信号与系统-第三章-傅里叶变换课件

1、第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换3.1 引 言时域分析法 频域分析法 傅立叶分析方法，对于连续时间和离散时间信号与系统分析来说，是一个强有力而严谨的分析体系，有极为广泛和潜在的应用范围。 傅立叶分析方法，不仅应用于电力工程、通信和控制领域，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛和普遍的应用。3.1 引 言时域分析法 频域分析法3.2 周期信号的傅里叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数三、周期信号的功率特性四、函数的对称性与傅里叶系数 的关系3.2 周期信号的傅里叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶3.2 周期信号的傅

2、里叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数 任何一个满足狄里赫利条件的周期为T1的函数 f (t) 都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示，即1. 三角函数形式的傅里叶级数展开式3.2 周期信号的傅里叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶上式称为 f (t) 的三角形式的傅立叶级数展开其中：上式称为 f (t) 的三角形式的傅立叶级数展开其中：结论：周期信号满足一定条件都可以分解为直流分量和许多正弦、余弦分量。谐波分析（1）正弦、余弦分量的频率必定是基频 的整数倍（2）通常把频率为 的分量称为基波。频 率为 的分量称为二次谐波、三 次谐波等（3）直流分量大小以及基波与各次谐波的 幅值、相位取

3、决于周期信号的波形。结论：周期信号满足一定条件都可以分解为直流分量和许多正弦、余函数的傅里叶级数展开函数的傅里叶级数展开傅里叶级数最简单的波是谐波(正弦波), 他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来. 周期为 的波,在一定条件下可以把它写成我们称上式右端的级数是傅里叶级数傅里叶级数我们考察三角函数系三角函数的正交性三角函数的正交性设 是任意实数, 是长度为 的区间,由于三角函数 是周期为 的函数,经过简单计算,有利用积化和差的三角公式容易证明信号与系统-第三章-傅里叶变换课件三角函数系其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ，而每

4、个函数自身平方的积分非零 。我们称这个函数系在长为 的区间上具有正交性。信号与系统-第三章-傅里叶变换课件傅里叶系数 设函数 已展开为全区间设的一致收敛的三角级数 现在利用三角函数系数的正交性来研究系数 与 的关系。将上述展开式沿区间 积分，右边级数可以逐项积分，由 得到即又设 是任一正整数，对 的展开式两边乘以 沿 积分，由假定，右边可以逐项积分，由和 ，得到傅里叶系数即同样可得信号与系统-第三章-傅里叶变换课件； 若把同频率项加以合并，即或； 若把同频率项加以合并，即或或则可得到另两种表示形式：cn 、dn 表示 n 次谐波振幅；n , n 代表 n 次谐波的初相位或则可得到另两种表示形式

5、：cn 、dn 表示 n 次谐波振幅周期函数展开为傅立叶级数 狄里赫利条件：1、在一周期内，信号是绝对可积的。即：2、在一周期内，信号有有限个极值点， 和有限个间断点。 我们实际中遇到的周期信号，都能满足这些条件。周期函数展开为傅立叶级数 狄里赫利条件：1、在一周期内， 在实际的信号分析中，只能用下面的有限项近似形式来表示任意信号 f (t)。 在实际的信号分析中，只能用下面的有限项近似形式来表示任意例：1tTf(t)0将信号 f (t)展开为三角形式的傅立叶级数。 解：首先根据公式计算系数例：1tTf(t)0将信号 f (t)展开为三角形式的傅立叶1tTf(t)01tTf(t)0所以所以2.

