2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷3)

1、绝密 启用前试卷类型:A2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷3,理)注意事项:1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x|x-10,B=0,1,2,则AB=A.0B.1C.1,2D.0,1,22.(1+i)(2-i)=A.-3-i

2、B.-3+iC.3-iD.3+i3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4.若sin =13,则cos 2A.89BC.-79D.-5.x2+2x5的展开式中A.10B.20C.40D.806.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是A.2,6B.4,8C.2,32D.22,327.函数y=-x4+x2+2的图像大致为8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员

3、的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PFA.5B.2C.3D12.设a=log0.20.3,b=log20.3,则A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab0a+b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.14.直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.15.函数f(x)=cos3x+6在0,16.已知点M(-1,1)和抛物线C

4、:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用

5、第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(adP(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面B

6、MC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,(1)证明:k-12(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:|FA|,|FP|,|FB|21.(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1x0时,f(x)0时,f(x)0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与

7、参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与O(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.23.选修4-5:不等式选讲(10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.数学(全国卷3,理)1.C由题意得A=x|x1,B=0,1,2,AB=1,2.2.D(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.3.A根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.4.Bcos 2=1-2sin2=1-2135.C由展开

8、式知Tr+1=C5r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2rx10-3r.当r=2时,x4的系数为C56.A设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=点P到直线AB的距离为d.易知d-rdd+r,即2d32.又AB=22,SABP=12|AB|d=2d,2SABP67.D当x=0时,y=20,排除A,B;当x=12时,y=-124+122+228.B由题意,得DX=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,p(1-p)=0.24,由p(X=4)p(X=6)知C104p4(1-p)6(1p0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去).9.C由S=a2+b2-c24=12absin C,得c2=a2

9、+b2-2absin C.又由余弦定理csin C=cos C,即C=410.B由ABC为等边三角形且面积为93,设ABC边长为a,则S=12a32a=93.a=6,则ABC的外接圆半径r=3223设球的半径为R,如图,OO1=R2-r当D在O的正上方时,VD-ABC=13SABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故选11.C由题意画图,如图所示,|PF2|=b,|OP|=a,由题意,得|PF1|=6a.设双曲线渐近线的倾斜角为.在OPF1中,由余弦定理知cos(180-)=a2+c2又cos =acc2-5a22ac=-ac,解得c2=12.Ba=log0.20.30,b=log

10、20.30,ab0.又a+b=lg0而lg 2-10,2lg 2-10,lg 3-10,a+b0.a+bab=1b+1a=log0.32+log0.30.2=log0.30.4log0.30.313.122a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,由c(2a+b),得4-2=0,得=1214.-3设f(x)=(ax+1)ex,f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f(0)=a+1=-2,a=-3.15.3令f(x)=cos3x+6=0,得3x+6=2+k,kZ,x=9+k3=(3k+116.2设直线AB:

11、x=my+1,联立x=my+1,y2=4xyy1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=17.解 (1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=

12、1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.18.解 (1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平

13、均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m=79+812=80列联表如下:超过

14、m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2=40(1515-55)22019.解 (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以O为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,

15、1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0).设n=(x1,y,z)是平面MAB的法向量,则n可取n=(1,0,2),DA是平面MCD的法向量,因此cos=nDA|n|DA|=5所共面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2520.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y12两式相减,并由y1-y2x1-由题设知x1+x22=1,y1+由题设得0m32,故k-1(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点P

16、在C上,所以m=34从而P1,-32,|FP于是|FA|=(=(x1-1)同理|FB|=2-x2所以|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3故2|FP|=|FA|+|FB|,则|FA|,|FP|,|FB|成等差数列,设该数列的公差为d,则2|d|=|FB|-|FA|=12|x1-x2|=12将m=34代入得k=-1所以l的方程为y=-x+74,代入C的方程,并整理得7x2-14x+14=故x1+x2=2,x1x2=128,代入解得|d|=3所以该数列的公差为32128或-21.解 (1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f(x)=ln(1+x)-x1+设函数g(x)=

17、f(x)=ln(1+x)-x1+x,则g(x)=当-1x0时,g(x)0时,g(x)0.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)0,且仅当x=0时,f(x)=0.所以f(x)在(-1,+)单调递增.又f(0)=0,故当-1x0时,f(x)0时,f(x)0.(2)若a0,由(1)知,当x0时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.若a0,设函数h(x)=f(x)2+x+ax2由于当|x|0,故h(x)与f又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h(x)=11+如果6a+10,则当0 x-6a+14a,且|x|0,故如果6a+10,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x10,故当x(x1,0),且|x|min1,1|a|时,h(x)所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-1622.解 (1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点当2时,记tan =k,则l的方程为y=kx-2,l与O交于两