叫BE于点P，再连接PF、PC，此时PFC的周长最短，解得F的解析式为，BD的解析式为y=2x+4,可得交点P.（3）存在；假设存在点G，使GFC=DCF，设射线GF交A于点Q,A(3，0),F(3，5),C(8，0),D(0，4),把点D、F绕点A顺时针旋转90，使点F与点B重合，点G与点Q重合，则Q1(7，3),符合，F(3，5),Q1(7，3),直线FQ1的解析式为，解，得，（舍去），G1；

25、Q1关于x轴对称点Q2(7，-3),符合，F(3，5),Q2(7，3),直线FQ2的解析式为y=-2x+11,解，得，（舍去），G2综上，存在点G或，使得GFC=DCF.【点睛】此题是二次函数的综合题，（1）考查待定系数法求函数解析式，需要先证明三角形相似，由此求得线段OD的长，才能求出解析式；（2）考查最短路径问题，此问的关键是求出点F的坐标，由此延长CD至点，使,得到点的坐标从而求得交点P的坐标；是难点，根据等弧所对的圆心角相等将弧DF旋转，求出与圆的交点Q1坐标，从而求出直线与抛物线的交点坐标即点G的坐标；再根据对称性求得点Q2的坐标，再求出直线与抛物线的交点G的坐标.23、（1）yx2

26、+x+1；（2）D的坐标为（1，1）；（1）【分析】（1）通过抛物线y先求出点A的坐标，推出OA的长度，再由tanCAO1求出OC的长度，点C的坐标，代入原解析式即可求出结论；（2）如图2，过点D分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为W和Z，证DZEDWB，得到DZDW，由此可知点D的横纵坐标相等，设出点D坐标，代入抛物线解析式即可求出点D坐标；（1）如图1，连接CD，分别过点C，H作F的垂线，垂足分别为Q，I，过点F作DC的垂线，交DC的延长线于点U，先求出点G坐标，求出直线DG解析式，再求出点F的坐标，即可求出正方形FMND的边长，再求出其对角线FN的长度，最后证点F，K，M，N，D共圆，推出

27、KDNKFN，求出KFN的余弦值即可【详解】解：（1）在抛物线y=中，当y0时，x11，x24，A（1，0），B（4，0），OA1，tanCAO1，OC1OA1，C（0，1），a1，a2，抛物线的解析式为：yx2+x+1；（2）如图2，过点D分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为W和Z，ZDWEDB90，ZDEWDB，DZEDWB90，DEDB，DZEDWB（AAS），DZDW，设点D（k，k2+k+1），kk2+k+1，解得，k1（舍去），k21，D的坐标为（1，1）；（1）如图1，连接CD，分别过点C，H作F的垂线，垂足分别为Q，I，sinDGH设HI4m，HG5m，则IG1m，由题意知，四边

28、形OCDH是正方形，CDDH1，CDQ+IDH90，IDH+DHI90，CDQDHI，又CQDDIH90，CQDDIH（AAS），设DIn，则CQDIn，DQHI4m，IQDQDI4mn，GQGIIQ1m（4mn）nm，GCQ+QCD90，QCD+CDQ90，GCQCDQ，GCQCDQ，n2m，CQDI2m，IQ2m，tanCDG，CD1，CG，GOCOCG，设直线DG的解析式为ykx+，将点D（1，1）代入，得，k，yDG，设点F（t，t2+t+1），则t2+t+1t+，解得，t11（舍去），t2，F（，）过点F作DC的垂线，交DC的延长线于点U，则，在RtUFD中，DF，由翻折知，NPMN

29、PT，MNPTNP，NMNTND，TPNMPN，TPMP，又NSKD，DNSTNS，DSTS，SNKTNP+TNS9045，SKN45，TPK180TPN，MPK180MPN，TPKMPK，又PKPK，TPKMPK（SAS），MKPTKP45，DKMMKP+TKP90，连接FN，DM，交点为R，再连接RK，则RKRFRDRNRM，则点F，D，N，M，K同在R上，FN为直径，FKN90，KDNKFN，FN，在RtFKN中，cosKDNcosKFN【点睛】考核知识点：二次函数综合题熟记二次函数基本性质，数形结合分析问题是关键.24、（1）（2）当时,的长最大（3）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）设点的坐标为、点的坐标为，列出，根据二次函数的图象性质求解即可；（3）分以为对角线时、以为对角线时、以为对角线时三种情况进行讨论求解即可【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点将、两点代入，得：抛物线的解析式为：（2）直线与轴交于点，与轴交于点点的坐