2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版课时分层作业63　离散型随机变量的分布列和数字特征

1、 课时分层作业(六十三)离散型随机变量的分布列和数字特征一、选择题1袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()A4B5C6 D5C“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.2设随机变量X的分布列为P(Xi) eq f(i,2a)(i1，2，3)，则P(X2)等于()A eq f(1,9) B eq f(1,6) C eq f(1,3) D eq f(1,4)C由分布列的性质，得 eq f(123,2a)1，解得a3，所以P(X2) eq f(2,23) eq f(1,3)

2、，故选C.3抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值与方差分别为()AE(X)0，D(X)1 BE(X) eq f(1,2)，D(X) eq f(1,2)CE(X)0，D(X) eq f(1,2) DE(X) eq f(1,2)，D(X)1A得分X的分布列为X11P0.50.5所以E(X)10.5(1)0.50，D(X)(10)20.5(10)20.51.4(2020全国卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且 eq o(,sup6(4),sdo6(i1)pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()Ap1p40.1，p

3、2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p40.3，p2p30.2B对于A，当p1p40.1，p2p30.4时，随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)10.120.430.440.12.5，D(X1)(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)20.4(42.5)20.11.520.10.520.40.520.41.520.10.65，所以 eq r(D（X1）) eq r(0.65).对于B，当p1p40.4，p2p30.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X2)10.420.

4、130.140.42.5，D(X2)(12.5)20.4(22.5)20.1(32.5)20.1(42.5)20.41.520.40.520.10.520.11.520.41.85，所以 eq r(D（X2）) eq r(1.85).对于C，当p1p40.2，p2p30.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E(X3)10.220.330.340.22.5，D(X3)(12.5)20.2(22.5)20.3(32.5)20.3(42.5)20.21.520.20.520.30.520.31.520.21.05，所以 eq r(D（X3）) eq r(1.05).对于

5、D，当p1p40.3，p2p30.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X4)10.320.230.240.32.5，D(X4)(12.5)20.3(22.5)20.2(32.5)20.2(42.5)20.31.520.30.520.20.520.21.520.31.45，所以 eq r(D（X4）) eq r(1.45).所以B中的标准差最大5(2021杭州市质检)已知随机变量满足P(x)axb(x1，0，1)，其中a，bR.若E() eq f(1,3)，则D()()A eq f(2,9) B eq f(5,9) C eq f(8,9) D eq f(11,9

6、)B由题意可知，P(1)P(0)P(1)abbab3b1，解得b eq f(1,3)，E()1P(1)0P(0)1P(1)(ab)0bab2a eq f(1,3)，解得a eq f(1,6).所以D() eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)2 eq f(1,6) eq blc(rc)(avs4alco1(0f(1,3)2 eq f(1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)2 eq f(1,2) eq f(5,9)，故选B.6(2021温州市高考适应性考试)若随机变量X的分布列是X0a1P eq f(a,2) eq f(1,2) eq f(1a,2)

7、则当实数a在(0，1)内增大时，()AD(X)增大BD(X)减小CD(X)先增大后减小DD(X)先减小后增大D法一：由题意得E(X)0 eq f(a,2)a eq f(1,2)1 eq f(1a,2) eq f(1,2)，D(X) eq f(a,2) eq blc(rc)(avs4alco1(0f(1,2)2 eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2 eq f(1a,2) eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)2 eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2 eq f(1,8)，则当实数a在(0，1)内增

8、大时，D(X)先减小后增大，故选D.法二：由题意得E(X)0 eq f(a,2)a eq f(1,2)1 eq f(1a,2) eq f(1,2)，随机变量X2的分布列为X20a21P eq f(a,2) eq f(1,2) eq f(1a,2)所以E(X2)0 eq f(a,2)a2 eq f(1,2)1 eq f(1a,2) eq f(a2a1,2)，所以D(X)E(X2)E(X)2 eq f(2a22a1,4) eq f(blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2,2) eq f(1,8)，所以当实数a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大，故选D.二、填空题7已知随机变量

