2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第7章 第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

1、 空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题1基本事实基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行2三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个

2、平面3空间中直线与直线的位置关系 eq blc(avs4alco1(共面直线blc(avs4alco1(相交直线，,平行直线，),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点)提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，他们关系也可能平行或相交4空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况5空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况6定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补常用结论1异面直线判定的一个定理与一个平面相交的直线和平面内不经过交点的直线是异面直线，如图所示2唯一性定理(

3、1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线

4、C不可能是平行直线D不可能是相交直线C由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾2下列命题正确的是()A两个平面如果有公共点，那么一定相交B两个平面的公共点一定共线C两个平面有3个公共点一定重合D过空间任意三点，一定有一个平面D如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点3如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法错误的是()AAB与CD是异面直线BGH与CD相交CEFCDD

5、EF与AB异面D把展开图还原成正方体，如图所示还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A、B、C选项正确，EF与AB相交，故D错误，选D.4两两平行的三条直线可确定_个平面1或3若三条直线在同一平面内，则确定1个平面若三条直线不共面，则确定3个平面 考点一基本事实的应用 eq avs4al(典例1)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD

6、1，CE与D1F必相交，设交点为P则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1又平面ABCD平面ADD1A1DAP直线DA，CE，D1F，DA共面、共线、共点问题的证明跟进训练1.如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.在BCD中， eq f(BG,GC) eq f(DH,HC) eq f(1,2)，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F，G，H四点

7、共面(2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线 考点二判断空间两直线的位置关系 eq avs4al(典例2)(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交(2)已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心A直线MN与直线A1B是异面直

8、线B直线MN与直线DD1相交C直线MN与直线AC1是异面直线D直线MN与直线A1C(1)D(2)C(1)法一：(反证法)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾故l至少与l1，l2中的一条相交法二：(模型法)如图，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确图图(2)如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1

9、B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，空间中两直线位置关系的判定方法跟进训练2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确结论的序号为_直线A

10、M与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线同理AM， 考点三正方体的切割(截面)问题 eq avs4al(典例3)(1)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A eq f(3r(3),4)B eq f(2r(3),3)C eq f(3r(2),4)D eq f(r(3),2)(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，平面经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面(1)A(2) eq f(9,2)(1)如图所示，在

11、正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN6 eq f(1,2) eq f(r(2),2) eq f(r(2),2)sin 60 eq f(3r(3),4).(2)如图，过点B作BMC1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点

12、N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面因为E为BC的中点，可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点由正方体的棱长为2，则BD2 eq r(2)，MN eq r(2)，且BMDN eq r(5)，等腰梯形MNDB的高为h eq r(（r(5)）2blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2) eq f(3r(2),2)，梯形MNDB的面积为 eq f(1,2)( eq r(2)2 eq r(2) eq f(3r(2),2) eq f(9,2).1.作截面应遵循的三个原则(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线2作交线的两种方法(1)利用基本事实3作交线；(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线跟进训练3如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线(1)画出l的位置；(2)设l