《从力做的功到向量的数量积》课件

1、5 从力做的功到向量的数量积5 从力做的功到向量的数量积2022/10/12物理中我们学过功的概念，一个物体在力 的作用下产生位移 （如图）力 所做的功W可用下式计算: 其中是 与 的夹角.2022/10/10物理中我们学过功的概念，一个物体在力 2022/10/12当090时，W0, 即力F做正功；当90时，W0，即力F不做功；当90180时，W0，即力F做负功.从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.2022/10/10当090时，W0, 即力F做2022/10/121.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（重点）2.体会平面向量的数量积与向量射影

2、的关系.3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用.（重点）4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）2022/10/101.通过物理中“功”等实例，理解平面向量2022/10/12两个非零向量 和 ，作 ， ，则 （ ）叫作向量 与 的夹角OAB思考1 如何定义向量的夹角？计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.探究点1 向量的数量积2022/10/10两个非零向量 和 ，作 ，2022/10/12OAB若 ， 与 同向OAB若 ， 与 反向OAB若 ， 与 垂直，记作由于零向量的方向是任意的，为方便起见，规定:零向量可与任一向量垂直

3、.2022/10/10OAB若 ， 与 同向O2022/10/12 ，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则| | cos叫作向量 在 方向上的射影(也叫投影)当为锐角时，| | cos_0思考2 什么是向量的射影？OABB12022/10/10 ，过点B 作B2022/10/12OBA当=0时， | |cos=_| |当为钝角时，| | cos_0.当为直角时，| |cos_0=BOAOAB2022/10/10OBA当=0时， | |当为钝2022/10/12OBA当=180时， | | cos=_B1物理实例中，与位移 方向一致的分力 的长度为 cos，即是力 在 方向上的射影.-

4、| |2022/10/10OBA当=180时，B1物理实例中，2022/10/12思考3 平面向量的数量积的定义如何？ 已知两个向量 与 ，它们的夹角为，我们把| | |cos叫作 与 的数量积（或内积）.记作 =| | | cos注意：向量的数量积是一个数量.特别地:零向量与任一向量 的数量积为0.2022/10/10思考3 平面向量的数量积的定义如何？注意2022/10/12 已知 =(1,1), =(2,0), 与 的夹角= 45. 求 .例1 已知| |=3，| |=4，且 与 的夹角=150，求 .解： =| | |cos=34cos150 =34（- ）=6解： | | = , |

5、 |=2, =45,所以 =| | |cos= 2cos45= 2.2022/10/10 已知 =(1,1), =(2,02022/10/12思考4 数量积的几何意义是什么？2022/10/10思考4 数量积的几何意义是什么？2022/10/12特别提醒：1.2.若 是单位向量,则单位向量是一种特殊的向量哟！2022/10/10特别提醒：单位向量是一种特殊的向量哟！2022/10/12重要性质：1.若 是单位向量，则：2.3.4.5.当且仅当 时等号成立. 2022/10/10重要性质：2022/10/12思考5 数量积的物理意义是什么？2022/10/10思考5 数量积的物理意义是什么？TH

6、ANK YOUSUCCESS2022/10/1216可编辑THANK YOUSUCCESS2022/10/102022/10/12反之成立吗？解答：不成立.解答：成立.思考：探究点2 向量的数量积的运算律2022/10/10反之成立吗？解答：不成立.解答：成立.思2022/10/12练习：判断下列说法的正误3若 ， =0，则 = 2若 ，则对任一非零向量 ,有 01若 = ，则对任一向量 ，有 = 0 4若 =0，则 , 中至少有一个为 5若 ， = ，则 = 6若 = ,且 ,当且仅当 = 时成立7对任意向量 有2022/10/10练习：判断下列说法的正误32022/10/12例2 在ABC

7、中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a=b+c2 bccosA，b=c+a2cacosB，c=a+b2abcosC.AacbCB证明：设 则同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.=b+c2 bccosA.2022/10/10例2 在ABC中，设边BC，CA，A2022/10/12向量法证明几何问题的步骤：1.将三角形的边用有向线段表示.2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系.3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.2022/10/10向量法证明几何问题的步骤：2022/10/12例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.证明：菱形ABCD中，AB=AD，

8、由于可得=0，所以，即菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO2022/10/10例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.证2022/10/12证明线段垂直的方法：1.取两个不共线的向量作基底.2.将要证明的向量用这两个向量表示.3.利用 进行证明.【提升总结】2022/10/10证明线段垂直的方法：【提升总结】2022/10/12例4 已知单位向量 , 的夹角为60，求向量 , 的夹角.解：由单位向量 , 的夹角为60，得所以 所以 又2022/10/10例4 已知单位向量 , 的夹角为62022/10/12设 与 的夹角为 ， 由可得又 所以 . 即向量 与 的夹角为 .2022/10/10设 与

9、 的夹角为 ， 由可得2022/10/12技巧点拨： 1.以 ， 为基底,计算 的值.2.利用向量的夹角公式计算. 2022/10/10技巧点拨： 2022/10/121.判断下列说法的正误:（1）平面向量的数量积可以比较大小. ( )（2） ( )（3）已知 为非零向量,因为0 = ， = 0, 所以 = ( ) (4) ( )2022/10/101.判断下列说法的正误:2022/10/122.ABC中， 则该三角形为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】由 知ABC为锐角；由 知,ACB为钝角.C2022/10/102.ABC中， 2022/10/123.在ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，则_.-16 -24.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，则ab=_.2022/10/103.在ABC中，M是线段BC的中点，A2022/10/12解：2022/10/10解：2022/10