高考数学总复习 9.3 圆的方程课件

1、要点梳理1.圆的定义 在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是 和 .3.圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r0）,其中 为圆心, 为半径.9.3 圆的方程 基础知识 自主学习集合圆心半径(a,b)r定点定长4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 ,其中圆心为 ,半径 r= .5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1） ；（2） ；（3） .D2+E2-4F0根据题意，选择标准方程或一般方程根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一 般方程

2、6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) （1）点在圆上: ; （2）点在圆外: ; （3）点在圆内: .(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2r2(x0-a)2+(y0-b)2r2基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值 范围是 （ ） A.a-2或a B. a0 C.-2a0 D.-2a 解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 转化为 +(y+a)2= a2-a+1, 所以若方程表示圆，则有 3a2+4a-40,-2a .D2.圆x2+y

3、2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离 是 （ ） A. B. C. D. 解析 配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心（1，-1） 到直线的距离d=D3.（2009重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1， 且过点（1，2）的圆的方程是 （ ） A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析 设圆的圆心C（0，b）,则 =1,b=2.圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.A4.当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过 定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为 （ ） A.x2+y2-2

4、x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 解析 直线方程变为（x+1）a-x-y+1=0, C（-1，2）. 所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 即x2+y2+2x-4y=0.C5.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 （ ） A.（x-3）2+(y+1)2=4 B.（x+3）2+(y-1)2=4 C.（x-1）2+(y-1)2=4 D.（x+1）2+(y+1)2=4 解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r. 圆心C在直线x+y-2=0上，b=2-a. |CA|2=|CB

5、|2， （a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2， a=1，b=1.r=2，方程为(x-1)2+(y-1)2=4.C题型一 求圆的方程【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程. 由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐.解 方法一 设所求的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为 ，r2=题型分类 深度剖析思维启迪即2r2=(a-b)2+14 由于所求的圆与x轴相切，r2=b2. 又因为所求圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0.联立，解得a=1,b=3,r

6、2=9或a=-1,b=-3，r2=9.故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.方法二 设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心为 半径为令y=0，得x2+Dx+F=0,由圆与x轴相切，得=0，即D2=4F. 又圆心 到直线x-y=0的距离为由已知，得即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F）又圆心 在直线3x-y=0上，3D-E=0.联立，解得D=-2,E=-6,F=1或D=2，E=6，F=1.故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0.探究提高 求圆的方程，一般用待定系数法.圆的一般式和标准式均有三

7、个未知数，合理选择方程形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径有关的条件，应优先选择圆的标准形式.知能迁移1（2009辽宁文，7）已知圆C与直线 x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上， 则圆C的方程为 （ ） A.（x+1）2+(y-1)2=2 B.（x-1）2+(y+1)2=2 C.（x-1）2+(y-1)2=2 D.（x+1）2+(y+1)2=2 解析 由题意可设圆心坐标为（a,-a）,则 ,解得a=1，故圆心坐标为 （1，-1），半径r= 所以圆的方 程为（x-1）2+(y+1)2=2.B【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-

8、x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.解 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3. 1分（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，3分 此时 解得b=-2 .5分所以y-x的最大值为 最小值为 7分思维启迪题型二 与圆有关的最值问题（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 9分又圆心到原点的距离为 10分所以x2+y2的最大值是x2+y2的最小值是 12分探究提高 与圆有关的最值问

9、题，常见的有以下几种类型：(1)形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如（x-a）2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.知能迁移2 已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上 任意一点. （1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值 和最小值； （2）求x-2y的最大值和最小值； （3）求 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的 距离为 P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d+r= +1= ，最小值为d-r

10、= -1= . （2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点. tmax= -2，tmin=-2- . （3）设k= 则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点， 题型三 与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上 运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP， 求点P的轨迹. 先设出P点、N点坐标，根据平行四边 形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标,代 入圆的方程可求.思维启迪解 如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分，N（x

11、+3，y-4）在圆上，故（x+3）2+（y-4）2=4.因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点 (点P在直线OM上时的情况).探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程;代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.知能迁移3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0）， B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程； （2）若PBQ=90，求PQ中点的轨迹方程. 解（1）设AP中点为M（x，y

