福建省南安市柳城中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题含解析

1、外装外装订线请不要在装订线内答题内装订线PAGE PAGE 18福建省南安市柳城中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（共8题；共40分）1.设复数 z=(12i)i （i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若向量 a=(1,2) ， b=(0,1) ， kaA.-1B.12C.1D.23.已知正三角形ABC的边长为 2 ，那么 ABC 的直观图 AA.62B.34C.34.在 ABC 中， a=43 ， b=12 ， A=A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的

2、圆周在直径为 26A.45B.(8+63)C.1036.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则 MN=A.13AB+16ADB.14AB7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ） A.17斛B.25斛C.41斛D.58斛8.如图，为了测量B，C两点间的距离，

3、选取同一平面上A，D两点，已知 ADC=90A=60 ， AB=2 ， BD=26 ， DC=4A.43B.5C.65D.7二、多项选择题（共4题；共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是（ ） A.若复数 z=1+i1i （i为虚数单位），则 z30=1B.若复数z满足 z2R ，则 zRC.若复数 z=a+bi(a,bR)10.已知 ， 是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A.若 mn ， m ，则 nB.若 m ， =n ，则 mnC.若 m ， m ，则 D.若 m ， mn ， n ，则 11.下列结论正确的是（ ） A.在 ABC 中，若 AB

4、 ，则 sinAsinBB.在锐角三角形 ABC 中，不等式 b2+c2a20 恒成立C.在 ABC 中，若 C=4 ， a212.在 ABC 中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ） A.AB+ACAD=0B.DA+EB+FC=0C.若 AB|AB三、填空题（共4题；共20分）13.已知复数 z=3i1+i （i为虚数单位），则 14.已知向量 a ， b 夹角为 30 ， |a|=2 ， |b15.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 (a+b+c)(a+bc)=3ab ，且 a2=bc ，则 16.已知一个高为 3 的三棱锥，各侧棱长都相等，

5、底面是边长为 23四、解答题（共6题；共70分）17.己知向量 a ， b ， c 是同一平面内的三个向量，其中 a（）若 |c|=32 ，且 c（）若 b 是单位向量，且 a(a2b) ，求 a18.如图，在三棱锥 PABC 中， ACB=90 ， PA 底面ABC.M，N分别为PB，PC的中点. （1）求证： MN 平面ABC； （2）求证：平面 PCB 平面PAC； （3）若 PA=AC=CB=2 ，求三棱锥 NAMC 的体积 19.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin2（1）求角A的大小； （2）若 cosB=1320.已知复数 z1=2sinAsinC+

6、(a+c)i ， （1）求角B的大小； （2）若 b=22 ，求 ABC21.如图所示，在正方体 ABCDA（1）求AC与 A1（2）求证：平面 ACB1（3）若E，F分别为AB，AD的中点，求EF与平面 AB22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足 OC=（1）求证： AC（2）已知 A(1,cosx) ， B(1+cosx,cosx) ， x0,2答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.设复数 z=(12i)i （i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 A 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数

7、代数形式的混合运算 【解析】【解答】复数 z=(12i)i=2+i ，对应的点坐标为 (2,1) ，在第一象限. 故答案为：A. 【分析】先做复乘法，得到Z，再根据Z的坐标判断。2.若向量 a=(1,2) ， b=(0,1) ， kaA.-1B.12C.1D.2【答案】 B 【考点】向量的共线定理，平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】向量 a=(1,2) ， b kab又 kab 与 a+2故答案为：B. 【分析】先分别求出 kab3.已知正三角形ABC的边长为 2 ，那么 ABC 的直观图 AA.62B.34C.3【答案】 D 【考点】平面图形的直观图 【解析】【解答】如图， 直

8、观图 ABC 的底边 AB 故答案为：D 【分析】先画出三角形ABC的直观图，再根据原图与直观图之间的数量关系，即可求得。4.在 ABC 中， a=43 ， b=12 ， A=A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定【答案】 B 【考点】正弦定理 【解析】【解答】在 ABC 中， a=43 ， b=12 ， A=由正弦定理 asinA=bsin又 aa,可知，B有两上值，从而三角形有两解。5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为 26A.45B.(8+63)C.103【答案】 D 【考点】球的体积和表面积，球内接多面体 【解析】【解答】由题得圆柱的底面圆的半径为 (6所以圆柱的侧面积