9、的分布列为123P0.5xy若E() eq f(15,8)，则D()_ eq f(55,64)由分布列性质，得xy0.5.又E() eq f(15,8)，得2x3y eq f(11,8)，可得 eq blc(avs4alco1(xf(1,8)，,yf(3,8)D() eq blc(rc)(avs4alco1(1f(15,8)2 eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(2f(15,8)2 eq f(1,8) eq blc(rc)(avs4alco1(3f(15,8)2 eq f(3,8) eq f(55,64).8.如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的

10、最大信息量依次为2，3，4，3，2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X8)_ eq f(4,5)法一：(直接法)由已知得，X的取值为7，8，9，10，P(X7) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(1,5)，P(X8) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(1)C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(2),sdo1(2),C eq oal

11、(sup1(3),sdo1(5) eq f(3,10)，P(X9) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(1),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(2,5)，P(X10) eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(1),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(1,10)，X的概率分布列为X78910P eq f(1,5) eq f(3,10) eq f(2,5) eq f(1,10

12、)P(X8)P(X8)P(X9)P(X10) eq f(3,10) eq f(2,5) eq f(1,10) eq f(4,5).法二：(间接法)由已知得，X的取值为7，8，9，10，故P(X8)与P(X7)是对立事件，所以P(X8)1P(X7)1 eq f(C eq oal(sup1(2),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),C eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(4,5).9编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，则E()_，D()_11的所有可能取值为0，1，3，0表

13、示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(0) eq f(2,A eq oal(sup1(3),sdo1(3) eq f(1,3)；1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(1) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(3),A eq oal(sup1(3),sdo1(3) eq f(1,2)；3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(3) eq f(1,A eq oal(sup1(3),sdo1(3) eq f(1,6).所以的分布列为013P eq f(1,3) eq f(1,2) eq f(1,6)E()0 e

14、q f(1,3)1 eq f(1,2)3 eq f(1,6)1.D() eq f(1,3)(01)2 eq f(1,2)(11)2 eq f(1,6)(31)21.三、解答题10(2021北京高考)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有100人，已知其中2人感染病毒(1)若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 eq f(1,11)，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期

15、望E(X)；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)解(1)若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次由题意可得：X20，30.P(X20) eq f(1,11)，P(X30) eq f(10,11).可得分布列：X2030P eq f(1,11) eq f(10,11)E(X)20 eq f(1,11)30 eq f(10,11) eq f(320,11).(2)E(X)E(Y).11随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等

16、品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解(1)X的所有可能取值有6，2，1，2.P(X6) eq f(126,200)0.63，P(X2) eq f(50,200)0.25，P(X1) eq f(20,200)0.1，P(X2) eq f(4,200)0.02.故X的分布列为X

17、6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0 x0.29).依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1已知随机变量X的分布列如表：X101Pabc其中a，b，c0.若X的方差D(X) eq f(1,3)对所有a(0，1b)都成立，则()A0b eq f(1,3) B0b eq f(2,3)C eq f(1,b)b1 D eq f(2,3)b1D依题意，知a

18、bc1，故c1ab，当a(0，1b)时，E(X)ac1b2a，则D(X)E(X2)E(X)2ac(ca)2ac(ca)24ac4ac(ac)(ac)24a(1(1b)(1b)24a(1ba)令1bt，则t(0，1)，D(X)tt24a(ta) eq f(1,3)，a(0，t)，故4a24att2t eq f(1,3)0在a(0，t)上恒成立，当a eq f(t,2)时D(X)有最小值，故4 eq blc(rc)(avs4alco1(f(t,2)24 eq f(t,2)tt2t eq f(1,3)0，故t eq f(1,3)，即1b eq f(1,3)，所以b eq f(2,3)，又a，b，c0

19、，所以b1，即 eq f(2,3)b1，故选D.2已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止若检测一台机器的费用为1 000元，则所需检测费的均值为 ()A3 200元 B3 400元C3 500元 D3 600元C法一：设被检测机器的台数为X，则X的所有可能取值为2，3，4.因为P(X2) eq f(A eq oal(sup1(2),sdo1(2),A eq oal(sup1(2),sdo1(5) eq f(1,10)，P(X3) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup

