2010级商务数学期末考试题参考答案及详解

1、一填空题（1 分12 分1. fx0 xa,bf x C xa,b【注】依据Lagrange 定理推论1（见第76 页边际收益等于边际成本是取得最大利润的【注】参见第99 页最后一段tanxdx lncosx C【注】也可填lnsecxC（见第113页例Fx 1tetdt，则Fx xexx【注】依据公式d btdt x（参第137 页例dx dx 2【注】显然定积分1 lnxdx 为一常数，而任何常数的导数均为0 11x2 dx 0【注】利用“对称区间上奇函数的定积分为”这一性质（见140 页性质b定积分的分部积分公式为budvuvb b【注】见第140 页定理1 1 dx当1 时收敛0 【注

2、】瑕积分知识（见第151 页例n1 n!【注利用递推公式s1ss，也可填nn（见第152 页z xy，则 xy11 【注】z yxy1z 1xy1 yxy1lnx xy11 ylnfx y,xy2x2 xy2y2，则f 4x【注】令ux y，vxy，则fx y,xy2x2 xy2y2 2x y2 3xyfu,v2u2 3v，故fx,y2x2 3y，于是f 4x函数fx,y2xy3x2 2y2 10的极值点为【注】令 fxxy 2y 6x 0 ，解得x 0 ，即0，0为驻点.不难fx,y 2x4y y 值点（A600，0为极大值点）.二计算题（4 分40 分lim xsinx x0lim sin

3、xln解法1 lim xsinx lim esinxlnx ，而应用LHospital 法则可x0 x0lnln lim sinxln x lim lim limtanx 10 0 x0 cscx0 cscxcotx0 故原式e0 1解法2 y xsinx，则lnysinxlnx ，而应用LHospital 法则可 limlny limsinxlnx lim tanxx0 cscx0 cscxcotlim ln100，故原式 lim y limelny e01x0 x0 x1t3 lim 13 .1 LHospital 法则01t3 00lim 3dt 0 01 x 2 1 0331 331

4、2 13131 31 lim2 3 12 LHospital 法则3 0 x1t3 01x31x3lim 1 1x0 4x31 x3 1x3 x0 4x3 1x3 1x3 1x3 1x3 21【注】两种解法的第一步， 都需要求变上限积分对 x 的导数：111 111 dt （见第137 页定理，设z2x23y23x2，z 解法1 先取对数，得lnz3x2yln2x2 3y2两边求关x 的偏导数，可1z 3ln2x2 3y23x22x2 3y整理得zz 2x23y23x2y3ln2x23y24x3x2y2x2 3y2同理，两边求y 的偏导数1z 2ln2x2 3y23x262x2 3y整理得zz

5、 2x23y23x2y2ln2x2 3y26y3x2y2x2 3y2解法2 z uv ，其中u 2x2 3y2，v 3x2y，则由多元复合函数求z z u z v vuv1 4xuv lnu3 uv4xv 3lnuu v 2x2 3y23x2y 4x3x2y3ln2x2 3y2 2x2 3yz z u z v vuv1 6yuv lnu2 uv6yv 2lnuu v 2x2 3y23x2y 6y3x2y2ln2x2 3y2 2x2 3y解法3z2x2 3y2 3x2y 改写为ze3x2yln2x2 3y2 ，不难z e3x2yln2x2 3y2 3z 2x2 3y23x2y 2ln2x2 3y

6、2 6y3x2y2x2 3y2 4 取对数，得lnz 3x 2yln2x2 3y2 .两边求微分1dz ln2x2 3y2d3x 2y 3x 2ydln2x2 3y2， 1dz ln2x2 3y23dx2dy 3x2y4xdx6ydy，整理2x2 3dz 2 2 4x3x2 2 26y3x2z3ln 3z2ln 32x2 3y2 由公式dzzdxzdy，比2x2 3y2 455x11 1 C C3333333【注最后一步还原时要用到三角函数知xtant得tant x x11 x即在三角形中锐角t 的对边为x ，邻边为1，于是其1 xx1 sinx1 ex cosxdx1 excosxdxcos

7、xdex ex cosxexdcosxex cosxexex cosxsinxdex ex cosxex sinxexdsin2excosxsin x ex cosxdx，ex cosxdx 1excosxsinxC22 excosxdxexdsinx exsinxsinxdex exsinxexsinxexdcosxexsinxexcosxcos2exsin xcosx ex cosxdx，ex cosxdx 1exsinxcosxC22 cosx001dx20 1x 2 解 2 cosxdx 3 cosxdx 3cosxdxsinx0sinx 33333 2 6 00 4 16 2 312

8、 1【注由cosx的图像可知，当0 x 时，cosx1；当 x 时cosx12x5x54155t5解令t 则x ，dxdt.当x 1时，t 3；当x 1时1 5t 1 t3 t 1.于是 dx dt 5t2dt5t 528 835 11595 1 14 138 limxkx kte2tdt，求k 的x xkk xk1xx 解因lim lim x xkx 1kxlim 1x xekte2tdt 1k tde2t 1te2t k k e2tdt 1ke2k 1e2t k 1ke2k 1e2k2 2 2 1k 1e2k，故e2k 1k 1e2k，于是1 1k 1，即k 5 222222【注】在本题解

9、题过程中应用分部积分法计算kte2tdt 时需利用LHospital 法则求极lim 0tt t 求由exy 2xyz ez 所确定的隐函数z zxy在0,0解法1 将方程改写为exy 2xyzez 0，并令Fx,y,zexy 2xyzez x xexy 2FFez 2yz2xz2xye 故zx x z Fy exy 2xz .由于当x0 且y 时，z 0 ，故 zez zx yz0,01，于是所求全微分为y 解法 2 在方exy 2xyzez 两边分别对 x y 求偏导, 可exy 2y1zxzez z exy x2 1四、应用题（8 分40 分A manufacturer of dishw

10、ashers can produce up 1,.列如下x11, 00y（拐点ln（拐点y 的符号，可知1,1为上凹,1和1, 为下间，拐点为 1,ln 2和1,ln 3. 求由曲线yx2y4xx2y0所围图形的面积，并分别求出该图形绕x 轴及 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积.解 由y 解得x 0 和x y y y4 y y 4x的交点和；又由y4xx2 解得x0 和x4 ，即 2 y y y y 0 的交点为0,0和4,0（草图略所求平面图形的xS2 x2dx44xx2dx 1 x2 2x2 1x3 8（面积单位22所求旋转体的体积分别2 2 5 16 1 5 Vx 0 x dx2 4xdx 52x x （ 4积单位Vy 4244y y2dy8y84y2 y2 30 3 （体积单位y线函数的自变量表示为 y ，而将因变量表示为 x .不难看出，由曲线 y x2，y 4x x2和y 0所围图形其左方曲线由y x2可得x 半支抛物线x 与本题所指图形无关，故舍去，其右方曲线由yy4xx2即