线线角线面角二面角的讲义

1、.线线角与线面角一、课前预习TOC o 1-5 h z.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点且EF=3,AD、BC所成的角为.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60o和45o,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为；6痣2233(A),丁(B).T(C).6(D).6兀1.平面a与直线a所成的角为3，则直线a与平面a内所有直1线所成的角的取值范围是.如图,ABCD是正方形,口，平面ABCD,PD=AD,则UPA与BD所成的角的度数为(A).30o(B).45o(C).60o(D).90o.有一个三角尺ABC,ZA=3

2、0o,ZC=90o,BC是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45。角时,AB边与桌面所成角的正弦值是二、典型例题例1.(96全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60。角，求异面直线AD与BF所成角的余弦值.E【备课说明：1.求异面直线所成的角常作出所成角的平DE面图形.作法有:平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条直线平行线或利用中位线.补形法:把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】例2.如图在正方体AC1中,(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角；(2)

3、求A1B1与平面A1C1B所成的角.DBCi备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作A1平面的垂线.作垂线的方法常采用:利用平面垂直DBCiA的性质找平面的垂线.点的射影在面内的特殊位置.例3.已知直三棱住ABC-A1B1CLAB=AC,F为棱BB1上一点,BF：FB1=2：1,BF=BC=2a.(1)若D为BC的中点,E为线段ADA_3上不同于A、D的任意一点,证明：EFXFC1;(2)试问：产巨同若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面|MCBB1C1C成60。角，为什么?证明你的结论.1J/B1备课说明:这是一道探索性命题,也是近年

4、高考热点问题,解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,从而判断命题是否成立.一、知识与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。.二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面

5、角的大小。.判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.二、例题例1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点.(1)求证：人的，平面A1BD.(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值.解：(1)连AC,1平面ABCD,二CUBD.又ACXBD,人，8口.同理AC1XA1B21808口=8.,人，平面A1BD.(2)设正方体的棱长为，连AD1,AD1交A1D于E,连结ME,在1中，MEAC1,AAAAVAClXFffiA1BD.，.ME5FffiA1BD.连结B

6、E,则NMBE为BM与平面A1BD成的角.在中,ME=S=叵aBE=j号a+a2=够atan/MBE二ME二在22,N26，.BE2pA例2.如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，,1_必_使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P.c.(1)求证：面人8，面ABC；(2)求二面角C-BP-A的余弦值.闺1及证明(1)由题设知AP=CP=BP.点P在面ABC的射影D应是ABC的外心，即DeAB.VPDXAB,PDu面人8，由面面垂直的判定定理知，面人8，面ABC.(2)解法1取PB中点E,连结CE、DE、CD.VBCP为正三角形，.CEBD.BOD为等腰直角三角形，DE，PB.NCE

7、D为二面角C-BP-A的平面角.又由(1)知，面人8，面ABC,DCAB,AB二面ABPA人80由面面垂直性质定理，得口面ABP.ADCXDE.因此CDE为直角三角形.1_Lcos/CED=DE=-X=史CE=DE=-CE遮3设BC=1,贝IJ2,2,2.例3.如图所示，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，Ee吗，截面A-EC1侧面AC1.(1)求证：BE=EB1;(2)若AA1=A1B1,求平面A1EC与平面A1BC1所成二面角(锐角)的度数.证明：在截面A1EC内，过E作EGA1C,G是垂足，如图，面A】EC，面AC，.6，侧面人（：1.取AC的中点F,分别连结BF和FC,由AB=BC得BF

8、LAC.面ABC,侧面AC1，.BF，侧面AC1，得BFEG.BF和EG确定一个平面，交侧面AC】于FG.BE侧面AC1，BEFG,四边形BEGF是u,BE=FG.BEAAi，FGAAi，AAAAFGC.解：分别延长CE和ULBI交于点D,连结AD.丁NBiAiCi丁NBiAiCi=NBiCiAi=60NDAiCi=NDAiBi+NBiAiCi=90,即VCCX，面AiCiBj由三垂线定理得DA，AC,所以NCAC是所求二面角的平面角.且NACC=90.CC=AA=AB=AC,.NCAC=45,即所求二面角为45.说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法.三、作业:.TOC o 1-5 h

9、 z1.已知平面的一条斜线a与平面成角，直线b，且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A.有最小值，有最大值IB.无最小值，有最大值I。C有最小值，无最大值D.有最小值，有最大值。2下列命题中正确的是（D）A.过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B.过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D.过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45和30，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A30B20C15D12.设正四棱锥S-ABCD的侧棱长为血，底面边长

