高数第一章课件1-7无穷小比较

1、 k o() 或 定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,若 lim 0, 则称 是比 高阶的无穷小, 记作若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;若 lim C 0,则称 是 的同阶无穷小;若 lim C 0,则称 是关于 的 k 阶无穷小;若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作注:等价无穷小具有反身性,对称性,传递性.sin x x ;tan x x例如 , 当x 0 时x3 o( 6x2 ) ; arcsin x xx2x02又如 ，lim1 cos x 121 cos x 1 x2故 x 0 时 1 cos x 是关于 x 的二阶无穷小, 且n例1. 证明: 当 x

2、 0 时, n 1 x 1 1 x证:limx0n 1 x 1n1 x limx0 n 1 x n 1x1nnn1 x n1 1 x n2 1 1当x 0 时,nn 1 x 1 1 xan bn(a b)(an1 an2b bn1)sin x x,arcsin x x,tan x x,arctan x x,a xe xn 1 x 1 x ,n1 cos x 1 x 2 , 1 x ln a,ln(1 x) x,2 1 x.常用等价无穷小: x 0 时,tan x sin x 1 x32 o()定理1.证:lim 1lim( 1) 0, 即 lim 0 o() , 即 o()例如,x 0 时,s

3、in x x,tan x x ,故x 0 时,sin x x o(x),tan x x o(x)设 , ,且 lim 存在 , 则lim lim 证: lim lim lim lim lim lim 例如,lim tan 2x lim 2x 2x0 sin 5xx0 5x5定理2 .(等价无穷小替换定理)注意:不能等价无穷小代换.代数和中无穷小替换一定要慎重.说明:设对同一变化过程, , 为无穷小 ,由等价无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.例如,sin xlimx0 x3 3x limxx0 3x3 1(1)和差取大规则:若 = o() , 则 (2)和差代替规则: 若 , 且

4、与 不等价,则 , 且lim lim 但 时此结论未必成立.例如,limx021 xtan 2x sin x lim 2x x1 x 1x0 2且lim 1则 lim (x) lim (x)(3)因式代替规则:若 , 且 ( x)为无穷大x3x0 x3x0原式 lim x xx3x012x3x 1 x2lim 2x0原式 lim tan x (1 cos x)例2. 求 lim tan x sin x .解:2nn例lim 2n sin x1 x22 1 x2例3. 求1lim (1 x 2 )3 1.x0cos x 1解:当x 0 时,312(1 x)1 1 x2cos x 1 2 1 x2

5、3原式 limx0233 sin 3xx0例4.求lim tan 5x cos x 1.x0 sin 3xsin 3xx0解:原式 lim tan 5x lim 1 cos x 33 x1 x 2x0 3 xx03 lim 5 x lim 2 5 0 5 .x0练:求lim sinln(1 2 x) sinln(1 x)ln(1 arc sin x)练习2:若 lim a tan x b(1 cos x) 2,2x0 ln(1- 2 x) c(1 - e- x)？a ()- 4内容小结lim klim C 0 ,1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 00 , 是 的高

6、阶无穷小 , 是 的低阶无穷小 C ( 0) , 是 的同阶无穷小 1 , 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小2. 等价无穷小替换定理思考与练习1n1 xn1 )1.求极限lim n2 ( xn( x 0 )答案:ln x作业P593 ;4 (2) , (3) , (4);解答不能例当 x 时xf ( x) 1 ,xg( x) sin x都是无穷小量但xf ( x)limg( x) lim sin xx不存在且不为无穷大故当 x 时f ( x)和g( x)不能比较.思考任何两个无穷小都可以比较吗？一、 填空题：x0 sin 2 x1、limtan 3 x=.m(sin x)arcsin x

7、n2、limx0=.xx03、lim ln(1 2x) =.4、limx 2 arctan xx01 x sin x 1=.n5、lim 2n sin x =.x2n1(1 ax) n 16、limx0=.2练 习 题30m n1m nm n2xna7、当 x 0 时，对于 x 是a x 3 a(a 0)阶无穷小 .等价，则sin3 xtan x sin x1、limx0； e e2、lim；xx0 x axa3m, n 2 .2二、求下列各 极限：8、当 x 10 时，无穷小 1 cos x 与 mxn12e3、lim sinx sin x ； 4、lim tan x tan a ；sec2 四、设f(x)=lim 2 1nx 2n求：1、 f ( x)的表达式 .2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)，x1limf ( x) f (1).x1x5lim ln(1 2 x ) ln(1 3 )x三、证明：若, 是无穷小，则 0( ).x 2n1 sin x cos(a bx)3 ln 22nox 11 . fx limx2n1 sin x cosa bx21x 1x 1x 1 x sin 2 xncosa bxx 11cosab 21cosab 22o. f 1 0 lim cosa