高三备考资料专题五 抛体运动模型概述

1、7/77/77/7抛体运动模型平抛运动定义：特点只受重力且初速度与重力垂直做平抛运动的物体机械能守恒在平抛运动的物体处于完全失重状态性质：匀变速曲线运动4、平抛运动的规律1位移关系水平位移：竖直位移：合位移的大小seq r(x2y2) ,合位移的方向。2速度关系：水平速度vxv0 ,竖直速度vygt。合速度的大小veq r(voal(2,x)voal(2,y) ,合速度的方向tan 。3重要推论：速度偏角与位移偏角的关系为平抛运动到任一位置A ,过A点作其速度方向反向延长线交Ox轴于C点 ,有OCeq f(x,2)(如下图)。做平抛运动的物体在任意相等时间间隔t内的速度改变量vgt相同 ,方向

2、恒为竖直向下在任意相等时间内 ,重力的冲量相等重力做功5、斜面上的平抛【模型一】倾角为的斜面顶端 ,以水平速度抛出一钢球 ,落到斜面底端 ,抛出点到落点间斜边长为L。1、求运动时间钢球下落高度：得二级结论只与和有关。求平抛末速度及位移大小设小球从A到B时间为水平位移：竖直位移：速度得 【应用】2019全国三卷在一斜面顶端 ,将甲乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出 ,两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的A2倍 B4倍 C6倍 D8倍【解析】应用“二级结论得3求最大距离从抛出开始经多长时间小球离斜面的距离最大？最大距离是多少？从抛出开始计时 ,设经过时间小球离斜

3、面的距离到达最大 ,当小球的速度与斜面平行时 ,小球离斜面的距离到达最大 ,最大距离为。由图知 ,。又 , 解得最大距离为：。【模型二】如图以的水平初速度抛出的物体 ,飞行一段时间后 , 垂直地撞在倾角为的斜面上。求物体的飞行时间？解：由图知 ,在撞击处：得二级结论只与和有关。斜抛运动运动的分解如果物体抛出时的速度v不沿水平方向 ,而是斜向上方或斜向下方的这种情况常称为斜抛 ,它的受力情况与平抛完全相同 ,即在水平方向仍不受力 ,加速度仍是零 ,在竖直方向仍只受重力 ,加速度仍为g。但是 ,斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同 ,分别是vxvcos和vyvsin。因此 ,斜抛运动可以

4、看成是水平方向速度为vcos的匀速直线运动和竖直方向初速度为vsin的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。xyxyOvvxvy如图 ,物体以初速度v斜向上抛出 ,我们以物体离开手的位置为坐标原点 ,以水平抛出的方向为x轴的正方向 ,竖直向下的方向为y轴的正方向 ,建立坐标系 ,并从这一瞬间开始计时。物体在水平方向不受任何外力的作用 ,所以物体在水平方向做匀速直线运动 ,速度vxvcos ,那么物体位置的横坐标随时间变化的规律为 xvxtvtcos；物体在竖直方向只受重力作用 ,由牛顿第二定律可知 ,物体的加速度ag ,方向竖直向下。注意 ,与平抛运动不同的是 ,小球在竖直方向的初速度并不为零

5、,而是等于vyvsin ,由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为 yvyt EQ F(1,2) at2vtsin EQ F(1,2) gt2。运动轨迹从以上两式中消去t ,可得ytanx。根据数学知识我们知道 ,函数方程yax2bxc代表一条开口向下的抛物线。因此 ,斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论：数学知识告诉我们 ,对yax2bxc ,当x时 ,y有最大值ymc。所以 ,对上述斜抛运动轨迹方程 ,当x时 ,y有最大值 ym。对于炮弹的运动而言 ,此即弹道曲线最高点的位置坐标 ,也常称作射高。设斜抛运动轨迹方程中的y0 ,那么有x1=0 , x2 ,式中x2的

6、物理意义是斜上抛运动的水平射程如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离。由此式可以知道 ,要增大射程 ,一是要增大发射速度 ,二是适当调节抛射方向 ,由水平射程表达式可知 ,在v一定时 ,当45常称作投射角时 ,水平射程有最大值 xm。除了上面的研究方案外 ,我们还可以发现 ,炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。这启发我们：是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢？有兴趣的同学不妨一试。请思考：运发动在投掷铅球、标枪时 ,应把投射角控制在什么角度为好？运发动的身高对他的投掷成绩有没有影响？你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗？请试一试！受空气阻力时的运动轨迹我们

