广东省梅州市中学高二数学理下学期期末试卷含解析

1、广东省梅州市中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线=1与椭圆=1（mb0）的离心率之积等于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是（）A等腰三角形B钝角三角形C锐角三角形D直角三角形参考答案：D【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m的关系，判断三角形的形状【解答】解：双曲线=1的离心率e1=，椭圆=1的离心率e2=，由e1?e2=1，即?=1，a2m2=（a2+b2）（m2b2）a2+b2=m2故选D2. 若集合M

2、=1，2，3，N=x|0 x3，xR，则下列论断正确的是( )AxM是xN的充分不必要条件BxM是xN的必要不充分条件CxM是xN 的充分必要条件DxM是xN的既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据集合的元素的特点，得到M?N，继而得到结论解答：解：M=1，2，3，N=x|0 x3，xR，M?N，xM是xN的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，比较基础3. 在下列命题中：若、共线,则、所在的直线平行；若、所在的直线是异面直线,则、一定不共面；若、三向量两两共面,则、三向量一定也共面；

3、已知三向量、,则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z.其中真命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：A4. 下列命题中，正确的命题个数 ( )用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)p，则P(10)p；回归直线一定过样本点的中心A1个B2个 C3个 D4个参考答案：C错误，r越接近0，说明两个变量有较弱的相关性；正确，据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，一般地，E(ab)aEb，D(ab)a2D(a，b

4、为常数)；正确，据正态分布的对称性易得P(10)；正确，回归直线一定过样本点的中心，这个作为一个性质考生应理解并熟记它综上可知共有3个正确命题，故选C.5. 已知数列满足若a1=,则a2009的值为（ ）A B C D参考答案：C6. 已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）A. 2,+)B. (2,+)C.(,4D. (,4)参考答案：C【分析】先将函数解析式化为，用换元法，令，根据复合函数单调性，以及二次函数性质，即可得出结果.【详解】因为，令，则，因为，所以，因为在区间上显然是增函数；因此，若函数在区间上是增函数，只需在上单调递增，故，解得.故选C7. 函数y=x+cosx的

5、大致图象是(图中虚线是直线y=x ) （ ）参考答案：B8. 双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=2xCy=xDy=x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=x故选：C9. 两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是(A) 垂直(B) 斜交(C) 平行(D) 重合参考答案：A10. 下列命题中为真命题的是（ ）A若B直线为异面直线的充要条件是直线不相交C“是“直线与直线互相垂直”的充要条件D若命题，则命题的否定为：参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小

6、题4分,共28分11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为_. 参考答案：12. 四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD，=，=， =，用基底， 表示向量= 参考答案：【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出【解答】解： =+=+=故答案为：【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13. 正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）的底面边长为2，高为2，为边的中点，动点在表面上运动，并且总保

7、持，则动点的轨迹的周长为 .参考答案：略14. 三个平面最多把空间分割成 个部分。参考答案：815. 某种平面分形如图所示，以及分形图是有一点出发的三条线段，二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发在生成两条线段，依次规律得到n级分形图，那么n级分形图中共有 条线段参考答案：3?2n3n级分形图中的线段条数是以3为首项，2为公比的等比数列的和；解：n级分形图中的线段条数是以3为首项，2为公比的等比数列的和，即=3?2n3；故答案为：3?2n316. 如图，四面体ABCD的顶点A, B,C, D到相对面的距离分别为H1, H2, H3, H4，P为四面体内一点，P到面BCD、ACD、ABD、

8、ABC的距离分别为h1, h2, h3, h4，则 += .参考答案：117. 某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使参考答案：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则 1分 4分目标函数为， 5分不等式组等价于可行域如图所示，7分目标函数可化为由此可知当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数取最大值9分解方程组 得的坐标为10分所以11分答：分别种植甲

9、乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元 12分三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 过椭圆：+=1（ab0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知AF1B的周长为8，椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组的a，c的值，由b2=a2c2求得b的

10、值，则椭圆方程可求；（）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由得其数量积等于0，代入坐标的乘积得到k和t的关系，再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径，然后验证直线斜率不存在时成立从而得到满足条件的圆存在【解答】解：（）由已知，得，解得：，b2=a2c2=43=1故椭圆的方程为；（）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0r1）当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2

11、4=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0 将代入，得，即t2=（1+k2）直线PQ与圆x2+y2=r2相切，r=（0，1），存在圆x2+y2=满足条件当直线PQ的斜率不存在时，易得=，代入椭圆的方程，得=，满足综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数的关系求解，考

12、查了计算能力，属高考试卷中的压轴题19. 已知函数.（1）若，且，求的值；（2）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)在上单调递减区间参考答案：（1）（2）周期为，【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（）的值；（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论【详解】解：（1） 因为，且,所以，所以 （2），所以的最小正周期为当时，再由得，函数在上的递减区间为20. 已知直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A，B两个不同的点（1）求实数b的取值范围；（2）已知弦AB的中点P的横坐标是，求b的值参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）将y=x

13、+b 代入+y2=1，消去y，整理得3x2+4bx+2b22=0，由=16b212（2b22）=248b20 即可（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得x1+x2=2，可得b【解答】解：（1）将y=x+b 代入+y2=1，消去y，整理得3x2+4bx+2b22=0直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A，B两个不同的点=16b212（2b22）=248b20，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（1）得x1+x2=2，得到b=1，满足故b=1【点评】本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，方程思想的应用是解答直线与曲线位置关系工具，属于基础题21. （13分）用数学归纳法证明：参考答案：证明：（1）当时，左边右边等式成立.（2）假设当时等式成立，即那么，即当时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何都成立22. 如图，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60（）求证：平面PBD平面PAC；（）求点A到平面PBD的距离；（）求二面角APBD的余弦值参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（）先证明ACBD，再利用向量的方法证明DBAP，从而可得DB平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD平面PAC；（）求出平面PDB的法向量为，从而可求点A到平面PBD的距离；（）求出平