12、），由中点坐标公式 可知，P点坐标为（2x-2,2y）. P点在圆x2+y2=4上， （2x-2）2+（2y）2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为（x-1)2+y2=1.（2）设PQ的中点为N（x，y），在RtPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，连结ON，则ONPQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.题型四 圆的综合应用【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交 于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. （

13、1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OPOQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.思维启迪解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2= OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2m=3,此时0,圆心坐标为 ，半径r = .方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，O1M的方程为y-3=2即：y=2x+4.由方

14、程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.m=3.半径为 ,圆心为方法三 设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.由OPOQ知，点O（0，0）在圆上.圆系方程可化为x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.又圆心在PQ上. +2（3- ）-3=0， =1，m=3.圆心为 半径为 .探究提高 （1）在解决与圆有关的问题中，

15、借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算.（2）本题中三种解法都是方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.知能迁移4 已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论m为

16、何实数，直线l与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2此时，kl=- 从而kl=- =2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.方法与技巧1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形 式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根 据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定 其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆 的几何性质，简化运算.思想方法 感悟提高失误与防范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设 哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外

17、一定点，求圆的切线，应该有两个结果， 若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在 的情况.一、选择题定时检测1.已知C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则F=E=0且D0是 C与 y轴相切于原点的 （ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由F=E=0,D0 圆心为( ,0)，半径 r= C与y轴相切于原点.而 C与y轴相切于 原点能得到F=E=0，但D不一定小于0.A2.（2009宁夏，海南文，5）已知圆C1：(x+1)2+ (y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则 圆C2的方程为 （ ） A.(x+2)2+(y-2)2=1

18、B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1解析 圆心C1（-1，1），设C2（x,y）是点C1关于直线x-y-1=0的对称点，则x=2,y=-2.圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案 B3.已知两点A（-2，0），B（0，2），点C是圆 x2+y2-2x=0上任意一点，则ABC面积的最小值 是 （ ） A.3- B.3+ C.3- D. 解析 lAB：x-y+2=0，圆心（1，0）到l的距离 d= ，AB边上的高的最小值为 Smin= （2 ） =3- .A4.若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是（1，2）,

19、则直线PQ的方程是 （ ） A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 解析 PQ中点M（1，2），kOM= =2. kPQ=- . lPQ：y-2=- （x-1），即x+2y-5=0.B5.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线 都相切的一个圆的方程是 （ ）A.x2+y2-x-2y- =0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+ =0答案D解析6.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0 （a,bR）对称，则ab的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析 配方得

20、（x+1）2+(y-2)2=4,圆心（-1，2） 在直线上.a+b=1，abA二、填空题7.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称, 则a-b的取值范围是 . 解析 圆的方程变为（x+1）2+(y-2)2=5-a, 其圆心为（-1，2），且5-a0，即a5. 又圆关于直线y=2x+b成轴对称， 2=-2+b，b=4.a-b=a-41.（-，1）8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径 的圆的方程为 . 解析 方法一 直线3x-4y+12=0与两坐标轴的 交点分别为A（-4，0）、B（0，3）， 所以线段AB的中点为故所求圆的方程为(x+2)2+方法二

21、易得圆的直径的两端点为A（-4，0）、B（0，3），设P（x，y）为圆上任一点，则PAPB.kPAkPB=-1，即 (x-4,x0),亦即x(x+4)+y(y-3)=0.化简得(x+2)2+答案9.直线ax+by=1过点A（b，a），则以坐标原点O为圆 心，OA长为半径的圆的面积的最小值是 . 解析 直线过点A（b，a），ab= ， 圆面积S= r2= （a2+b2）2 ab= .三、解答题10.根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1,1）和坐标原点,并且圆心在直 线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相 切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，

22、12）,B（7，10）,C（-9，2）. 解 （1）设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意列出方程组圆的标准方程是（x-4）2+(y+3)2=25.（2）方法一 设圆的标准方程为（x-a）2+(y-b)2=r2,解得a=1,b=-4,r=2 .圆的方程为（x-1）2+(y+4)2=8.方法二 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为（1，-4）.半径r=所求圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8.（3）方法一 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，解得 D=-2,E=-4,F=-95.所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.方法二 由A（1，12），B（7，10），得A、B的中点坐标为（4，11），kAB=- ，则AB的中垂线方程为3x-y-1=0.同理得