6、 三角形式的傅里叶级数单边频谱其中：cn 代表 n 次谐波的振幅。n 代表 n 次谐波的初相位。 为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号的各次谐波的分布图，这种图形称为信号的频谱。它是信号频域的一种表示方法。2. 三角形式的傅里叶级数单边频谱其中：cn 代表 n幅度频谱：描述各次谐波幅度与频率的 关系图。相位频谱：描述各次谐波相位与频率的 关系图。 要研究 f (t) 的频谱，首先求 f (t) 的傅立叶级数的系数。幅度频谱：描述各次谐波幅度与频率的相位频谱：描述各次谐波相位例：周期矩形脉冲信号Ef(t)Tt f (t) 是偶函数，所以 例：周期矩形脉冲信号Ef(t)Tt f (t)

7、 是偶函数，所信号与系统-第三章-傅里叶变换课件三角形式的傅立叶级数为：此时，三角形式的傅立叶级数为：此时， 将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应位置上标出，即信号的频谱图。ncn包络线谱线 将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应 也可以将幅度谱和相位谱合在一幅图上。这种画法只有cn为实数时才可能。cn 也可以将幅度谱和相位谱合在一幅图上。这种画法只有cn为二、指数形式的傅里叶级数已知1. 指数形式的傅里叶级数展开公式欧拉公式：二、指数形式的傅里叶级数已知1. 指数形式的傅里叶级数展令 F(0) = a0, 且指数形式傅里叶级数为：令 F(0) = a0, 且指数形式傅里

8、叶级数为：指数形式傅里叶级数的系数为：指数形式傅里叶级数的系数为：Fn与其他系数的关系为：Fn与其他系数的关系为：信号与系统-第三章-傅里叶变换课件2. 指数形式的傅里叶级数双边频谱Fn例：周期矩形 脉冲信号Ef(t)Tt2. 指数形式的傅里叶级数双边频谱Fn例：周期矩形Ef单边频谱与双边频谱：单边：每一谱线代表某一分量的幅度。双边：谱线在原点两侧对称分布，且谱线长度减小一半，（每一频率谱线正负各一半）。Fncn单边频谱与双边频谱：单边：每一谱线代表某一分量的幅度。双边：三、周期信号的功率特性对于正弦叠加信号的功率为：三、周期信号的功率特性对于正弦叠加信号的功率为： 周期信号的平均功率等于傅里

9、叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，即时域与频域的能量守恒 帕塞瓦尔定理。 周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值四、函数的对称性与傅里叶系数 的关系 如果 f (t) 是实函数而且其波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项将不出现。 偶函数 奇函数 奇谐函数几种对称类型：四、函数的对称性与傅里叶系数 如果 f (t)1. 偶函数1. 偶函数2. 奇函数所以：2. 奇函数所以：3. 奇谐函数 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，则此时波形并不发生变化，称为半波对称函数或奇谐函数。（n为偶数）（n为奇数）（n为奇数）只有奇次谐波，即an、bn中n取奇数时，才有谐波分

10、量。3. 奇谐函数 若波形沿时间轴平移半个周期并相对3.3 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数3.3 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 设周期矩形脉冲信号 f (t) 的脉冲宽度为 ，脉冲幅度为 E，周期为 T1，Ef(t)T1t 设周期矩形脉冲信号 f (t) 的脉冲宽度为三角形式的傅立叶级数为：指数形式的傅立叶级数为：频谱分别为：cn三角形式的傅立叶级数为：指数形式的傅立叶级数为：频谱分别为：Fn频谱图特点离散性：周期矩形脉冲的频谱如同一般的周期信号一样，它的谱线是离散的，两谱线的间隔为1 （= 2/T1） ，周期越大，谱线越靠近。谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率 1（等于2/T1）的整数倍。

11、Fn频谱图特点离散性：周期矩形脉冲的频谱如同一般的周期信号一收敛性：谱线幅度随 n 而衰减到零。直流分量，基波及各谐波分量的大小正比与脉幅E和脉宽零点:极值点包络线：各谱线的幅度包络线按抽样函数 Sa(/2)的规律变化。n次谐波： 收敛性：谱线幅度随 n 而衰减到零。直流分量，基波及各谐占有频带宽度：周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，但它的能量主要集中在第一零点以内。把 = 0 2/ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的占有频带宽度。记作或上式说明：信号的占有频带宽度B与时宽 成反比。占有频带宽度：周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，但它的能量主脉宽和周期对频谱的影响相同不同（1）谱线间隔不变（2）包