9、为 2(故答案为：D. 【分析】先由勾股定理计算圆柱底面半径，进一步求解。6.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则 MN=A.13AB+16ADB.14AB【答案】 C 【考点】向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】 MAN=ACB ， MNA=BNC ， ANMCNB AMBC MN=故答案为：C. 【分析】由 由平行四边形，得到 ANMCNB ， 从而得出 AMBC7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内

10、墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ） A.17斛B.25斛C.41斛D.58斛【答案】 C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r ， 则 2r=10 ，解得 故米堆的体积为 141斛米的体积约为1.62立方尺， 2003故答案为：C. 【分析】先求得圆锥底面半径，然后求其体积，然后根据题意求解。8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知 ADC=90A=60 ， AB=2 ，

11、BD=26 ， DC=4A.43B.5C.65D.7【答案】 A 【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】解：在 ABD 中，由正弦定理可得 BDsinA=所以 sinADB=24所以 cos在 CBD 中，由余弦定理可得 B即 B所以 BC=43故答案为：A. 【分析】先在 ABD 由正弦定理求出 sinADB=24二、多项选择题（共4题；共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是（ ） A.若复数 z=1+i1i （i为虚数单位），则 z30=1B.若复数z满足 z2R ，则 zRC.若复数 z=a+bi(a,bR)【答案】 A,D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数

12、求模 【解析】【解答】解：对于A： z=1+i1i=(1+i)2(1i)(1+i)=i对于B：设 z=a+bi ， a,bR ，所以 z2=(a+bi)2=a2b2+2abi ，若 z2R复数 z=a+bi(a,bR) ，则z为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b0 ，C不符合题意；若复数z满足 |z|=1 ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，D符合题意；故答案为：AD 【分析】根据题意选项A先化简.复数z=1+i1i根据复数的周期性及其运算法则即可得出z30 ， 即可判断出正误.选项B举例z=i即可判断出正误.选项C.复数z=a+bi(a，bER)，则z为纯虚数的充要条件是

13、10.已知 ， 是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A.若 mn ， m ，则 nB.若 m ， =n ，则 mnC.若 m ， m ，则 D.若 m ， mn ， n ，则 【答案】 A,C,D 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解： 若 m ，则 a,b 且 ab=P 使得 ma ， mb ，又 mn ，则 na ， nb ，由线面垂直的判定定理得 n ，A对；若 m ， =n 如图，设 m=AB ，平面 A1B1C1D1 为平面 ， m ，设平面 AD垂直于同一条直线的两个平面平行，C对；若 m

14、， mn ，则 n ，又 n ，则 ，D对；故答案为：ACD. 【分析】对于A，根据直线垂直平等的性质，显然有n ， 所以A正确； 对于B，平行于平面的直线，不一定平等于平面内的任意直线，所以 B错； 对于C，根据同平行于一条直线的两个平面平行，所以C正确； 对于D，同垂直于两条平行直线的两个平面，一定是平行的，所以D正确。11.下列结论正确的是（ ） A.在 ABC 中，若 AB ，则 sinAsinBB.在锐角三角形 ABC 中，不等式 b2+c2a20 恒成立C.在 ABC 中，若 C=4 ， a2【答案】 A,B,C 【考点】解三角形，正弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】对A

15、，在 ABC 中，由 ABab2RsinA符合题意.对B，若 b2+c又因为 0A ，所以 A 为锐角，符合 ABC 为锐角三角形，B符合题意.对C， c2=a因为 a2c2=bc所以 sinB+sinsinB+即 cosB=22 ，又 0B故 A=4对D， S=12bca2所以 a=13又因为 13sin60故答案为：ABC 【分析】 根据题意直接利用正弦定理求出结果直接利用余弦定理求出结果直接利用余弦定理和关系式的变换求出结果直接利用三角形的面积公式的应用和三角形的边角关系的应用求出结果，从而得出答案。12.在 ABC 中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ） A

16、.AB+ACAD=0B.DA+EB+FC=0C.若 AB|AB【答案】 B,C,D 【考点】向量的加法及其几何意义，平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】如图所示： 对A， AB+对B， DA=1对C， AB|AB| ， AC|AC| ， AD|由平面向量加法可知： AB|AB|因为 AB|AB|+AC又因为AD为BC的中线，所以 ADBC ，如图所示：BA 在 BC 的投影为 |BA所以 BD 是 BA 在 BC 的投影向量，C符合题意.对D，如图所示：因为P在AD上，即A ， P ， D三点共线，设 BP=tBA+(1t)又因为 BD=12因为 BP=BA+BC ，则 令 y=lm=