10、为,；3,E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A30B45C60D90.正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan2Q，则它的侧棱与底面所成的角为、；2.A是ABCD所在平面外的点，/BAC=ZCAB=ZDAB=60,AB=3，AC=AD=2.（I）求证：ABCD；（II）求AB与平面BCD所成角的余弦值.7.正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求:7.正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求:CE与底面BCD所成角的正弦值.解过A,E分别作AH,面BCD,E0,面BCD,H,。为垂足,.*.AH20E,AH,0E确定平面AHD,连结0C,NECO即为所求.,.AB=AC

11、=AD,.*.HB=HC=HD:BCD是正三角形，H是ABCD的中心，连结DH并延长交BC于F,F为BC的中点，图1-49在RtAADH中,.在四面体ABCD中，DAffiABC,ZABC=90,AECD,AFDB.求证：(1)EFDC；(2)平面DBC,平面AEF.证明如图1-83.(1)VADXffiABC.ADBC.又VZABC=90.BCAB.*.BCWDAB.DB是DC在面ABD内的射影.VAFDB.AAFCD（三垂线定理）.AA.VAECD.，.CD5FffiAEF.CDEF.VCDAE,CDEF./.CD，面AEF.VCDcWBCD.面AEF，面BCD.(3)由EF，CD,AEC

12、D，/AEF为二面角B-DC-A的平面XVAFXDB,AFCD,BDACD=D.，.AF5FffiDBC,二面角题目：如图所示，已知PA面ABC,Spbc=S，SS，二面角P-BC-A的平面角为0，求证：S-cos=SP2.如图，在空间四边形ABCD中，NBCD是正三角形，NABDA是等腰直角三角形，且/BAD=90，又二面角A-BD-C为直二面角，求二面角A-CD-B的大小。例3.设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点o,AC=BC=1,CD=、2,求（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2）二面角A-BC-D的大小；（3）异面直线AB和CD所成角的大小。例4.在正方体A

13、BCD-A，BCD中，M为AA的中点，求截面DMB与底面ABCD所成较小的二面角的大小。选用：如图，正方体的棱长为1，BCB。=。求：（1）A0与AC所成角；求：（2）A0与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面A0B与平面A0C所成角.解：（1）.AC/AC.A0与AC所成角就是/0AC丁0C10B,AB1平面BC.0C10A(三垂线定理)，.-0C二三,AC=2在RtA0C中，2:/0AC=30（2）作0EBC，平面BC1平面ABCD.0E平面ABCD,/0AE为0A与平面ABCD所成角,0E=1,AE=.1+(-)2=巨tan/QAE=空=15在RtA0AE中，2222AAE5(3)Vo

14、cLOA,OCLOB.OC_L平面AOB又OCu平面AOC：.平面AOB平面AOC即平面AOB与平面AOC所成角为90.二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：L定义法可见棱型|解法三垂线法Ai尸垂面法fJ积法1角定义法:不榛型|定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图，已知二面角。-a-8等于120,PAa,AEa,PBB,BB.求NAPB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD方形，PAi平面ABCD,PA=AB=a,求角B-PC-D的大小。二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到

15、一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，人，平面ABCD,侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，人，平面ABCD,侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面CDE与11面CDE所成二面角的正切值.A1D1Ci例、AABC中，NA=90。AB=4，AC=3，#1O就一6外二一点同在平面ABC内的射影是AB中点M二面角PACB的大小九4。求（1）二面角PBCA的大小；（2）二面角CPBA的大小.例、（2006年陕西试题）如图4,平面a，平面p

16、，aAp=l,AEa,Bep,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求：二面角A1-AB-B1的大小.图4三、垂面法：图4已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；4、3、岸，求二面角a例、空间的点P到二面角a/p的面a、p4、3、岸，求二面角a四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S#=S原cos0，其中0为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA，平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC

17、所成二面角的大小。BB例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。A1D：A1D：a，口五、平移或延长（展）线（面）法对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PAi平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。C1课前预习冗冗v660o2.A3,丁,24.C5.V典型例题例1解格.CBADNCBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD的边长为a，贝UBF=、2aVCBA

18、B,EBABAZCEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角.ZCBE=Z60o.CE=aFC=、nacosZCBF=丁例2解:(1)设所求的角为a冼证8口，平面ACC1A1,则sina=sinZOB1OC1B=BC1=2.故a=30o.(2)AIBCI是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1.棱锥B1-A1BC1是正三棱锥,过B1作85，平面A1BC1,连A1H,/B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=a则A1B=a.E在DA的延长线上，而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60。角.反馈练习4V5D2,D3.94.35.60o,90o6.45o7.解:(1)作DDZa于口连接ADZfBDf.CAa,，CADD，.四边形CADD是直角梯形,NCAD=ZDDA=90o,ABua,ABDD.又人8,8、98，平面BDD,BDu平面BDD;.AABB