三章-一阶偏微分方程课件

1、化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering化工问题的建模第三章 一阶偏微分方程1、特征线法2、非线性波与追赶现象第三章 一阶偏微分方程第三章一阶偏微分方程特征线法1.1 一阶偏微分方程的定解问题偏微分方程与常微分方程求解思路的不同常微分方程：求方程通解，初、边值定常数一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解例，一阶PDE 通解第三章一阶偏微分方程特征线法1.1 一阶偏微分方程的定第三章一阶偏微分方程特征线法初值问题（Cauchy

2、问题）初、边值问题（Riemann问题）第三章一阶偏微分方程特征线法初值问题（Cauchy问题）第三章一阶偏微分方程特征线法一般的一阶拟线性偏微分方程的问题第三章一阶偏微分方程特征线法一般的一阶拟线性偏微分方程的第三章一阶偏微分方程特征线法1.2 特征线法的几何原理向量 ( P, Q, R ) 与解曲面u=u(x,y)的法线方向相互垂直，与 ( P, Q, R ) 共线的线元(dx, dy, du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。第三章一阶偏微分方程特征线法1.2 特征线法的几何原理第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征

3、线法第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法因此，特征线法的求解思路是用特性曲线来编织解曲面1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线；2、让该曲线通过初始曲线第三章一阶偏微分方程特征线法因此，特征线法的求解思路是第三章一阶偏微分方程特征线法特征线方程解x=x(s), y=y(s), u=u(s)含任意常数，由初始曲线确定第三章一阶偏微分方程特征线法特征线方程第三章一阶偏微分方程特征线法解曲面由以下双参变量形式给出参变量s 沿特征曲线方向变化，参变量 沿初始曲线方向变化。第三章一阶偏微分方程特征线法解曲面由以下双参变量形式给出第三章一阶偏

4、微分方程特征线法例2.1 特征线方程初始曲线第三章一阶偏微分方程特征线法例2.1 第三章一阶偏微分方程特征线法解出 消去参变量第三章一阶偏微分方程特征线法解出 第三章一阶偏微分方程特征线法以积分常数形式给出的特征线解 特征方程通解初始曲线限制解曲面第三章一阶偏微分方程特征线法以积分常数形式给出的特征线解第三章一阶偏微分方程特征线法例2.3 特征方程通解解曲面由初值得解第三章一阶偏微分方程特征线法例2.3 第三章一阶偏微分方程特征线法1.3 特征线法的物理意义波 动物理量在空间的传播过程特征线物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例1管道中的溶质输送问题第三章一阶偏微分方程特征线法1.3 特征线法

5、的物理意义第三章一阶偏微分方程特征线法特征线 初始曲线解得xvt 第三章一阶偏微分方程特征线法特征线 xvt 第三章一阶偏微分方程特征线法图象矩形方波以速度v 传播 c0 xt =0t =t1t =t2vvv第三章一阶偏微分方程特征线法图象矩形方波以速度v 传第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线及图解法 第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线及图解第三章一阶偏微分方程特征线法例2线性色谱问题特征线第三章一阶偏微分方程特征线法例2线性色谱问题第三章一阶偏微分方程特征线法x轴给出的初值的解 t 轴给出的边值的解 第三章一阶偏微分方程特征线法x轴给出的初值的解 第三章一阶偏微分

6、方程特征线法x-t 平面的特征线第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线第三章一阶偏微分方程特征线法斜坡输入时的图象 第三章一阶偏微分方程特征线法斜坡输入时的图象 第三章一阶偏微分方程特征线法例3 有化学反应时的色谱波动图象 浓度沿特征线传播时呈指数衰减线性波的特点波速与因变量无关保持初始间断和光滑性质不变特征线不相交第三章一阶偏微分方程特征线法例3 有化学反应时的色谱波第三章一阶偏微分方程追赶现象2 非线性波与追赶现象1。追赶问题稀疏波身高曲线初始分布第三章一阶偏微分方程追赶现象2 非线性波与追赶现象第三章一阶偏微分方程追赶现象特征线解得第三章一阶偏微分方程追赶现象特征线第三章一阶偏

7、微分方程追赶现象图象稀疏波xh00hh00hxxt = 0时刻的初始分布t = t1时刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0携带不同h值的特征线第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hh00hx第三章一阶偏微分方程追赶现象2。追赶问题激波初始分布：前低后高解得第三章一阶偏微分方程追赶现象2。追赶问题激波第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0h=h0h=0第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0第三章一阶偏微分方程追赶现象特点追赶，特征线相交，不真实的多值分布，非线性本征属性原因：形成强间断激波，微分方程失效问题：补充间断面上的关系第三章

8、一阶偏微分方程追赶现象特点第三章一阶偏微分方程追赶现象3。激波间断关系x0 xsxrxll, qlr, qrdxs/dt第三章一阶偏微分方程追赶现象3。激波间断关系x0 xs第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断关系熵条件处理含间断问题的原则：分段求解第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断关系第三章一阶偏微分方程追赶现象例1 含有激波的追赶问题间断条件初值第三章一阶偏微分方程追赶现象例1 含有激波的追赶问题第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0CSI第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0第三章一阶偏微分方程追赶现象例2 非线性吸附反应器第三章一阶偏微分

9、方程追赶现象例2 非线性吸附反应器第三章一阶偏微分方程追赶现象特征曲线波速第三章一阶偏微分方程追赶现象特征曲线第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断条件特征线光滑解第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断条件第三章一阶偏微分方程追赶现象将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹第三章一阶偏微分方程追赶现象将光滑解代入激波间断条件，第三章一阶偏微分方程追赶现象图象x0cxt0t=t1S第三章一阶偏微分方程追赶现象图象x0cxt0t=t1S第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题3 化学剂段塞的色谱运动问题第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题3 化学剂段塞的色谱第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题物理图象：前沿激波； 后缘

10、中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题物理图象：前沿激波；第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题解题思路1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题解题思路第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题问题第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线方程初始曲线第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题问题第三章一阶偏微分方第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题1。运动初期激波稀疏波平台区第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题1。运动初期第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题2。运动后期激波（浓度在变化）稀疏波（给出激波浓度）联立得到第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题2。运动后期第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题激波轨迹激波浓度段塞宽度第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题激波轨迹第三章一阶偏微分方程小结1、关于特征线法几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P, Q, R ) 与曲面法向 之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P, Q, R )求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。 第三章一阶偏微分方程小