佳一数学2014年暑期教案人教版八升九-8一次函数与方程不等式

1、第八讲 一次函数与方程、不等式教学内容佳一动态数学思维暑期衔接版，八升九第八讲“一次函数与方程、不等式”.教学目标 知识技能1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；2.通过具体问题初步体会一次函数的变化与一元一次不等式解集的联系；3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数学结合”思想.数学思考 1.经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想；2.在教学过程中，学生体会数学中的比较和转化思想.问题解决1.通过观察函数图象解决不等式解集问题，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力2.在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和

2、结论.情感态度学生在小组合作学习中体验学习的快乐，合作交流的好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心里体验.教学重点、难点重点：初步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一次函数的图象求一元一次不等式的解集难点：理解一元一次不等式、一元一次方程、一次函数之间的关系及实际运用教学准备动画多媒体语言课件第一课时教学路径导入：师：上节课，我们一起学习了一次函数的知识，前面我们还学习过一元一次方程以及一元一次不等式，那么你知道它们三者之间有什么关系吗？这节课老师就带领大家一起来探讨一下这个问题.师：大家都知道龟兔赛跑的故事吧，骄傲的兔子

3、由于睡过了时间而输了比赛，但是兔子输的心有不甘，于是就又找到了乌龟决定再比赛一次，那到底比赛的结果是什么样的呢？我们一起来看一看.启动性问题龟兔赛跑，小兔子输掉了比赛，非常不服气，于是就邀请乌龟进行第二次比赛，为了证明自己的实力，兔子决定让乌龟先跑200米,整个全程是350米（如图）.请问:在不出意外的情况下,这次到底谁赢?小萍:当s=350时,对于乌龟来说，由2t+200=350,解得t=75，即乌龟跑到终点需75分钟.小颖:当s=350时,对于兔子来说，由70t=350,解得t=5，即兔子跑到终点需5分钟，所以在不出意外的情况下,这次兔子赢.师：你能分别计算出乌龟和兔子跑到终点分别需要多长

4、时间吗？生列方程计算后确定谁赢.师：接下来我们一起来回想一下一次函数与一次方程的关系.回顾：1. 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k,b为常数，k0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例，这就是说，在y=kx+b中，当y=0时，即kx+b=0为一元一次方程.（下一步）2. 一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）任何二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数，且a0,b0)都可以化为y=- x+ 的形式，所以每个二元一次方程都对应着一个一次函数；（2）从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从

5、“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标.师：在我们复习完相关的基础知识后，下面我们开始今天的课本知识的学习.初步性问题探究类型之一 一次函数与一元一次不等式例1如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m),则不等式组mxkx+bmx-2的解集是_.解析一：把点A的坐标代入y1=kx+b可得b=2，把点P的坐标代入y1=kx+b可得k=m-b=m-2；（下一步）原不等式组可化为mxmx-2x+2mx-2，也即0-2x+2-2；（下一步）解此不等式组得1x2.解析二：P(1,m),当x1时，mxkx+b；（下一步）把（1，m)代入y1=kx+b得k+

6、b=m，又易知b=2,m-k=2，联立方程组解得x=2；（下一步）画出直线y=mx-2如图所示（动画），当x2时，kx+bmx-2；（下一步）综上可知不等式组mxkx+bmx-2的解集是1x2.答案：1x21.教师指定学生读题，并说一下自己能够获得的信息.生：把点A的坐标代入可以得到b=2.把点P的坐标代入可以得到k+b=m，所以m-k=2.师：很好，如果题目告诉我们一条直线经过某一点，那么我们就可以把点的坐标代入来确定字母系数的值或者关系.但是知道只这些，要求的不等式组中k和m我们还是不知道，如何来求不等式组的解集呢？小组内讨论一下吧.2.学生小组讨论，讨论结束后每小组派代表说一说自己小组的

7、讨论结果.生1：我们是把k用m表示出来，然后带进去解不等式得到结果的.因为m-k=2，所以k=m-2，原不等式组就化为mxmx-2x+2mx-2，也即0-2x+2-2，然后解不等式组就可以得到1x2.师：有没有和他们想法不太一样的？生2：我们是根据图象来确定的. mxkx+b表现在图象上就是直线y2=mx在直线y1=kx+b的上方，又P的坐标为（1，m），所以我们很容易可以得到x1.把直线y2=mx向下平移2个单位就可以得到y=mx-2，（教师可以让学生上台画图）然后再确定直线y1=kx+2和直线y=mx-2的交点的很坐标就可以了.师：那么它们交点的横坐标你是怎么求的？生2：联立y1=kx+2

8、和y=mx-2组成方程组可以求得x=2.这样就能得到不等式组mxkx+bmx-2的解集是1x2.3.师小结：（1）不等式ax+b0（或ax+b0）的解集就是一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时x的取值范围；（2）若解不等式ax+bcx+d（或ax+bcx+d）（a，b，c，d为常数，且ac），则可化为最简一元一次不等式,也可以将两边分别看作一次函数,利用一次函数的图象求解.探究类型之二 一次函数与一次方程（组）例 2 点A,B,C,D的坐标如图所示,求直线AB与直线CD的交点坐标.解析：先用待定系数法分别求出直线AB和CD的函数解析式，然后联立组成方程组求解.答案：解：设直线AB的函数

