广东省东莞市市长安中学高三数学理期末试题含解析

1、广东省东莞市市长安中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三个向量，共面，且均为单位向量， ?=0，则|+|的取值范围是（）A1， +1BC，D1，1参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+|=，结合图形求出它的最大、最小值【解答】解：三个向量，共面，且均为单位向量， ?=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+=（1x，1y），|=1；|+|=，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM

2、=r+|OP|=1+，最小值是|OP|r=1，|+|的取值范围是1， +1故选：A【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题2. 已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D3. 是的 （ A ）A充分不必要条件必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件参考答案：【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2A 解析：由得：或，所以能推出或，但或，不能推出，故是的充分不必要条件，故选A。【思路点拨】先由得：或，再做出双向判断即可。4. 函数的部分图象如

3、图所示，若，且，则A B C D参考答案：D 5. 已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则A点的横坐标为（）AB3CD4参考答案：B【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0（3）=x0+3，进而可求得A点坐标【解答】解：双曲线，其右焦点坐标为（3，0）抛物线C：y2=12x，准线为x=3，K（3，0）设A（x0，

4、y0），过A点向准线作垂线AB，则B（3，y0）|AK|=|AF|，又AF=AB=x0（3）=x0+3，由BK2=AK2AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3故选B6. 执行如图所示的程序框图，若，则输出的结果是（ ）A B C D参考答案：C7. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A120 B720C1440 D5040参考答案：B8. 下列函数中，奇函数是( )Af（x）=2xBf（x）=log2xCf（x）=sinx+1Df（x）=sinx+tanx参考答案：D考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：

5、根据函数奇偶性的定义进行判断即可解答：解：Af（x）=2x为增函数，非奇非偶函数，Bf（x）=log2x的定义域为（0，+），为非奇非偶函数，Cf（x）=sinx+1，则f（x）f（x）且f（x）f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数，Df（x）=sinxtanx=（sinx+tanx）=f（x），则函数f（x）为奇函数，满足条件故选：D点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，比较基础9. 复数AiB-iCD1 + i参考答案：A10. 已知集合,则A与B的关系为（ ）A B C D参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知ABC的三边a，b，c满足+=，则角B=

6、参考答案：【考点】余弦定理 【专题】解三角形【分析】化简所给的条件求得b2=a2+c2ac，利用余弦定理求得cosB= 的值，可得B的值【解答】解：ABC的三边a，b，c满足+=，+=3，+=1，c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），即 b2=a2+c2ac，cosB=，B=，故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，式子的变形是解题的难点，属于中档题12. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为 .参考答案：设，. 因为抛物线x2=4y的焦点为，准线为， 所以由，得，所以，x12=4y1=2.由 得 即因为x22=4y2，所以. 解得或（舍

7、）.注：若知抛物线的焦点弦的如下性质：，可更快地求出结果。13. 已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，则双曲线C的标准方程为参考答案：y2考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用抛物线的焦点坐标得到双曲线的焦距，然后利用离心率求出a，b，即可求解双曲线方程解答： 解：抛物线x2=8y的焦点为（0，2），双曲线C的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，所以c=2，双曲线C的离心率为2，所以a=1，则b=，所求双曲线方程为：y2故答案为：y2点评： 本题考查圆锥曲线方程的综合应用，考查计算能力14. 双曲线的一条渐近线与直线平

8、行，则此双曲线的离心率为 .参考答案：15. 给出下列不等式：， ， ， ，则按此规律可猜想第n个不等式为 参考答案：16. 已知，则 ， 参考答案： 17. 设函数在内可导,且,则_参考答案：2略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）（2015春?建瓯市校级期末）已知数列an的首项a1=，an+1=，nN*（1）求证：数列1为等比数列；（2）记Sn=+，若Sn100，求满足条件的最大正整数n的值参考答案：考点：数列的求和；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用数列递推式，变形可得得，从而可证数列为等比数列；（2）确定数

9、列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n解答：证明：（1）an+1=，=+，a1=，1=，为以为首项，以为等比的等比数列（2）由（1）知1=（）n1，=2（）n+1，Sn=+=n+2（+）=n+2=n+1，Sn100，故nmax=99点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题19. 椭圆有两顶点A（1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q（）当|CD|=时，求直线l的方程；（）当点P异于A、B两点时，求证：为定值参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】

10、计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想【分析】（）根据椭圆有两顶点A（1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；（）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论【解答】解：（）椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（ab0），由已知得b=1，c=1，所以a=，椭圆的方程为，当直线l与x

11、轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx1=0，则x1+x2=，x1?x2=，|CD|=，解得k=直线l的方程为y=x+1；（）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，（k0，k1），C（x1，y1），D（x2，y2），P点的坐标为（，0），由（）知x1+x2=，x1?x2=，且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，将两直线联立，消去y得，1x1，x21，与异号，=，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1=，与y1y2异号，与同号，=，解得x=k，故

12、Q点坐标为（k，y0），=（，0）?（k，y0）=1，故为定值【点评】此题是个难题本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力体现了分类讨论和数形结合的思想20. 已知函数f（x）=x3+x2+b，g（x）=alnx（1）若f（x）的极大值为，求实数b的值；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）利用导数求得函数f（x）的最大值，令其为即可解得b的值即可；（2）由g（

13、x）x2+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值【解答】解：（1）由f（x）=x3+x2+b，得f（x）=x（3x2），令f（x）0，解得：0 x，令f（x）0，解得：x或x0，故f（x）在（，0）递减，在（0，）递增，在（，+）递减，f（x）极大值=f（）=+b=，故b=0；（2）由g（x）x2+（a+2）x，得（xlnx）ax22xx1，e，lnx1x，且等号不能同时取，lnxx，即xlnx0，a恒成立，即a（）min 令t（x）=，x1，e，求导得，t（x）=，当x1，e时，x10，lnx1，x+2lnx0，从而t（x）0，t（x）在1，e上为增函数，tmin（x

14、）=t（1）=1，a121. 某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以

15、下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；（）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解【解答】（）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个由于每个同学被选