12、络线零点变化 相同不同（）包络线零点不变（）谱线间隔变化脉宽和周期对频谱的影响3.4 傅里叶变换一、频谱密度函数的概念二、非周期信号的傅里叶变换3.4 傅里叶变换一、频谱密度函数的概念二、非周期信号的3.4 傅里叶变换上节讨论了周期信号的傅立叶级数以及周期信号的离散频谱，f (t)的谱系数Fn为 一个非周期信号，可以看作是重复周期T1为无穷大的周期信号。3.4 傅里叶变换上节讨论了周期信号的傅立叶级数以及周期当T1时，以周期矩形脉冲为例（1）周期信号就转化为非周期信号。（2）谱线间隔 1 = 2/T1 趋于无穷小。这时， 离散频谱就变成了连续频谱，n1 （3）各个谱线的幅度谱也趋于无穷小，即F

13、n 0Fn当T1时，以周期矩形脉冲为例（1）周期信号就转化为非周期 无法用傅立叶级数描述非周期信号的频域特性，因此，我们引入频谱密度的概念。一、频谱密度函数的概念周期信号f (t)展开成指数傅立叶级数：当T1时，但可能是有限值 无法用傅立叶级数描述非周期信号的频域特性，因此，我们引入F() 频谱密度函数 :频谱密度，具有单位频带的频谱值，是 的连续函数。离散频率变成连续频率 引入F() 频谱密度函数 :频谱密度，具有二、非周期信号的傅里叶变换1. 正变换满足狄里赫利条件：的信号 f (t) 存在傅立叶变换。由得：二、非周期信号的傅里叶变换1. 正变换满足狄里赫利条件：将 Fn 代入2. 反变换

14、当将 Fn 代入2. 反变换当即：傅里叶正变换：傅里叶逆变换：即：傅里叶正变换：傅里叶逆变换：3. 频谱密度函数F() 通常是复函数，可写成：其中：3. 是频率的连续函数，且 f (t) 为 实函数时，是 的偶函数。1. 是的幅度函数；信号的幅度频谱2. 代表信号中各频率分量的相对大小。各频率 分量的实际振幅为无穷小量。3. 频谱密度函数F() 通常是复函数，可写成：其中：信号与系统-第三章-傅里叶变换课件其中：1. 是F()的相位频谱；2. 是频率的连续函数，且为奇函数；信号的相位频谱其中：1. 是F()的相位频谱；2. 是频率的连续函数3.5 典型非周期信号的傅里叶变换一、单边指数信号二、

15、双边指数信号三、矩形脉冲信号四、符号函数3.5 典型非周期信号的傅里叶变换一、单边指数信号二、双边3.5 典型非周期信号的傅里叶变换一、单边指数信号由傅立叶变换公式得其幅度频谱和相位频谱分别为：3.5 典型非周期信号的傅里叶变换一、单边指数信号由傅立叶信号与系统-第三章-傅里叶变换课件信号与系统-第三章-傅里叶变换课件二、双边指数信号其中a0由傅立叶变换公式得二、双边指数信号其中a0由傅立叶变换公式得信号与系统-第三章-傅里叶变换课件三、矩形脉冲信号三、矩形脉冲信号矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为：矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为：与周期矩形脉冲频谱比较：Fn与周期矩形脉冲频谱比较：Fn不同：1.