9、解析式为y=k1x+b1，直线CD的函数解析式为y=k2x+b2，则 解得 所以直线AB的函数解析式为y=2x+6，直线CD的函数解析式为y=x+1.解方程组得所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2,2).学生独立解答，教师指定学生上台解答并讲解并小结：(1)用待定系数法求一次函数的解析式；(2)两直线的交点坐标可以看作两个一次函数解析式所组成方程组的解.师：接下来我们一起做几道练习题.学生独立完成课后类似性问题1、2.类似性问题1.如图,直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为(1,2),则使y1y2的x的取值范围为（ ）A. x1 B.x2 C. x1 D. x2 学生独立完成

10、此题，集体核对答案.2. 直线y=-x，直线y=x+2与x轴围成图形的周长是_.（结果保留精确值）解析：如图，易求得A（-2,0），B（-1,1）；（下一步）过点B作BC垂直OA于C（在图中动画作出），则AC=BC=OC=1，根据勾股定理可得OB=AB=；（下一步）OA+AB+OB=2+2.学生独立完成此题，指定学生讲解，其他学生补充指正.第二课时教学路径师：上节课，我们学习了一次函数与方程、不等式组的关系，那么现在我们继续来探讨一下一次函数与方程、不等式组的关系在实际问题中的应用！初步性问题探究类型之三 实际问题中的一次函数与方程（组）的 的应用例3 如图（1）,某容器由A，B，C三个长方体

11、组成，其中A，B，C的底面积分别为25 cm2，10 cm2，5 cm2，C的容积是容器总容积的（容器各面的厚度忽略不计）.现以速度v(单位:cm3/s)均匀地向容器注水,直至注满为止.图（2）是注水全过程中容器中的水面高度h(单位:cm)与注水时间t(单位:s)的函数图象.（1）在注水过程中,注满A所用时间为_s,再注满B又用了_s；（2）求A的高度hA及注水的速度v；解析：根据“底面积高=注水速度注水时间”列方程组求解.答案：（1）10；8（直接填在横线上）（2）解：根据题意得解得答:A的高度hA为4 cm,注水的速度v为10 cm3/s.（3）求注满容器所需时间及容器的高度. 解析：长方

12、体A，B的容积占总容积的，由图象可知注满长方体A,B所用时间为18 s，从而可求出注满整个水池所用的时间；（下一步）求出注满长方体C所需的时间，然后根据“底面积高=注水速度注水时间”列方程求出C的高度.答案：解：18（1-）=18=24(s).10(24-18)=5hC,hC=12,容器的高度为12+12=24(cm). 答：注满容器所需时间为24 s，容器的高度为24 cm.1.教师指定学生读题，并说一说自己从图中获得的信息.生：从图中可以看出注满长方体A用了10s，注满长方体A和长方体B一共用了18s，因此注方长方体B一共用了8s，纵轴的12表示长方体A和B的高度一共是12cm.师：同学们

13、，他说的对不对？生：对.师：他都已经把第一问帮我们解决了.请同学们看一下后面的两个问题，思考下然后和你的同桌交流下吧.2.学生先独立思考和然后同桌之间相互交流，交流结束后教师指定学生讲解自己的思路.生：A的高度为hA，那么B的高度就为（12-hA），然后分别对长方体A和长方体B根据“底面积高=注水速度注水时间”列方程组求解就可以求出hA和v了.师：那么第（3）问，你又是怎么解决的呢？生：C的容积是容器总容积的，那么A和B的容积就是容器总容积的，也就是说注满容器的用了18s，求总时间就是18=24（s），这样注满C的时间就是24-18=6（s），再根据“底面积高=注水速度注水时间”求出C容器的高

14、就可以知道整个容器的高度了.师：你们都听明白了吗？生：明白了.师：那赶紧自己整理一下答案吧.3.教师小结：分段函数中,自变量在不同的取值范围内的函数解析式也不相同.在解决实际问题时,要特别注意相应自变量的变化范围.例 4一慢车和一快车沿相同路线从A地到相距120千米的B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示.试根据图象，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发_小时，快车比慢车少用_小时到达B地.（2）根据图象分别求出慢车和快车行驶的路程与时间的关系式（3）快车用了多少时间追上慢车，此时距A地多少千米？答案： 2；8（直接填在横线上）解：（2）设慢车行驶的路程与时间的关系式为y=kx.点（18，1

15、20）在其图象上，120=18k，k=，慢车行驶的路程与时间的关系式为y=x.设快车行驶的路程与时间的关系式为y=ax+b，点（2，0）与（12，120）在其图象上，解得快车路程与时间的关系式为y=12x-24.（3）当x=12x-24时，快车追上慢车，解得x=4.5，y=4.5=30， 4.5-2=2.5（小时）快车用了2.5小时追上慢车，此时距A地30千米学生独立解答此题，教师指定学生上台讲解.师：自己独自把类似性问题3解决吧.类似性问题3. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分钟内只进水不出水，在随后的9分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量都是常数.容器内的水量y（单位：

16、升）与时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示.当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围解析：先分别求出当x3和3x12时对应的函数关系式，然后再令y=5分别求出对应的x的值进行判断.学生独立完成此题，指定学生讲解.答案：【类似性问题】1. C2. 2+23. 解：当0 x3时，设y=mx，则3 m=15，解得m=5，所以y=5x.当3x12时，设y=kx+b，函数图象经过点（3，15），（12，0），解得所以y=x+20.当y=5时，由5x=5,得x=1.由x+20=5,得x=9.所以，当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围是1x9手册答案1. C2. C3. A4. x15. 6. B7. 解:(1)15.4(2)由图可得10吨内每吨2.2元,当y=19.8时,知x10,x=19.82.2=9；当x10时,设y与x的关系为y=kx+b,则解得,y与x之间的函数关系式为y=3.5x-13，当y=29时,知x10,有29=3.5x-13,解得x=1