数学经典问题市公开课获奖课件

1、一 周髀算经与勾股定理1第1页第1页1、周髀算经是中国现存最早一部数学典籍，成书时间大约在两汉之间 (纪元之后)。也有史家认为它出现更早，是孕于周而成于西汉，甚至更有些人说它出现在纪元前10。严格说来，周髀算经是一部天文著作，为讨论天文历法，而叙述一些相关数学知识，其中主要题材有勾股定理、百分比测量与计算天体方位所不能避免分数四则运算。 2、周髀算经九章算术孙子算经数书九章3、勾股定理=百牛定理=毕达哥拉斯定理2第2页第2页第24届“国际数学家大会”（ICM）International Congress of Mathematicians 3第3页第3页4第4页第4页为北京“国际数学家大会”发

2、行纪念邮资明信片 JP1085第5页第5页第24届“国际数学家大会”会标宋刻本周髀算经， （上海图书馆藏）6第6页第6页案例 2 勾股定理毕达哥拉斯定理（尼加拉瓜，1971） 7第7页第7页周髀算经中 “勾股定理”（约公元前7）周髀算经卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量对话，商高答周公问时提到“勾广三 股修四 经隅五”，这是勾股定理特例。 卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）对话中，则包括了勾股定理普通形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”8第8页第8页 中国数学史上最先完毕勾股定理证实：公元3世纪三国时期赵爽。 赵爽注周髀算经，作“

3、勾股圆方图”，其中 弦图，相称于利用面积“出入相补”办法，证实了勾股定理。如图9第9页第9页10第10页第10页勾股定理“证实”既有约500余种 由于勾股定理主要性，尽管该定理早已被证实，许多人仍然愿意摸索该定理新证实。 至今，已发觉勾股定理各种“证实”约500余种 仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十各种精彩证法。这是任何定理无法比拟。 11第11页第11页重点推介下面四种证实 一、古希腊证法二、赵爽证法三、总统证法四、刘徽证法12第12页第12页几何原本欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）欧几里得几何原本是用公理办法建立演绎体系最

4、早典范。证实一就是取材自几何原本第一卷第 47 命題。13第13页第13页证实一14第14页第14页证实一15第15页第15页证实一16第16页第16页证实一17第17页第17页证实一18第18页第18页弦图赵爽东汉末至三国時代吴国人为周髀算经作注，並著有勾股圆方图说。19第19页第19页证实二ba(a + b)2=c2 + 4(ab)a2 + 2ab + b2=c2 + 2aba2 + b2=c2c20第20页第20页证实二cb a c2=(a b)2 + 4(ab)=a2 2ab + b2 + 2abc2=a2 + b221第21页第21页美国总统证实加菲（James A. Garfiel

5、d； 1831 1881）1881 年成为美国第 20 任总统1876 年提出相关证实22第22页第22页证实三 (a + b)(b + a)=c2 + 2(ab) a2 + ab + b2=c2 + aba2 + b2=c2aabbcc23第23页第23页出入相补刘徽（生于公元三世纪）三国魏晋时代人。魏景元四年（即 263 年）为古籍九章算术作注释。在注作中，提出以出入相补原理来证实勾股定理。後人称该图为青朱入出图。24第24页第24页a2b2证实四25第25页第25页证实四26第26页第26页证实四27第27页第27页證明四28第28页第28页證明四c2 a2 + b2 = c229第29

6、页第29页练习：1、某人欲横渡一条河，由于水流影响，事实上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流宽度为_。 2、在一棵树10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处池塘A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假如两只猴子所通过距离相等，则这棵树高_米。3、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸说法中正确是A. 小丰认为指是屏幕长度; B. 小丰妈妈认为指是屏幕宽度;C. 小丰父亲认为指是屏幕周长;D. 售货员认为指是屏幕对角线长度30第30页第30页二、 中国剩余定理与大衍求一术 Chinese Remainder Th

7、eorem =孙子定理=余数定理 韩信点兵；物不知数31第31页第31页 韩 信 点 兵 韩信是汉高祖刘邦手下大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝建立立下了卓绝功绩。听说韩信数学水平也非常高超，他在点兵时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从至报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他不久就算出了自己部队士兵总人数，而敌人则始终无法弄清他部队终归有多少名士兵。 这个故事中所说韩信点兵计算办法，就是现在被称为“中国剩余定理”一次同余式解法。它是中国古代数学家一项重大创造，在世