16、 Fn 的值比F()的值多乘了系数 ；2. Fn式中为不连续的变量n1 ,F()为连续变量相同：1. 周期矩形脉冲信号的频谱包络线与非周期 矩形脉冲信号的频谱函数曲线形状相同;2. 频谱都具有收敛性;3. 占有频带宽度为 。不同：1. Fn 的值比F()的值多乘了系数 四、符号函数或设四、符号函数或设其幅度频谱和相位频谱为其幅度频谱和相位频谱为信号与系统-第三章-傅里叶变换课件3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换二、冲激偶的傅里叶变换三、阶跃函数的傅里叶变换3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅

17、里叶变换其傅里叶变换：相位：(1) (t)t1F()单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均匀分布。这种频谱常称作“均匀频谱”或“白色频谱”3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶傅里叶逆变换：傅里叶逆变换： 在时域是直流（直线），在频域是冲激; 在时域是冲激，在频域是直线。 在时域是直流（直线），在频域是冲激; 在时域是二、冲激偶的傅里叶变换已知：对 (t) 函数两边求导：即：同理：二、冲激偶的傅里叶变换已知：对 (t) 函数两边求导：即：已知：同理：已知：同理：三、阶跃函数的傅里叶变换不能直接用傅立叶变换式，三、阶跃函数的傅里叶变换不能直接用傅立叶变换式，10u(t)t阶跃函

18、数的频谱为：10u(t)t阶跃函数的频谱为：3.7 傅里叶变换的基本性质一、对称性二、线性(叠加性)三、奇偶虚实性四、尺度变换特性五、时移特性六、频移特性七、微分特性八、积分特性3.7 傅里叶变换的基本性质一、对称性二、线性(叠加性)三3.7 傅里叶变换的基本性质 研究当信号在时域进行某种运算后在频域发生何种变化，或者反过来，从频域的运算推测时域的变动。一、对称性若证明：得证3.7 傅里叶变换的基本性质 研究当信号在时域若 f (t) 为偶函数，且 则结论：若 f (t) 的频谱为F() ,那么形状为F(t) 的波形,其频谱必为 f () 。若 f (t) 为偶函数，且 则结论：若 f (t)

19、 的频谱例：求抽样函数 Sa(t) 的频谱。当 = 2，例：求抽样函数 Sa(t) 的频谱。当 = 2，例：求常数 “1” 的频谱。(1)(t)t1F()例：求常数 “1” 的频谱。(1)(t)t1F()二、线性(叠加性)若则有若则有其中 ai 为常数，n 为正整数。 可通过定义直接证明。 二、线性(叠加性)若则有若则有其中 ai 为常数，n 为正整三、奇偶虚实性无论 f (t)是实数还是复数，根据傅立叶变换可以证明：下面证明上述各等式成立 三、奇偶虚实性无论 f (t)是实数还是复数，根据傅立叶变换令 则 因此 令 则 因此 同理可以证明 一般情况下，F()是复函数，因此可以将F()分成模与

20、相位或实部与虚部两部分，同理可以证明 一般情况下，F()是复函数，因此可以1. f (t)是实函数R()是偶函数X()是奇函数|F()| 是偶函数， ()是奇函数。1. f (t)是实函数R()是偶函数X()是奇函数（1）当 f (t)是实偶函数时F() 也是实偶函数（2）当 f (t) 是实奇函数时F() 是虚奇函数（1）当 f (t)是实偶函数时F() 也是实偶函数（2）2. f (t)是虚函数令 |F()| 仍是偶函数，() 仍是奇函数R()是奇函数X()是偶函数2. f (t)是虚函数令 |F()| 仍是偶函数，四、尺度变换特性若则特例：当a = -1时证明略。见书中举例。. 信号在时

21、域中压缩(a1),等效于在频域中扩展. 信号在时域中扩展（0a1)，等效于在频域 中压缩3. 当 a = -1时，f (-t) F(-)信号在时域中沿纵轴反褶，等效于在频域中也 沿纵轴反褶结论：要压缩信号的持续时间，不得不以展宽频带为代价！四、尺度变换特性若则特例：当a = -1时证明略。见书中举例五、时移特性若则可见：信号在时域中沿时间轴右移 t0 （延时t0），等效于在频域中乘以因子 ,即幅度频谱不变, 而相位谱产生附加变化（- t0）.五、时移特性若则可见：信号在时域中沿时间轴右移 t0 （延时结论：1、信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的，与信号在时间轴上出现的位置无关；2、信号的相

