压杆稳定解析课件

1、111 压杆稳定211 压杆稳定11.1 压杆稳定的概念11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力总图11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施311.1 压杆稳定性的概念不稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的平衡位置 微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。压杆的承载能力不仅取决于构件的强度和刚度，还与其稳定性有关。 理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线）作用压力F，

2、给一横向干扰力，出现类似现象： 11.1 压杆稳定性的概念稳 定 平 衡压杆 能 恢复到原(直线)状态的平衡不稳定平衡压杆不能恢复到原(直线)状态的平衡5 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。 显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。 实际的受压杆件由于: 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，3. 材料性质并非绝对均匀，因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。11.1 压杆稳定性的概念611.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式思路：假设压杆在某个

3、压力Pcr作用下在曲线状态平衡，然后设法去求挠曲函数。若：(1)求得的挠曲函数0，说明只有直线平衡状态；(2)求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。7 本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。(a)xlx ymmOy yPcr y11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式8挠曲线近似微分方程：欧拉公式临界力为最小压力：22lEIPcrp=M (x) =Pcrvxlx ymmOy yOyxPcrPcr(a) (b)Fcrx

4、y y设压杆微弯挠曲线的表达式为：，则令其通解为：式中A，B为待定常数。杆的边界条件：代入通解得：11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式9在确定的约束条件下，欧拉临界力Pcr：有关，(1)仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A)(2)是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，(3)与外部轴向压力的大小无关。材料的E越大，截面越粗，短，杆件越临界力Pcr越高；临界力Pcr越高，越好，稳定性承载能力越强；11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式10 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取klp，压杆的挠曲线表达式可写成注意到当x= l /2 时 v=d，故有 A=d。从而

5、知，对应于klp，亦即对应于Pcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式l*初弯曲（初偏心、材质不均匀）对临界力的影响：初弯曲位移函数：x截面上的弯矩：挠曲线近似微分方程：边界条件：挠曲线方程：时，有最大附加弯矩：例题解：截面惯性矩临界力按强度条件,屈服压力解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力 公式。FLxFM0FM0FM0 xFM为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为： = 0.51511.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式支承情况两端

6、铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数=10.7=0.5=2=1PcrABl0.7lCC 挠曲线拐点l0.5lPcrABCDC、D 挠曲线拐点Pcrl2l0.5lPcrl两端固定但可沿横向相对移动16 表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相

7、当于长度为m l 的两端铰支压杆的临界力。上表的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度m l。11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式17 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式例3 求下列细长压杆的临界力。( L = 0.5m )图(a)图(b)解：图(a)图(b)5010FLFL(4545 6) 等边角钢yz11.3 不同约束条件下压杆的欧

8、拉公式199-3 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力 的算式。20在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：21（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。22（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时 最小 =23作业：9-1，9-2，9-42411.4 临界应力 欧

9、拉公式的应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。 细长中心压杆在临界力Pcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按scrPcr /A来计算，亦即25式中，scr称为临界应力； 为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml /i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作l，即 根据欧拉公式只可应用于scrsp的条件，由式(a)知该应用条件就是亦即或写作11.4 临界应力 欧拉

10、公式的应用范围26可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有 通常把llp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把llp的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围2711.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力超过比例极限时压杆临界应力的经验公式式中：a 和b 是与材料有关的常数，单位与应力相同。pu 时：的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。的杆为小柔度杆，以极限应力su作为临界应力。u 时： （

11、1）直线型经验公式： 28临界应力总图b0-su=al PPEspl2 =11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力29s uscrOls plp临界应力总图11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力3011.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力9-7 如果杆分别由下列材料制成：试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。3111.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力解：（1）（2）（3）32(2)抛物线型经验公式在钢结构中：pu 时：lc是细长压杆与非细长压杆柔度的分界值。的杆为细长压杆，其临界应力用欧拉公式求。的杆为非细长压杆，以抛物线经验公式计算临界应力。un。（

12、1）安全因数法稳定计算的一般步骤： 分别计算各个弯曲平面内的柔度y 、z ，从而得到max； 计算s 、p ，根据max确定计算压杆临界压力的公式，小柔度杆cr= s，中柔度杆cr= ab，大柔度杆 计算Fcr= crA，利用稳定条件进行稳定计算。35式中： sst稳定许用应力； s许用压应力； j1折减系数，与柔度和材料有关， 可查规范。(2) 折减因数法11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施36 例1 确定图示连杆的许用压力Pst。已知连杆横截面面积A=720 mm2，惯性矩Iz = 6.5104 mm4，Iy=3.8104 mm4，sp=240 MPa，E =2.1105 MPa。连

13、杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5。若在x-y面内失稳，m=1，柔度为：解：(1)失稳形式判断若在x-z平面内失稳,m=0.5,柔度为：所以连杆将在xz平面内失稳，其许用压力应由lz决定。x580yzPPy700 xzPPl58011.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施37(2)确定许用压力硅钢：ss= 353 MPa，计算有关的lp和ls为：连杆为中柔度杆。a=578 MPa，b=3.744 MPa，其临界载荷为：由此得连杆的许用压力为：(3)讨论：在此连杆中：lz=73.7，ly=39.9，两者相差较大。最理想的设计是ly= lz，以达到材尽其用的目的。11.6 压杆的稳定校核及提

14、高稳定性的措施38例2 图示木屋架中AB杆的截面为边长a=110 mm的正方形，杆长l=3.6 m，承受的轴向压力F=25 kN。木材的树种强度等级为TC15，许用应力=10MPa。试校核AB杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。 由于在桁架平面内AB杆两端为铰支，故=l。AB杆的柔度为折减因数为解: 正方形截面的惯性半径为II截面a110ABII稳定校核满足稳定条件式，故AB杆是稳定的。11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰支，压力F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或直线公式求临界压力和安全系数。解：一个角钢：

15、两根角钢图示组合之后所以，应由直线公式求临界压力。yz安全系数例7 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢图示组合之后，FLz0yy1zC1a求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。例: 图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，3mCFB3.5m2mADP=200MPa， s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试由CD杆稳定性求容许荷截F。解： 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为：AC

16、FNFBxAyA3m2m 已知: 外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，两端铰支 =1 p已知: 杆长 l=3.5m，惯性半径 i=0.032m可用欧拉公式 由稳定条件已知: 杆长 l=3.5m，解题思路判断失稳求临界力稳定计算max平面失稳Fcr F安全系数法折减系数法492.提高压杆稳定性的措施11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施欧拉公式越大越稳定减小压杆长度 l减小长度系数（增强约束）增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）增大弹性模量 E（合理选择材料）减小压杆长度 l5111.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施减小长度系数（增强约束）5211.6 压杆的稳定校核及提高稳定

17、性的措施 压杆的合理截面合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。从横截面的角度，要使小，只有i增大，即截面I大。 尽可能使 I 增大； 尽可能使各方向值相等。5311.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）54 对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。 但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。（3）合理选择材料11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施增大弹性模量 E（合理选择材料）大柔度杆中柔度杆55作业：9-9，9-1056小结1.欧拉公式2.细长压杆临界应力3.压杆柔度适用条件：当心！579-8 下端固定、上端铰支、长l=4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力 ，试求压杆的许可荷载。58解：599-11 一支柱由4根80mm80mm6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长l=6m，压力为450kN。若材料为Q235钢，强度许用应力 ，试求支柱横截面边长a的尺寸。 60解：查表：=mm619-12 某