8、界数学史上含有主要地位。 32第32页第32页物 不 知 数“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何 ” 摘自南北朝时期数学著作孙子算经 孙子算经给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为： M=702+213+152-1052=23其中70、21、15和105这四个数是关键，以后数学家把这种解法编成了下列一首诗歌以便于记诵： “三人同行七十（）稀， 五树梅花二一（）枝。 七子团圆正半月（）， 除百零五（）便得知。” 33第33页第33页 大衍求一术 孙子算经“物不知数”题即使开创了一次同余式研究先河，但由于题目比较简朴，甚至用试猜办法也能求得。 真正从完整计算程序

9、和理论上处理这个问题，是南宋时期数学家秦九韶。秦九韶在他数书九章中提出了一个数学办法“大衍求一术”，系统地叙述了一次同余式组解法基本原理和普通程序。 秦九韶为何要把他这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是由于其计算程序关键问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗地说，就是求“一个数多少倍除以另一个数，所得余数为一”。 34第34页第34页那么为何要“求一”呢？ 我们能够从“物不知数”题几种关键数字、中找到下列规律：其中70是5和7倍数，但被3除余1；21是3和7倍数，但被5除余1；15是3和5倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要依据这个规律求出那几种关键数字，那么这个一次同余

10、式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”完整过程。 直到此时，由孙子算经“物不知数”题开创一次同余式问题，才真正得到了一个普遍解法.35第35页第35页 从孙子算经到秦九韶数书九章对一次同余式问题研究结果，在世纪中期开始受到西方数学界注重。年，英国传教士伟烈亚力向欧洲简介了孙子算经“物不知数”题和秦九韶“大衍求一术”；年，德国人马蒂生指出，中国这一解法与西方世纪高斯算术探究中关于一次同余式组解法完全一致。从此，中国古代数学这一创造逐步受到世界学者瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。 解题依据：1、假如被除数增长（或

11、减少）除数若干倍，除数不变，那么余数也不变；2、假如被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）同样倍数。36第36页第36页例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 解:题中3、4、5三个数两两互质。 则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。 为了使20被3除余1，用202=40； 使15被4除余1，用153=45； 使12被5除余1，用123=36。 然后，401452364=274， 由于，27460，因此，274604=34，就是所求数37第37页第37页练习测试题 1、某数被4除余3，被5除少2，被7除少4，这个数最小是

12、多少？2、一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？3、一个班学生分组做游戏，假如每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？4、一个数除以5余2，除以3余1，那么这个数除以15所得余数是几？5、一个圆圈上有几十个孔（不到100个），张明像玩跳棋同样，从A孔出发沿逆时针方向，每隔几种小孔跳一步，希望一圈以后能跳到A孔.他试着每隔2孔跳一步，结果只能回到B孔，他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好回到A孔。你知道这个圆圈上共有多少孔吗？38第38页第38页三、 兔子问题与黄金分割39第39页第39页 1 兔子问题 1）

13、问题 取自意大利数学家斐波娜契算盘书（12） 假如一对兔子每月生一对兔子；一对 新生兔，从第二个月起就开始生兔子；假定 每对兔子都是 一雌一雄，试问 一对兔子， 一年 能繁殖成 多少对兔子 ？40第40页第40页 2） 列表考察兔子逐月繁殖情况月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子 144 对，小兔子 89 对，共有兔子 144 + 89 = 233 对 。41第41页第41页42第42页第42页斐波那契数列递推公式：通项公式：前后项比：43第43页第43页 斐波那契数

14、列构成分数数列 极限正是 。 44第44页第44页四、 费尔马定理45第45页第45页 为何一个数学表示式，就能出一张邮票？ 邮票上这个数学表示式，有什么主要意义？46第46页第46页费马在丢番图算术一书页边批注中，“证实”过定理（公元1670年其子出版）希尔伯特：“一只会下金蛋母鸡”费马： “我已找到了一个奇妙证实，但书边空白太窄了，写不下。” （法国，）47第47页第47页这是一个被希尔伯特称为“会下金蛋母鸡”这是一个让引车卖浆之流趋之若骛 数学猜想这是一个令“无数英雄竞折腰”数学猜想费尔马业余数学家之王，贵族出身，清廉法 官，兴趣：旁批提猜想怀尔斯腼腆英国男子，蜗居阁楼，七年面壁，一鸣惊