20、1(2),sdo1(2)A eq oal(sup1(3),sdo1(3),A eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(3,10)，P(X4) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)A eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup1(2),sdo1(3)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),A eq oal(sup1(4),sdo1(5) eq f(3,5)，所以E(X)2 eq f(1,10)3 eq f(3,10)4 eq f(3,5) eq f(7,2)，所以所需检测费的均值为1 000 eq f(7,2)3 500(

21、元)，故选C.法二：设所需检测费为Y元，则Y的所有可能取值为2 000，3 000，4 000.因为P(Y2 000) eq f(A eq oal(sup1(2),sdo1(2),A eq oal(sup1(2),sdo1(5) eq f(1,10)，P(Y3 000) eq f(C eq oal(sup1(1),sdo1(2)C eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup1(2),sdo1(2)A eq oal(sup1(3),sdo1(3),A eq oal(sup1(3),sdo1(5) eq f(3,10)，P(Y4 000) eq f(C eq oal(su

22、p1(1),sdo1(2)A eq oal(sup1(1),sdo1(3)A eq oal(sup1(2),sdo1(3)C eq oal(sup1(1),sdo1(2),A eq oal(sup1(4),sdo1(5) eq f(3,5)，所以所需检测费的均值E(Y)2 000 eq f(1,10)3 000 eq f(3,10)4 000 eq f(3,5)3 500(元)，故选C.3某城市A公司外卖配送员底薪是每月1 800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X1，300，配送员每单提成3元；若X(300，600，配送员每单提成4元；若X(600，)，配送员每单提成4.5元B公司外卖配送

23、员底薪是每月2 100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y1，400，配送员每单提成3元；若Y(400，)，配送员每单提成4元小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当XY且X，Y(300，600时，比较f(

24、X)与g(Y)的大小；(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率()分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；()请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由解(1)因为XY且X，Y(300，600，所以g(X)g(Y)，当X(300，400时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1003X)X3000.当X(400，600时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)3000.故当X(300，400时，f(X)g(Y)，当X(400，600时，f(X)g(Y).(2)()甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820P eq f(1,15) eq

25、 f(1,5) eq f(2,5) eq f(1,5) eq f(1,15) eq f(1,15)则E(x)13 eq f(1,15)14 eq f(1,5)16 eq f(2,5)17 eq f(1,5)18 eq f(1,15)20 eq f(1,15)16.乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618P eq f(2,15) eq f(1,6) eq f(2,5) eq f(1,10) eq f(1,6) eq f(1,30)则E(y)11 eq f(2,15)13 eq f(1,6)14 eq f(2,5)15 eq f(1,10)16 eq f(1,6)18 eq f(1,3

26、0)14.()E(X)30E(x)480(300，600，E(Y)30E(y)420(400，).估计A公司外卖配送员月薪平均为1 8004E(X)3 720(元).估计B公司外卖配送员月薪平均为2 1004E(Y)3 780(元).因为3 7803 720，所以小王应选择做B公司外卖配送员1开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐

27、，第n天选择米饭套餐的概率为pn，给出以下论述：小明同学第二天一定选择面食套餐；p30.68；pn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN)；前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为 eq f(25,2)n eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)n.其中正确的是()A. B C DD在中，第1天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有80%的可能选择面食套餐，故错误；在中，第1天小明选择了米饭套餐，p30.80.80.20.20.68，故正确；在中，小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明

28、选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn，pn0.2pn10.8(1pn1)(n2，nN)，故正确；在中，当n1时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15 eq f(25,2)1 eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)1.当n2时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15150.2100.8 eq f(25,2)2 eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2.当n3时，前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15150.2100.8150.68100.32 e

29、q f(25,2)3 eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)3.由此猜想前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为 eq f(25,2)n eq f(25,16) eq f(25,16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)n，故正确故选D.2水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0p1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须经过B系统处理后直接排放该工厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放现有以下