7、在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时 ,都没有考虑空气阻力的影响 ,即讨论的是理想抛体运动。实际上 ,物体在空气中运动会受到阻力 ,且阻力与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200m/s时 ,可认为阻力与物体速度大小的平方成正比；速度到达400600m/s时 ,空气阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情况下 ,阻力与速度大小的高次方成正比。由于空气阻力的影响 ,物体以较大的速度斜向上抛出后 ,其运动轨迹会形成不均等的弧形 ,升弧较长而直伸 ,降弧那么较短而弯曲。4km9.5km38km斜向射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大 ,当然路线也不再是抛物线 ,而

8、是所谓“弹道曲线。理论计算说明 ,以610m/s速度射出的炮弹 ,在不计空气阻力的空间其最大射程可达38km ,炮弹将在空中划出一条高9.5km的巨大弧线 ,而实际炮弹在空气中只能飞行4km左右 ,其射程缩短4km9.5km38km由于环绕地球的大气层由里向外是逐渐变稀薄的 ,远程大炮的发射角一般在5070范围内变化。这是因为如此发射的炮弹 ,可到达离地4050km的高度。在这个高度上 ,空气十分稀薄 ,阻力很小 ,炮弹在大气圈中飞越130160km的距离。如果炮弹仍以45倾角发射飞行轨迹全在较稠密的大气中 ,阻力很大 ,就只能到达约10km的射程了。速度随时间变化的规律xyOvvxtvyt我

9、们已经知道 ,斜抛运动可以看成是水平方向速度为vcos和竖直方向初速度为vsin的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动 ,以斜上抛运动为例 ,从抛出开始计时 ,经过时间t后 ,物体水平方向的速度xyOvvxtvyt竖直方向的速度 vytvsingt。根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度即合速度大小 v ,速度的方向可用图中的表示 ,tan。例、观察节日焰火 ,经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来 ,焰火升空后突然爆炸成许许多多小块看作发光质点 ,各发光质点抛出速度v0大小相等 ,方向不同 ,所以各质点有的向上做减速运动 ,有的向下做加速运动 ,有的做平抛运动 ,有的做斜抛运动 ,这些

10、发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面“礼花越开越大呢？请说明理由。提示 用抛体运动的知识 ,求出任一发光质点经过一段时间后的位置坐标间的关系。解析 设某一发光质点的抛出速度为v0 ,与水平方向夹角为 ,将v0沿水平方向x轴和竖直方向y轴 ,向上为正方向正交分解。由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为xyxv0costxyyv0 sint EQ F(1,2) gt2。联立以上两式 ,消去即得x2(y EQ F(1,2) gt2)2(v0t)2 ,这是一个以C0 , EQ F(1,2) gt2为圆心、以v0t为半径的圆的方程式。可见 ,只要初速度v0相同 ,无论初速度方向怎样 ,各发光质点均落在一个

11、圆上在空间形成一个球面 ,其球心在不断下降 ,“礼花球一面扩大 ,一面下落 ,如下图。感悟 此题也可用运动合成和分解的知识解释如下：礼花炮爆炸后 ,每个发光质点的抛出速度v0大小相同 ,方向各异 ,都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动这里忽略空气阻力 ,如果受到空气阻力或风的影响 ,那么 ,“礼花就不会形成球面形状了。很明显 ,前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆 ,后一个分运动都相同 ,所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花球一面扩大、一面下落。三 经典例题1如图1所示 ,斜面上有a、b、c、d四个点 ,abbccd.从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球

12、 ,它落在斜面上的b点假设小球从O点以速度2v水平抛出 ,不计空气阻力 ,那么它落在斜面上的 () 图1Ab与c之间某一点Bc点Cc与d之间某一点Dd点解析：如右图所示 ,作c点在竖直方向的投影点c ,那么以2v抛出的小球应落在c点(如果没有斜面) ,所以碰上斜面的话 ,就应在b与c之间答案：A2如图2所示 ,A、B为两个挨得很近的小球 ,并列放于光滑斜面上 ,斜面足够长 ,在释放B球的同时 ,将A球以某一速度v0水平抛出 ,当A球落于斜面上的P点时 ,B球的位置位于 () 图2AP点以下BP点以上CP点D由于v0未知 ,故无法确定解析：设A球落到P点的时间为tA ,AP的竖直位移为y；B球滑

13、到P点的时间为tB ,BP的竖直位移也为y ,那么：tA eq r(f(2y,g) ,tB eq r(f(2y,gsin2)eq f(1,sin) eq r(f(2y,g)tA(为斜面倾角)故B项正确答案：B3如图3所示 ,一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足 () 图3Atansin BtancosCtantan Dtan2tan解析：物体的竖直分速度与水平分速度之比为taneq f(gt,v0) ,物体的竖直分位移与水平分位移之比为taneq f(0.5gt2,v0t) ,故tan2tan ,D正确 答案：D4如图4所示 ,小朋友在