15、人（1993年7月28日，与戴安娜一道获People杂志最具魅力者，普林斯顿大学系主任成接线生，美国防部长休会，影星沙郎.斯通发e-mail)48第48页第48页 法国人费尔马（PierredeFermat，1601-1665）是位律师，但他又是数学史上最伟大业余数学家。以他名字命名费尔马大定理已有400多年历史。有些人认为，费尔马大定理是比哥德巴赫猜想更著名世界数论难题。 费尔马是否真证出了这个结论，现在无从知晓，反正，后人没有见到过费尔马在别地方写下这个结论证实。300多年来，一个高中生就能够理解定理，成了数学界最大悬案。 这个问题吸引了诸多优秀数学家和业余数学兴趣者，法国科学院曾于18和

16、1850年两次悬赏征解，德国也于19悬赏十万马克征解。应征者络绎不绝，但提出解法都是错误。长期来，人们既不能证实它，也未能否认它，只能对于许多给定整数n来证实其成立。 49第49页第49页 欧拉，18世纪最伟大数学家之一，在那本特殊版本算术中别地方，发觉费尔马隐蔽地描述了对4次幂一个证实。欧拉将这个模糊不清证实从细节上加以完善，并证实了3次幂无解。但在他突破之后，索非热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔拉梅等几种法国人再次取得突破时，距离费尔马写下那个定理已通过去了快要2，而他们才仅仅又证实了5次幂和7次幂。 上一世纪50年代，我国著名数学家华罗庚在他数论导引一书中写道：“所可言者，只于2小于n

17、小于619时，此定理已经证实。即此甚微之结果，亦已耗却颇多数学家之脑汁矣。”但是，在打通这条道路途中，那些披荆斩棘数学勇士们，表现出不凡聪明才智，由费尔马大定理而引起摸索热情带动了整个数学发展。由于对这一猜想研究，增进了许多数论分支发展，这在数学史上是绝无仅有。费尔马大定理也被人们誉为“一只会下金蛋鸡”。 50第50页第50页 历史新转机发生在1986年夏，瑞波特证实了:费尔马大定理包括在“谷山丰-志村五郎猜想”之中。童年就痴迷于此怀尔斯，闻此立刻潜心于书房七年，汇集了许多20世纪数论突破性结果。1993年6月23日，在英国剑桥大学牛顿研究所“世纪演讲”上，宣布证实了费尔马大定理。 不幸是，数

18、月后逐步发觉此证实有漏洞。这个证实体系是诸多深奥数学推理连接着最当代定理、事实和计算所构成逻辑网络，任何一环节问题都会造成前功尽弃。怀尔斯和他团队几乎陷入了绝境。 1994年9月19日，怀尔斯在思维闪电中忽然找到了迷失钥匙。怀尔斯历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国数年刊第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。 51第51页第51页1997年6月27日，怀尔斯取得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。怀尔斯现为普林斯顿大学数学系主任。 很显然，怀尔斯那冗长、几百页间接证实必定不会是费尔马本人奇妙证实，最多也只是怀尔斯和他团队一次南辕北辙摸索。更可悲是，他扼杀了费尔马大

19、定理这只金鸡，并且这只金鸡是被活活折腾死。 9月，德国悬赏征解百年大限刚过，恰逢我国教育部、科技部、中科院和国家自然科学基金会联合开展“10000个科学难题”征集活动。本次活动，拟向两院院士等科技精英征集各个领域10000个科学难题，评审后结集出版。以提升我国自主创新能力；激励青年科技人员攻克科学难题；普及科学知识激发青少年热爱科学兴趣，培养摸索未知知识好奇心。费尔马大定理取得了浴火重生机遇。52第52页第52页 300多年后1994年9月，怀尔斯证实了费马大定理 （捷克，）53第53页第53页问题：有费马大定理是否有费马小定理？作用：求高次幂余数费马数： ，猜想它是素数，事实上只有n为0，1

20、，2，3，4时是素数54第54页第54页五、哥尼斯堡七桥问题与四色问题55第55页第55页一笔画56第56页第56页 四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）英国大学生提出来。 德摩尔根（Augustus De Morgan，18061871）1852年10月23日致哈密顿一封信提供了相关四色定理起源最原始记载。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 1872年，英国当初最著名数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注问题。世界上许多一流数学家都纷纷参与了四色猜想大会战。 18781880

