统计学 第四章 统计分布的数值特征课件

1、 第四章 变量数列分析5.1 集中趋势的测定5.2 离中趋势的测定5.1 集中趋势的测定一、集中趋势的涵义 二、平均指标的种类及计算方法83名女生的身高分布的集中趋势、中心数值统计学第四章 统计分布的数值特征算术平均数指总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋势，用平均指标来反映。集中趋势可以反映现象总体的客观规定性；可以对比同类现象在不同的时间、地点和条件下的一般水平；可以分析现象之间的依存关系。测定集中趋势的意义：指同质总体中各单位某一数量标志的一般水平，是对总体单位间数量差异的抽象化统计学第四章 统计分布的数值特征5.1 集中趋势的测定一、集中趋势的涵义 二、平均指标的种类及计算方法基

2、本形式：例：直接承担者 注意区分算术平均数与强度相对数算术平均数统计学第四章 统计分布的数值特征A. 简单算术平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第 个单位的标志值。算术平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征B. 加权算术平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中： 为算术平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。算术平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800计算该

3、企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征解：算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明统计学第四章 统计分布的数值特征表现为次数、频数、单位数；即公式 中的表现为频率、比重；即公式中的算术平均数的计算方法指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度权数绝对权数相对权数统计学第四章 统计分布的数值特征统计学第四章 统计分布的数值特征变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：算术平

4、均数的主要数学性质统计学第四章 统计分布的数值特征二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数数值平均数位置平均数【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：再求算术平均数：求各标志值的倒数 ： ， ， ，再求倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数调和平均数统计学第四章 统计分布的数值特征A. 简单调和平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中： 为调和平均数; 为变量值 的个数； 为第 个变量值。调和平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征B. 加权调和平均数适用于总体资料经过分组整理形成变

5、量数列的情况式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。调和平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。因为：调和平均数的应用统计学第四章 统计分布的数值特征日产量（件）各组工人日总产量（件）10111213147001100456019501400合计9710【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用统计学第四章 统计分布的数值特征求解比值的平均数的方法由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比设比值 分子变量分母变

6、量则有：统计学第四章 统计分布的数值特征求解比值的平均数的方法己知 ，采用基本平均数公式己知 ，采用加权算术平均数公式己知 ，采用加权调和平均数公式比值【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（）组中值（）企业数（个）计划产值（万元）90以下90100100110110以上8595105115231038002500172004400合计1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法分析：应采用加权算术平均数公式计算【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值

7、（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法统计学第四章 统计分布的数值特征【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法分析：应采用平均数的基本公式计算二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均

8、数 中位数 众数数值平均数位置平均数是N项变量值连乘积的开N次方根几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：统计学第四章 统计分布的数值特征A. 简单几何平均数适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况式中： 为几何平均数; 为变量值的个数； 为第 个变量值。几何平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设最初投产100A个单位 ，则第一道工序的合格品为

9、100A0.95；第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品为（100A0.950.920.900.85）0.80；统计学第四章 统计分布的数值特征因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。统计学第四章 统计分布的数值特征因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合

10、格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。解：思考若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。几何平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征 因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：1000.95； 第二车间的合格品为：1000.92； 第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=1000.95+1000.80几何平均数的计算方法分析：统计学第四章 统计分布的数值

11、特征不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即统计学第四章 统计分布的数值特征B. 加权几何平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中： 为几何平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法统计学第四章 统计分布的数值特征【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为： 第12年末的本利和为：分析：第2年的计息基础第12年的计息基础统计学第四章

12、 统计分布的数值特征则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：几何平均数的计算方法思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：第12年末的应得利息为： 设本金为V，则各年末应得利息为：统计学第四章 统计分布的数值特征则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151） 这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为假定本金为V统计学第四章 统计分布的数值特征所

13、以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）统计学第四章 统计分布的数值特征是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值是否否是否是几何平均法算术平均法求解比值的平均数的方法数值平均数计算公式的选用顺序指标二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数数值平均数位置平均数将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用 表示中位数不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。中位数的作用：二、平均指标的种类及计算方法中位数的位次为：即第3个单位的

14、标志值就是中位数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数的确定（未分组资料）统计学第四章 统计分布的数值特征中位数的位次为：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数的确定（未分组资料）统计学第四章 统计分布的数值特征【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计