22、位频谱则是由信号的波形形状和在时间轴上出现的位置共同决定的.结论：1、信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的，与信号在时例已知矩形脉冲f1(t)的频谱函数试画出的相位频谱.解：根据时移特性，即例已知矩形脉冲f1(t)的频谱函数试画出的相位频谱.解：根据可见幅度频谱不变，相位频谱比原来滞后可见幅度频谱不变，相位频谱比原来滞后六、频移特性若证明:把时域信号f(t) 乘以因子等效于频谱F()沿频率轴右移 0, 这种技术称频谱搬移。六、频移特性若证明:把时域信号f(t) 乘以因子等效于频谱F 例：求的傅立叶变换将信号f (t) 乘以或就可以引起信号的频谱搬移。这个过程如下： 频谱搬移也称为信号的调制，

23、广泛应用于通信技术中。时域：f (t)改变正弦（或余弦）信号的幅度频域：f (t) 的频谱产生平移调制 例：求的傅立叶变换将信号f (t) 乘根据欧拉公式，有设 f (t)的频谱为F()，利用频移特性可知可见将信号f (t)乘以或等效于将 f (t)的频谱为F()一分为二，即幅度减小一半，沿频率轴向左和向右各平移 0。根据欧拉公式，有设 f (t)的频谱为F()，利用频移特性例3-4求矩形调幅信号的频谱函数。解：已知门函数的频谱函数为又有根据频移特性例3-4求矩形调幅信号的频谱函数。解：已知门函数的频谱函数为信号与系统-第三章-傅里叶变换课件七、微分特性1. 时域微分特性若则说明：在时域中 f

24、 (t) 对 t 取 n 阶导数，等效于在频域中频谱 F() 乘以因子 (j)n 。七、微分特性1. 时域微分特性若则说明：在时域中 f (t2. 频域微分特性若则2. 频域微分特性若则例求如图所示梯形脉冲的傅立叶变换。解：f(t)的一次导数 f(t) 是幅值为的两个脉冲其二阶导数是四个正负冲激函数例求如图所示梯形脉冲的傅立叶变换。解：f(t)的一次导数 信号与系统-第三章-傅里叶变换课件八、积分特性若则或当 F(0) = 0 时，有1. 时域积分特性八、积分特性若则或当 F(0) = 0 时，有1. 时域积证明：证明：2. 频域积分特性若则2. 频域积分特性若则3.8 卷积特性（卷积定理）一

25、、时域卷积定理二、频域卷积定理3.8 卷积特性（卷积定理）一、时域卷积定理二、频域卷积3.8 卷积特性（卷积定理）一、时域卷积定理若则上式表明：两函数在时域中的卷积，等效于频域中两函数傅立叶变换的乘积。3.8 卷积特性（卷积定理）一、时域卷积定理若则上式表明证明：证明：二、频域卷积定理若则上式表明：两函数在频域中的卷积，等效于时频中两函数的乘积。二、频域卷积定理若则上式表明：两函数在频域中的卷积，等效于时例3-9 如图a 所示三角函数 f (t), 可以看作图b所示的门函数的卷积。求 f (t) 的频谱函数。图b图a解：例3-9 如图a 所示三角函数 f (t), 可以看作图信号与系统-第三章

26、-傅里叶变换课件3.9 周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换3.9 周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变3.9 周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变换已知直流信号的傅立叶变换为根据频移特性可知由欧拉公式可得：3.9 周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变 正弦、余弦函数的频谱只包含位于 0 处的冲激函数。 正弦、余弦函数的频谱只包含位于 0 处的冲激函数二、一般周期信号的傅里叶变换周期函数 f (t) 的傅立叶级数为其中将 f (t) 的等式两边取傅立叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换周期函数 f (t) 的傅立叶级即