21、年两年间，著名律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证实四色猜想论文，宣布证实了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就处理了。 57第57页第57页六、三大作图难题、非欧几何58第58页第58页三大几何作图问题1、化圆为方： =2、倍立方问题 ： =3、三等分角2.1论证数学发端直到19世纪，法国数学家旺泽尔在代数方程论基础上证实了倍立方和三等分任意角不也许性。之后，德国数学家林德曼证实了数 超越性，从而证实了化圆为方不也许性。59第59页第59页著名欧几里德几何原本中5个公设：1. 由任意一点到任意一点可作直线。 2. 一条有限

22、直线能够继续延长。 3. 以任意点为心及任意距离能够画圆。 4. 凡直角都相等。 5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧两个内角和小於二直角，则这二直线经无限延后在这侧相交（或：过直线外有且只有一条直线与它平行） 60第60页第60页非欧几何含义：普通来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面不同含义。所谓广义泛指一切和欧几里得几何学不同几何学；狭义非欧几何只是指罗氏几何来说；至于通常意义非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。非欧几何源于疑惑：第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证实第五公设？因为证实第五公设问题一直得不到处理，人们逐步怀疑证实路子

23、走得对不对？第五公设到底能不能证实？61第61页第61页罗巴切夫斯基几何俄国喀山大学专家罗巴切夫斯基 和匈牙利数学家鲍耶.雅诺几乎同时发觉了平行公理不可证性和非欧几何学存在毕业于同一大学:列宁-政治家马尔柯夫列可夫-科学家化学家62第62页第62页非欧几何非欧几何模型。复变函数理论。非欧直线非欧距离、非欧角、非欧圆、非欧三角形.，非欧三角形内角和小于180度；不存在非欧矩形。63第63页第63页黎曼几何黎曼是世界数学史上最具独创精神数学家之一。黎曼著作不多，但却异常深刻，极富于对概念创造与想象。黎曼在其短暂一生中为数学众多领域作了许多奠基性、创造性工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 因终年贫困和

24、劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。 德国哥廷根大学德国九所精英大学之一出了包括黎曼在内大数学家数学家 - 卡尔弗里德里希高斯数学家 - 大卫希尔伯特数学家 - 菲利克斯克莱因64第64页第64页65第65页第65页三种几何关系欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别几何。这三种几何各自所有命题都构成了一个严密公理体系，各公理之间满足友好性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确。在我们这个不大不小、不远不近空间里，也就是在我们日常生活中，欧氏几何是合用；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几

25、何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。 66第66页第66页七、赌金分派、蒲丰投针 德.梅勒和他一个朋友各出30个金币、各选一个点数进行赌博，约定：谁选择点数首先被掷出3次，谁就赢得全部赌注。 在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择点数“5”出现了2次，而他朋友选择点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒因为一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该怎样分配赌桌上60个金币赌注呢？ 67第67页第67页赌金分派问题争论不休写信求救通信探讨产生思想68第68页第68页Blaise Pascal (1623-1662)Pierre de Fermat (1601

26、-1665)1654 年 Pascal 与 Fermat 五封通信，奠定概率论基础。他们当初考虑一个掷骰子问题，开始形成数学盼望概念，并以“输赢钱数学盼望”来为赌博“定价”。69第69页第69页而在三年后，即1657年，荷兰另一数学家惠根斯1629-1695亦用自己办法处理了这一问题，更写成了论赌博中计算一书，这就是概率论最早论著，他们三人提出解法中，都首先涉及了数学盼望mathematical expectation这一概念，并由此奠定了古典概率论基础。 70第70页第70页赌金分派计算办法费尔马：最多掷5次就能决定胜负，令a表示A胜，b表示B胜，考虑a和b排列：aab aba baa ,德

27、应得到： 60 9/12=45帕斯卡：再赌一局，若德赢，则可得所有赌金，若德输，也有二分之一机会可得二分之一赌金，因此60（1/2+3/4）=45惠更斯：若取得a赌金概率是p，b概率是q，那么他所盼望取得赌金就是ap+bq，因此德可获： 601/2+301/2=4571第71页第71页蒲丰（George-Louis Leclerc de Buffon, 1707.9.7-1788.4.16），法国数学家、自然科学家。179月7日生于蒙巴尔；1788年4月16日卒于巴黎.72第72页第72页蒲丰投针73第73页第73页 蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数学，并开