17、t1t当 t=12 时， 取得最大值为 故答案为：BCD 【分析】对于A，根据平行四边形法则，AB+AC2AD, 故A错； 对于B，由三角形法则，及向量的加法与数乘，可以推出，B正确； 对于C，首先由邻边相等的平行四边形是菱形，得到AD是角平分线，得到AD与垂直，再四投影的概念，得到结果正确；三、填空题（共4题；共20分）13.已知复数 z=3i1+i （i为虚数单位），则 【答案】5【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【解答】 z=3iz=1+2i ， |z|=12 【分析】先做复数除法，化简Z，再求模。14.已知向量 a ， b 夹角为 30 ， |a|=2 ， |b【答案】

18、2【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】因为向量 a ， b ，夹角为 30 ， |a|=2所以 |2a所以 |2a+b|2 【分析】将 |2a+15.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 (a+b+c)(a+bc)=3ab ，且 a2=bc ，则 【答案】2【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】 (a+b+c)(a+bc)=3ab ， a2 cosC=a2+b2c2 basinA 【分析】先由余弦定理求出角C=16.已知一个高为 3 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 23【答案】93；【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析

19、】【解答】由题意，三棱锥 PABC 如图所示： 取BC的中点E ， 连接AE、PE ， 由正三角形的性质可得 ABC 的中心O在线段AE上，且 OE=1连接PO ， 则PO即为该三棱锥的高，即 PO=3 ，所以 PE=又 PB=PC ，所以 PEBC ，所以 SPBC又 SABC所以三棱锥的表面积 S=S所以该三棱锥的体积 V1当球与三棱锥 PABC 内切时，体积最大，设三棱锥 PABC 的内切球的半径为R ， 则 V1=1则 Vmax=43 【分析】显然，当球与三棱锥内切时，体积最大，然后根据题意此棱锥是一个正三棱锥，不难求出其高，进而求得体积。四、解答题（共6题；共70分）17.己知向量

20、a ， b ， c 是同一平面内的三个向量，其中 a（）若 |c|=32 ，且 c（）若 b 是单位向量，且 a(a2b) ，求 a【答案】 （）设 c=(x,y) ，由 |c|=32 ，且 ca 可得 故 c=(3,3) ，或 （）因为 |a|=2 ，且 a(a所以 22ab=0 ， a【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】【分析】（1）由c 的模及与向量a平行，由平行向量的关系，求得 c 的坐标； （2）先设出b的坐标式，由其模为1及 a(a218.如图，在三棱锥 PABC 中， ACB=90 ，

21、 PA 底面ABC.M，N分别为PB，PC的中点. （1）求证： MN 平面ABC； （2）求证：平面 PCB 平面PAC； （3）若 PA=AC=CB=2 ，求三棱锥 NAMC 的体积 【答案】 （1）证明： M，N分别为PB，PC的中点，所以 MNBC ， BC 平面ABC， MN 平面ABC，所以 MN 平面ABC；（2）PA 底面ABC， BC 平面ABC，所以 PABC ， 因为 ACB=90 ，所以 ACBC ，又 PAAC=A ，所以 BC 平面PAC， BC 平面ABC，所以平面 PCB 平面PAC；（3）由（2）知， MNBC ， BC 平面PAC，所以 MN 平面PAC，

22、MN=1在三角形PAC中， AN=2 ， NC=2 ， 所以 VNAMC【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）利用MN是三角形的中位线，得到MN|BC，进面得到MN|平面ABC； （2）由题意知道可以推出BC平面PAC，从而有MN平面ACP， 进一步得到平面 PCB 平面PAC。19.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin2（1）求角A的大小； （2）若 cosB=13【答案】 （1）解：由正弦定理可得 b2由余弦定理得 os A=b2+c（2）由（1）可知 sinA=22 ，因为 cosB=1故 sin=2由正弦定理 asinA=【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1）由正弦定理与余弦定理求得A A=（2）由cosB的值，求出sinB的值，由三角形内角和定理及诱导公式，求出sinC,再由正弦定理求得c的值。20.已知复数 z1=2sinAsinC+(a+c)i ， （1）求角B的大小； （2）若 b=22 ，求 ABC【答案】 （1） z1=z2 ， 由得 2(cosAcos cosB=12 ， 0B（2） b=22 ，由余弦定理得 b2=由