线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第三单元

1、1.写出下列平面的方程:(1)过点M(1,1,1)且平行于平面,:-2x+y-z+10;(2)过点M1(1,2,0)和M(2,1,1)且2垂直于平面,:yx10(3)过z轴且与平面2x+y-运z0的夹角为,3解:(1)所求平面与,平行,故其法向量n一2,1,-!_点法式方程,所求平面方程:2(x1)+(y1)(z1)0,即:2x-y+z20(2)法一:设所求平面的法向量为n,则由已知条件n垂直于平面,的法向量n1,1,00ijki+j与MM121,1,1,.n1101-11由点法式方程,所求平面方程为(x1)+(y2)0,即x+y30法二:设所求平面方程为AX+By+CX+D=0将M,M的坐标

2、代入，且由向量A,B,C与平面12A+2B+D0,的法向量n1,1,0垂直得方程组J2A+B+C+D00A+B01解得AB一D,C0,所求平面方程为311DxDy+D0,即x+y30.33(3)因平面过z轴,故可设其方程为Ax+By0,因其与已知平面的夹角为一,3TOC o 1-5 h z,其法向量nA,B,0与已知平面的法向量n2,1,95的夹角为-03,nn2A+B1.COS一0T_/一,3IInIIIInIIJ10.寸A2+b22016A2+16AB6B20,即A一B或3B3平面x+3y0或3x-y0为所求.2.下列图形有何特点?画出其图形.(1)2z30;(2)y0;(3)3x+4yz

3、0.解:(1)平面平行于xOy面，图形如下图.(2)与xOz面重合，图形如下图.(3)平面过原点,其图形如下图.3由原点向平面作垂线，垂足为(x,y,z),求此平面的方程000解：连结(x,y,z)点与原点的向量x,y,z,可作为平面的法向量,000000由平面的点法式方程得：x(xx)+y(yy)+z(zz)，0,即000000 xx+yy+zz，x2+y2+z2为所求平面方程0000004.平面过点A(2,3,0),B(1,1,2)且与向量a，(4,5,1)平行，求此平面的方程解法一：平面的法向量；与AB，3,4,2与a垂直，ijkn，aAB，451，14i5j31k，由点法式方程得342

4、14(x+2)5(y3)31z，0即14x5y31z+43，0.解法二：设平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D，0,将A,B坐标代入,-2A+3B+D，0并由其法向量A,B,C与a垂直可得方程组JAB+2C+D，0,4A+5B+C，014A，D43解得B，D4331C，D43由此得平面方程：14x5y31z+43，0.5求以平面-+-+-，1与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积.abc解法一：设原点为O,平面与坐标轴的三个交点为A,B,C,则四面体OABC的体积V，丄丨abcI,平面ABC上的高为O到平面的距离d，1,6Jill+a2b2c2.AABC的面积3V1S，b2c2+a2c2+a2b

5、2.d2解法二：设所求平面与三个坐标轴的交点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则AB，a,b,0,AC，a,0,c,则AABC的面积1一一S，1一一S，IIABACII，2b0，IIbci+acj+abkII，b6.平面冗过点M(2,0,8)且与二平面x2y+4z7，0,3x+5y2z+3，0都垂直,求冗的方程.解法一：所求平面的法向量n与两已知平面的法向量n,n都垂直,12.n，n.n，nn12ij1235k4，16i+14j+Ilk,2由点法式方程得所求平面方程为16(x-2)-14y-11(z+8)，0,即16x-14y-11z-120，0.解法二：设所求平面的一般

6、式方程为Ax+By+Cz+D，0,将点M的坐标代入,由其法向量与两已知平面的法向量n,n垂直可得方程组122A2A8C+D，0A2B+4C，03A+5B2C，016A，D120解得B，D12011C，D120.所求平面方程为16x14y11z120，07求由平面冗：x-3y,2z-5=0与冗：3x-2y-z，3=0所成二面角的12平分面方程解法一：设平面上任一点的坐标为(x,y,z),则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得：x-3y,2z-5113x一2y一z，311414从而得所求平面方程为：2x,y-3z，8=0,或4x-5y,z-2=0.解法二：过平面,的交线的平面束方程为12(3,)

7、x-(2,3)y,(2-1)z，3-5=0.由于它为冗，冗的平分面,因此其法向量n与冗，冗的法向量有相等的夹角.1212得1(3+)+3(2+3)+2(2-1)113(3+)+2(2+3)(2-1)114-iinii14-iinii解得=1或-1,因此，所求平面方程为4x-5y,z-2=0或2x,y-3z，8=0.习题3.41.对于直线y(1)证明:l/l;12(2)求l与1l的距离;2(3)求l与1l所确定的2平面方程.解:(1)l的方向向量r=1,2,1,l的方向向量=z112习题3.41.对于直线y(1)证明:l/l;12(2)求l与1l的距离;2(3)求l与1l所确定的2平面方程.解:

8、(1)l的方向向量r=1,2,1,l的方向向量=z112kij1=2,4,2,s22s,1法二(3)法(2)法:在2s/s,得12:在l上找2/l.2作垂直于l的平面2(x一1),2(y,3),z=0,即x,2y,z，5=0,参数方程代入2,4+5=0,2_,从3距离找一cosG=|而得平面与l的172B(一,-，-)333IAB1=-3D3C(1,1,0),l上2s-AC1,II-IIACII交点求.找一一4A(1,-3,0),设AC与l的夹角为9,则1C(1,1,0),l上找一点A(l,-3,0),则平面的法向量:在AC=2,0,2,22(x-1)-2z=0,即x-z-1=0为所求.C(1

9、,1,0),D(0,3,1),l上找一点A(1,3,0)2设平面的一般式方程为AxByCzD=0,将A,C,D的坐标代入得方程组A-3BD=0fA=，DABD=0解得B=0-3B-CD=0c=D从而得平面方程x-z-1=0.2.证明:二直线f2x一y3z3=0f2x一y=0:与l:x10y一21=027xz一6=012相交,并求出l与l的交点，夹角以及l与l所确定的平面.1212解法一：l的方向向量s11=30,3,21,取s解法一：l的方向向量s11110在l上找一点A(21,0,在l上找一点A(21,0,15),l的方向向量s=1,2,7,21上找一点B(0,0,6)2从而得l与l的参数式

10、方程12fx=2110X:y=X,l2z=，157X:y=2Xz=67Xf2110X=X,令12IX=2X12=2,X=1,分别代入l,l的参数方程得(1,2,-1)为l,l的交点212121919cos=cos=arccos,1212301230平面的法向量n=r丁=，21,63,2112取n=1,3,1,得平面方程(x-21)3y(z15)=0,即x3yz-6=0.s,s,AB12=0,知l与l共面,s,s,AB12=0,知l与l共面,而S/丁l与l12121212相交,将l的参数式方程代入l的第一个方程解得X=1,从而得交点21坐标(1,2,-1),其余同解法一.3333333求与平3求

11、与平面2x-3y-6z+14=0平行,且与坐标原点的距离为5的平面方程.解法一：由已知条件可设平面的一般式方程为2x-3y-6zD=0,原点到平面的距离d=d=丄DL=5,得D=49，35,333333/.平面方程为2x一3y一6z，35=0解法二：设原点到平面垂线的垂足为A(x,y,z)，由OA与已知平面法向量平行可设OA=2k,3k,6k,由IIOA11=7Ik1=5,得k=，5,7A的坐标为10A的坐标为107157333333由点法式方程得平面方程1015300,即卩2x-3y-6z，350.2(x,)-3(y，0,即卩2x-3y-6z，350.777x一y一4z12=04求点M(3,

12、1,-4)关于直线l:的对称点k-4=6,6,3一2xk-4=6,6,3一2TOC o 1-5 h zj解法一：设对称点的坐标为A(x,y,z),l的方向向量s=1-11取S=2,2,1,过M作垂直于l的平面为：2(x-3)-2(y-1)(z4)=0,即2x-2yz=0.在l上找一点B(-5,7,0),得l的参数式方程x=2九-58代入平面，得九=一，y=2九73158x31y15z48从而l与冗的父点(一，,)%MA的中点，即=一，=,=,3323232358从而l与冗的交点(一，,)%MA的中点，即x31y15z一48=,=,=,从而323237728得对称点坐标(-,).33X3y1z-

13、4*解法二：设对称点为A(x,y,z),由MA的中点(，)在1上及MA222x-y-4z，-42与l的方向向量S，2,-2,1垂直可得方程组2Xy-2z，-21,x一2yz，07x，一377728解得y，,得对称点为(-,一，一).333328z，35求点P(3,1,2)在直线l:x，3t,y，t-1,z，t1上的投影P,并求点P到l的距离d.1211解法一：过点P作垂直于l的平面，其方程为3(x-3)(y-1)(z-2)，0,1211xyz-12，0,将l的参数式方程代入得9tt-1t1-12，0,解得t，V11011V11011得投影点P的坐标(,)及P到l的距离d，lPP1I，11111

14、1解法二：设l上任一点的坐标为A(3t,t-1,t1),则P,A的距离时，此距离取得最小值11PAI，J(3t-3)2(t-2)2(t-1)2，J11t2-24t14,当t时，此距离取得最小值11即为P到即为P到l的距离d，11011，从而得投影点坐标(一,)1111113333336.求直线l：x2y3z5，0的标准方程和在三个坐标面上的投影.2xyz+2，0ijk解:l的方向向量为s，123，1,7,5,取S，1,7,5211取l上一点A（0,l,-1）,得直线标准方程一，175法一：在l的一般式方程中消去z得7x-y1，0,7x-y1，0从而得在xOy面上的投影z，0在l的一般式方程中消