28、始研究自然科学，尤其是植物学。1733年当选为法国科学院院士，1739年任巴黎皇家植物园园长，1753年进入法兰西学院。1771年接受法王路易十四爵封。 蒲丰是几何概率开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世。投针问题可述为：设在平面上有一组平行线，其距都等于D，把一根长lD针随机投上去，则这根针和一条直线相交概率是2l/D.74第74页第74页1850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用一根长36mm针，平行线间距为45mm，投掷5000次，得3.1596.1864年，英国人福克投掷了1100次，求得3.1419.19，意大利人拉兹瑞尼投掷了3408次，得到了准确到6位小数值3.1415929，这个结果

29、是如此准确，以致于诸多人怀疑其试验真伪。75第75页第75页蒲丰提出了用试验概率办法计算 ：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d平行线2) 取一根长度为针，随机地向画有平行直线纸上掷n次，观测针与直线相交次数，记为m 3）计算针与直线相交概率 4）经统计试验预计出概率:76第76页第76页 但是，蒲丰试验主要性并非是为了求得比其它办法更准确 值。蒲丰投针问题主要性在于它是第一个用几何形式表示概率问题例子。计算 这一办法，不但因其新奇，奇妙而让人叫绝，并且它开创了使用随机数处理拟定性数学问题先河，是用偶然性办法去处理拟定性计算前导。 77第77页第77页 八、海岸线长度问题与 分形和混沌7

30、8第78页第78页 1. B.B.Mandelbrot工作 1967年法国数学家B.B.Mandelbrot在科学杂志上发表文章“英国海岸线 有多长？” 。 这看似极其简朴，但Mandelbrot发觉： 当 测量单位变小时，所得长度是 无限 增大。79第79页第79页 在理论数学中，瑞典数学家Koch早在19就结构了如今称之为“柯赫曲线” (Koch curve)几何对象。80第80页第80页2. E.N.Lorenz工作 美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中发觉是混沌结识过程中一个里程碑。 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当初比较先进工具计算机进行天气模拟，试图进行长期天气预报

31、。 Lorenz发觉混沌运动两个主要特点： （1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机。Lorenz之后，混沌学研究开始蓬勃发展。 81第81页第81页3. 逻辑斯蒂映射（Logistic） 首先选定一个在(0,4)区间内参数k，然后对 于任意一个(0,1)区间内初始值 ，我们令 由均值不等式可知 也在(0,1)区间内，能够继续令 82第82页第82页 对于取值不太大 k，通过x值多次迭代， 发觉无论初始值如何，最后结果总是稳定，并且稳定状态不依赖于初始值。 但当 k超出3时，情况发生了改变，稳定状态变为两个数值。 继续增大k到3.444时，周期2稳定状态也不再出现，出现周期4循环。83第8

32、3页第83页84第84页第84页 当k增大到3.56，周期又加倍到8个；到3.567，周期达到16个，此后便是更快速32，64，128周期倍增数列。 这种倍周期分岔速度如此之快，以至到3.5699就结束了，倍周期分岔现象忽然中断： 周期性让位于混沌。85第85页第85页86第86页第86页87第87页第87页东西方小学数学名题漫谈1、盈亏问题2、鸡兔同笼3、百羊问题4、李白买酒(欧拉巧解农妇买蛋)5、欧几里得算题6、克拉维斯问题7、福尔摩斯算题8、奥克利提出问题9、牛顿提出问题10、普哇松巧分牛奶88第88页第88页 一、盈亏问题中国最著名数学著作当属九章算术，书中共有九章相关实际应用问题及解

33、法内容而得名，其中有一章为“盈不足章”，也就是专门讨论盈亏问题。盈亏问题特点是：在分东西时候，出现两种方案，每种方案会出现盈或亏。解答盈亏问题用比较法：找出两个相关差数，再求出一个单位量数值。 例1 某校安排学生宿舍，假如每间5人，那么有14人没有床位；假如每间7人，那么多4个空床位。问宿舍几间? 学生几人？ 例2 少先队员去植树，假如每人种5棵，尚有3棵没人种；假如其中2人各种4棵，其余人各种6棵，则种完所有树苗。那么有几位少先队员？共有几棵树苗？ 89第89页第89页 二、鸡兔同笼问题 我国古代数学著作孙子算经中有一道著名鸡兔同笼问题：鸡兔同笼，总体一数，有头30，脚72，问鸡兔数？鸡兔同笼问题特点：已知两总数，求两物数解答此问题办法：假设法，按一个情况来判断 例1 笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只，问鸡兔各有多少只？例2