27、上式为周期信号 f (t) 的傅立叶变换。Fn 是 f (t) 的指数傅立叶级数的系数。上式说明：周期信号 f (t) 的傅立叶变换由一系列的冲激组成。2. 这些冲激位于信号的谐波频率处每个冲激的强度为 f (t) 的指数傅立叶级数系 数 Fn 的 2 倍。即上式为周期信号 f (t) 的傅立叶变换。Fn 是 f (例3-10 求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅 立叶变换。解： 周期单位冲激序列为其指数形式的傅立叶级数系数为例3-10 求周期单位冲激序列的傅立叶级数与傅解： 周期单位所以，周期单位冲激序列的傅立叶级数为T(t)的傅立叶变换为所以，周期单位冲激序列的傅立叶级数为T(t)的傅立叶变

28、换为 可见，周期信号的傅里叶变换由冲激函数组成，其强度为 f (t) 的指数傅立叶级数系 数 Fn 的 2 倍。 可见，周期信号的傅里叶变换由冲激函数组成，其例 3-11 求周期矩形脉冲的傅立叶级数和傅立叶 变换。解：周期矩形脉冲的傅立叶系数 Fn 为：则 f (t)的傅立叶级数为例 3-11 求周期矩形脉冲的傅立叶级数和傅立叶解：周期f(t)的傅立叶变换为f(t)的傅立叶变换为 可见，单脉冲的频谱是连续函数，而周期信号的频谱是离散函数。 可见，单脉冲的频谱是连续函数，而周期信号的频3.10 抽样信号的傅里叶变换一、时域抽样二、频域抽样3.10 抽样信号的傅里叶变换一、时域抽样二、频域抽样3.

29、10 抽样信号的傅里叶变换 这里所说的抽样信号不是指抽样信号：就是从一连续信号f (t)中，每隔一定时间抽取一个样本值，所得到的一系列离散值构成的序列。 抽样 器 量化 编码数字信号 本节研究 的傅里叶变换，及其与 f (t) 傅里叶变换的关系。3.10 抽样信号的傅里叶变换 这里所说的一、时域抽样已知抽样过程：抽样序列 p (t) 与连续信号 f (t) 相乘， 可得到抽样信号 fs (t) 。 由频域卷积定理可知一、时域抽样已知抽样过程：抽样序列 p (t) 与连续信号 因 p(t)是周期信号，其频谱函数为其中：所以因 p(t)是周期信号，其频谱函数为其中：所以上式表明：1. 信号在时域被

30、抽样后，其频谱是由连续信号 的频谱F()以抽样频率 s为周期重复得到的,也就是把F()以抽样频率 s为周期进行延拓。在F()以s为周期重复过程中，幅度被抽样 序列的指数傅立叶级数的系数 Pn 加权。3. 在F()以s为周期重复过程中，形状不发生改变。上式表明：1. 信号在时域被抽样后，其频谱是由连续信号也就1. 矩形脉冲抽样当 p (t)为周期矩形脉冲时，其傅立叶系数 Pn为：则抽样信号的频谱为：1. 矩形脉冲抽样当 p (t)为周期矩形脉冲时，其傅立信号与系统-第三章-傅里叶变换课件2. 冲激抽样抽样序列 p (t) 是冲激序列，则称为“冲激抽样”或“理想抽样”。的傅立叶系数为2. 冲激抽样抽样序列 p (t) 是冲激序列，则称为“将 Pn的值代入公式，就得到抽样信号的频谱上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数 Pn为常数，所以抽样信号的频谱是由 F() 以 s 为周期等幅重复而得到的。将 Pn的值代入公式，就得到抽样信号的频谱上式表明：由于冲激抽样定理抽样定理二、频域抽样已知连续频谱函数F()，对应的时间函数为f (t) 。若F()在频域中被间隔为1的冲激序列()抽样，抽样后的的频谱F1()所对应的时间函数 f1(t