15、800计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：中位数的确定（单值数列）统计学第四章 统计分布的数值特征中位数的确定（组距数列）【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上373283104250合计50计算该车间工人月产量的中位数。统计学第四章 统计分布的数值特征中位数的确定（组距数列）共 个单位共 个单位共 个单位共 个单位LU中位数组组距为d共 个单位假定该组内的单位呈均匀分布共有单位数 中位数下限公式为 该段长度应为 统计学第四章 统计分布的数值特征二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数

16、调和平均数 几何平均数 中位数 众数数值平均数位置平均数指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。众数二、平均指标的种类及计算方法日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定（单值数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。统计学第四章 统计分布的数值特征众数的确定（组距数列）【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上373283104250合计50计算该

17、车间工人月产量的众数。概约众数：众数所在组的组中值，在本例为500件众数的原理及应用83名女生身高原始数据83名女生身高组距数列统计学第四章 统计分布的数值特征当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。众数的原理及应用统计学第四章 统计分布的数值特征 第五章 变量数列分析5.1 集中趋势的测定5.2 离中趋势的测定 课程学生语文数学英语总成绩平均成绩甲乙丙606555656565706575195195195656565单位：分某班三名同学三门课程的成绩

18、如下：请比较三名同学学习成绩的差异。统计学第四章 统计分布的数值特征集中趋势弱、离中趋势强集中趋势强、离中趋势弱统计学第四章 统计分布的数值特征5.2 离中趋势的测定一、离中趋势的涵义 二、标志变异指标的种类及计算三、是非标志的标准差及方差指总体中各单位标志值背离分布中心的规模或程度，用标志变异指标来反映。离中趋势反映统计数据差异程度的综合指标，也称为标志变动度变异指标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大统计学第四章 统计分布的数值特征测定离中趋势的意义用来衡量和比较平均数代表性的大小；用来反映社会经济活动过程的均衡性和节奏性；用来测定变量数列次数分布较正态分布的偏离程度。

19、 统计学第四章 统计分布的数值特征5.2 离中趋势的测定一、离中趋势的涵义 二、标志变异指标的种类及计算三、是非标志的标准差及方差测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类统计学第四章 统计分布的数值特征指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称极差。全距最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则统计学第四章 统计分布的数值特征【例B】某季度某工业公司18个工业

20、企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（）组中值（）企业数（个）计划产值（万元）90以下90100100110110以上8595105115231038002500172004400合计1824900计算该公司该季度计划完成程度的全距。统计学第四章 统计分布的数值特征优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中全距的特点统计学第四章 统计分布的数值特征 简单平均差适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用 表示平均差计算公式：总体算术平均数总体单位总数第 个单位的变量值统计学第四

21、章 统计分布的数值特征【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解：即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。 加权平均差适用于分组资料平均差的计算公式总体算术平均数第 组变量值出现的次数第 组的变量值或组中值统计学第四章 统计分布的数值特征【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300400400500500600600700700800800900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计20

22、00解：即该公司职工月工资的平均差为138.95元。优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。平均差的特点一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况统计学第四章 统计分布的数值特征 简单标准差适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用 来表示；标准差的平方又叫作方差，用 来表示。标准差计算公式：总体单位总数第 个单位的变量值总体算术平均数统计学第四章 统计分布的数值特征【例A】某售货小组5个人，某

23、天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。解：（比较：其销售额的平均差为93.6元）即该售货小组销售额的标准差为109.62元。 加权标准差适用于分组资料标准差的计算公式总体算术平均数第 组变量值出现的次数第 组的变量值或组中值统计学第四章 统计分布的数值特征【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300400400500500600600700700800800900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计2000解：（比较

24、：其工资的平均差为138.95元）即该公司职工月工资的标准差为167.9元。由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。证明：当a,b,c0时，有 标准差的特点不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算.统计学第四章 统计分布的数值特征简单标准差加权标准差标准差的简捷计算避免离差平方和计算过程的出现目的:变量值平方的平均数变量值平均数的平方统计学第四章 统计分布的数值特征测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类统计学第四章 统计分布的数值特征可比变异系数指标统计学第四章 统计分布的数值特征身高的差异水平：cm体重的差异水平：kg用变异系数可以相互比较可比统计学第四章 统计分布的数值特征平均差系数标准差系数变异系数指标用来对比不同水平的同类现象，特别是不同类现象总体平均数代表性的大小:标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。应用:统计学第四章 统计分布的数值特征【例】某年