14、玩一种运动中投掷的游戏 ,目的是在运动中将手中的球投进离地面高H3 m的吊环他在车上和车一起以v车2 m/s的速度向吊环运动 ,小朋友抛球时手离地面h1.2 m ,当他在离吊环的水平距离为x2 m时将球相对于自己竖直上抛 ,球刚好进入吊环 ,他将球竖直向上抛出的速度v0是(g取 图410 m/s2)()A1.8 m/s B3.2 m/sC6.8 m/s D3.6 m/s解析：球相对于人竖直上抛后 ,在水平方向以速度v车做匀速运动 ,球到吊环的时间teq f(x,v车)1 s要使球在t1 s时刚好进入吊环 ,竖直方向必有：Hhv0teq f(1,2)gt2 ,解得：v06.8 m/s ,故C正确

15、答案：C5在无风的情况下 ,跳伞运发动从水平飞行的飞机上跳伞 ,下落过程中受到空气阻力如图5所示的描绘下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的图象中 ,可能正确的选项是()图5解析：跳伞运发动在空中受到重力 ,其大小不变 ,方向竖直向下 ,还受到空气阻力 ,其始终与速度反向 ,大小随速度的增大而增大 ,反之那么减小在水平方向上 ,运动员受到的合力是空气阻力在水平方向上的分力 ,故可知运发动在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动在竖直方向上运发动在重力与空气阻力的共同作用下先做加速度减小的加速运动 ,后做匀速运动由以上分析结合vt图象的性质可知只有B选项正确答案：B二、双项选择题(

16、此题共5小题 ,共35分在每题给出的四个选项中 ,只有两个选项正确 ,全部选对的得7分 ,只选一个且正确的得2分 ,有选错或不答的得0分)6在2009年第十一届全运会上一位运发动进行射击比赛时 ,子弹水平射出后击中目标当子弹在飞行过程中速度平行于抛出点与目标的连线时 ,大小为v ,不考虑空气阻力 ,连线与水平面的夹角为 ,那么子弹()A初速度v0vcosB飞行时间teq f(2vtan,g)C飞行的水平距离xeq f(v2sin2,g)D飞行的竖直距离yeq f(2v2tan2,g)解析：如下图 ,初速度v0vcos ,A正确；taneq f(f(1,2)gt2,v0t) ,那么teq f(2

17、vsin,g) ,所以B错误；飞行的水平距离xeq f(v2sin2,g) ,C正确；飞行的竖直距离yeq f(2v2sin2,g) ,D错误 答案：AC7以速度v0水平抛出一小球后 ,不计空气阻力 ,某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等 ,以下判断正确的选项是()A此时小球的竖直分速度大小大于水平分速度大小B此时小球速度的方向与位移的方向相同C此时小球速度的方向与水平方向成45度角D从抛出到此时小球运动的时间为eq f(2v0,g)解析：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动：xv0t；竖直方向的自由落体：yeq f(1,2)gt2；vygt；taneq f(y,x)；taneq f(

18、vy,v0).联立得：tan2tan；teq f(2v0,g).所以vy2v0 ,故B、C错误 ,A、D正确答案：AD8如图6所示 ,从倾角为的斜面上的M点水平抛出一个小球 ,小球的初速度为v0 ,最后小球落在斜面上的N点 ,那么(重力加速度为g) ()A可求M、N之间的距离B不能求出小球落到N点时速度的大小和方向 图6C可求小球到达N点时的动能D可以断定 ,当小球速度方向与斜面平行时 ,小球与斜面间的距离最大解析：设小球从抛出到落到N点经历时间为t ,那么有taneq f(f(1,2)gt2,v0t)eq f(gt,2v0) ,teq f(2v0tan,g) ,因此可求出dMNeq f(v0

19、t,cos)eq f(2v02tan,gcos) ,vNeq r(gt2v02) ,方向(与水平方向的夹角)：taneq f(gt,v0) ,故A正确、B错误但因小球的质量未知 ,因此小球在N点时的动能不能求出 ,C错误当小球的速度方向与斜面平行时 ,小球垂直于斜面方向的速度为零 ,此时小球与斜面间的距离最大 ,D正确答案：AD9如图7所示 ,两个倾角分别为30、45的光滑斜面放在同一水平面上 ,两斜面间距大于小球直径 ,斜面高度相等有三个完全相同的小球a、b、c ,开始均静止于同一高度处 ,其中b小球在两斜面之间 ,a、c两小球在斜面顶端假设同时释放 ,小球a、b、 图7c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.假设同时沿水平方向抛出 ,初速度方向如图7所示 ,小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.以下关于时间的关系正确的