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1、南华大学 2023 级硕士研究生课程考试试题答案及评分标准考试科目：数值分析 所属学院考试时间考生姓名： 考生学号任课教师考试成绩(15分)函数且的离散值如下表：012032034036031456703334870352274试用拉格朗日二次插值公式求保存小数点后6位并估计截断误差。提示：拉格朗日n次插值公式：，误差公式：评分标准：列出计算式5分，计算结果5分；误差估计5分；计算有误酎情扣1-2分；用拉格朗日插值公式计算：5分10分用牛顿插值公式计算：5分10分15分15分求在-1，1上次数不超过3的最正确一致逼近多项式。提示：第一类切比雪夫多项式。评分标准：给出关系式5分；移项代入比雪夫多

2、项式5分；计算5分；计算有误酎情扣1-2分解：设最正确一致逼近多项式为，那么有，10分15分15分实验数据如下：Xi1925313844Yi190323490733978求形如的经验公式，并估计均方误差。拟合公式提示：，评分标准：给出法方程5分；求出系数5分；给出均方误差5分；计算有误酎情扣1-2分；令 ，解 ，5分，5分，5分15分用四点高斯-勒让德公式求定积分要求小数点后4位。提示：四点公式系数：评分标准：给出变换式5分；正确带入系数5分；正确计算5分；计算有误差酎情扣1-2分；令，得5分用四点高斯-勒让德公式求得5分5分精确值为15分对方程构造一种高斯-塞德尔迭代公式，说明其收敛的理由；

3、以为初值，迭代到。(提示：高斯-塞德尔迭代：，)评分标准：给出变换后的对角占优式5分；判断收敛5分；迭代计算5分，每步1分；计算有误酎情扣1-2分；,D=diag(diag(A),L=-tril(A,-1),U=-triu(A,1),B=inv(D-L)*U, f=inv(D-L)*b., 5分1=0，2=-0.1125 + 0.1654i,3=-0.1125 - 0.1654i，谱半径，所以迭代收敛,5分。取,(k=0,1,2,3,4,5)得下表kXk|Xk-Xk-1|Ax-b|20(0 0 0)13.03841(1.6 1.65 1.075)2.53734.87472(0.7250 0.8

4、937 1.0231)1.15771.56783(1.0379 0.9979 0.9918)0.33120.18774(1.0025 1.0047 1.0009)0.03720.02925(0.9979 0.9990 1.0001)0.00730.01236(1.0004 1.0000 0.9999)0.00260.00197(1.000000282,1.000032093, .000009572)3.7424e-0041.6531e-004实际取k=5即可.5分注精确解为 25分对于初值问题证明用改良的欧拉格式梯形公式是绝对稳定的；取步长，用1的格式计算其数值解小数点后保存5位。提示：梯形公式：评分标准：给出递推式10分，判断绝对稳定性5分；计算10分，每步2分；计算有误差

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