15、去y得5x-z-1，0,5x-z-1，0从而得在xOz面上的投影y，0在l的一般式方程中消去x得5y-7z-12，0,5y-7z-12，0从而得在yOz面上的投影x，0法二：过l的平面束为（2九+1）x（-九2）y（九-3）z（2九-5），0,其中与xOy面垂直的平面兀的法向量与k，0,0,1垂直,得九，3,从而得兀的方程7x-y1，0,从而得l在11xOy面上的投影同样方法可得其在xOz面上的投影5x-z二,在yOz面上的投影y，05y-7z-12，0 x，031313333337.证明:直线xx1y,2z5x71；=与1；12-3423y2z1-=-位于同一平面内,2并求这平面及两直线间的

16、夹角.x=1,2并求这平面及两直线间的夹角.x=1,2x=7,3解法一：1,1的参数式方程为y=23厂y=2,2,12z=5,4z=121,2=7,3=0解方程组11得1I23=2,2I=2122将代入1的参数式方程得1与1的交点(1,2,5),1112ij:.1与1共面，平面的法向量n=23122k4=2,16,13,2由点法式方程得平面方程2x-16y-13z，31=0,两直线间的夹角为其方向向量的夹角cos1,112cos=cos(s,s)=-128=arccos=arccos812493解法二：在1,1上分别取两点A(1,2,5),B(7,2,1),s,s,AB=0,1212:.1与1

17、共面,设平面一般式方程为Ax,By,Cz，D=0,将A,B坐标代入,12且由其法向量与1的方向向量垂直得方程组A-2B,5C,D=A-2B,5C,D=07A,2B,C,D=0,解得2A3B,4C=02=D3116=D,3113D得平面方程得平面方程2x-16y-13z，31=0,其余与法一同.3333338.对于直线x+7y+4z8.对于直线x+7y+4z+3x一21y+5z一2l:=与l:=13422641(1)证明:它们不在同一平面上;(2)写出过l且平行于l的平面方程21解：法一：l,l的参数式方程为12x=，7+3x=21+6y=，4+4,y=54,z=，3一2z=2，7+3=21+6

18、解(12，4+4=，54121得28928,将,代入l,l的参数式方程知l,l无公共交点12121229而l/ll与l不在同一平面上.1212法二：l,l上分别取一点A(，7,，4,，3),B(21,，5,2)1234，2则s,s,AB=6，4，1=，507O,.l与l不共面L121228，15(2)法一：取l上点B(21,-5,2),平面的法向量2ijkn=sxs=1234，2=12,，9,36,取n=4,3,126，4，1由点法式方程得平面方程4x+3y+12z-93=0在l上取两点B(21,5,2),C(27,9,1).2设平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0,将B,C的坐标代入,

19、且其法向量与S垂直可得121A-5B+2C+D=027A9B+C+D=0,A+4B2C=04A=一D93解得B=，D,代入得平面方程.4x+3y+12z-93=0314C=D31复习题三1.设a,b均为非零向量,且libII，1,a,b，,求4IIa+xbII-IIaIIlimTOC o 1-5 h zxT0 xEJ2解：a-b，IIaII-cos，IIaII,2(a+xb)2一a22a-bx+x2IIbII22IIaII2原式，lim，lim，xtox(IIa+xbII+IIaII)xt0 x(IIa+xbII+IIaII)211aII2设向量r与a，i-2j-2k共线占j成锐角，且IIrI

20、I，15,求r.解：由于；与：共线，设；，k,-2k,-2k,II11，3IkI，15.得k，5,由；与j成锐角,取k，-5,得；，-5,10,10,设向量p和向量q，3i+6j+8k与x轴都垂直，且IIpII，2,求向量p.解：由于p与q和x轴都垂直,p平行于qxi，-6k+8jTOC o 1-5 h z一一1一86设p，0,8k,-6k,IIpII，10IkI，2,得k，,从而p，0,55设向量,两两垂直，且符合右手系规则:IIII，4,IIII，2,11II，3.123123计算(x).123解：由于,两两垂直，且符合右手系规则，.x,，0123123(x)，IIxIIIIII，IIII

21、IIIIdIIIsin，24.12312312325平面冗过M(1,1,1)和M(0,1,-1)且与平面x+y+z，0垂直,求冗的方程.12解法一：由已知条件，平面的法向量；与，-1,0,-2和产，1,1,1均垂直.121k-2，2i-j-k，由点法式方程得平面方程2x-y-z，0.1解法二：设冗的一般式方程为Ax+By+Cz+D，0,将M,M的坐标代入12A+B+C+D，0由冗的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组B-C+D，0,A+B+C，022443333333A，2B解得C，BD，0从而得冗的方程：2x-y-z，0.6.平面6.平面过:2x3y1:x+y+z，0的交线且与平面冗22443333333垂直,求的方程.解法一：过冗,的平面束方程为(2九+1)x+(13九)y+(1九)z+九，012且由其法向量与的法向量垂直得2九+1+1-3九+1-九，0,解得九，一22从而得的方程8x-7y-z+3，0.22443333333解法二:化,的交线为标准方程12z-2522443333333jjk35，8,7,1,11其方向向量s，2,3,5,冗的法向量n，sxn，1由点法式方程得冗的方程8x7yz+3，0.解法三：设冗的一般式方程为：Ax+By+C