高等数学讲义-第一章-函数课件

1、高 等 数 学主讲：李铮高 等 数 学主讲：李铮预备知识1. 数学归纳法设 P 是一个与自然数 n 有关的命题。如果 (1)n=1 时，P 成立。 (2) 假设 n=k 时，P 成立，能够推出 n=k+1 时 P 也成立。则命题 P 对一切自然数 n 均成立。注：i) 如果命题 P 对于 n N0 时成立，则应验证n= N0 时，P 成立。ii) 也可假设n=1，n=2，n=k 时，P 均成 立，能够推出 n=k+1，P 也成立。预备知识1. 数学归纳法设 P 是一个与自然数 n 有关的命2. 算术平均值大于等于几何平均值此时，对于算术平均值而言，达到了最小值；对于几何平均值而言，达到了最大值

2、。3. 常用记号 :对于任意给定的； ：存在2. 算术平均值大于等于几何平均值此时，对于算术平均值而言，第一章函数函数是高等数学的主要研究对象，它揭示了现实世界中各种变量之间的相互依存关系，是高等数学中最重要的基本概念之一。第一章函数函数是高等数学的主要研究对象，它揭示了现实世界1. 函数的概念1. 实数的绝对值常用的相关不等式1. 函数的概念1. 实数的绝对值常用的相关不等式2. 变量在高等数学中，主要研究变量。常用区间或邻域来表示变量的取值范围1)区间：2)邻域：2. 变量在高等数学中，主要研究变量。1)区间：2)邻域：定义：设有非空数集 X 和数集 Y ，如果对于 X 中的每一个数 x

3、, 按照对应法则 f 都对应于 Y 中唯一的一个确定的数 y ，则称 f 为定义在 X 上的函数，记做 f : X Y。 数 x 对应的数 y 称为 f 的函数值，记作 y =f (x)其中 X 称为函数 f 的定义域 (或D( f ) )，函数值 y 的集合称为 f 的值域 ,记作 f (X) (或R( f ) ) 。在本课程中，为了便于讨论具体的函数常把函数 f 记作 f (x) 。定义：设有非空数集 X 和数集 Y ，如果对于 X 中的每一2. 函数的表示法1. 表格法：用表格来表示一种函数关系。3. 公式法 (或称解析法)： 用公式来表示一种函数关系。2. 图示法：用图来表示一种函数关

4、系。在函数定义中，对应法则不一定是一个公式，有时需用几个公式加以表达，用多个公式来表示的函数称为分段函数。2. 函数的表示法1. 表格法：用表格来表示一种函数关系。例3. (Dirichlet) 函数是一个定义在0，2上的分段函数如2.3 = 2例 2. 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，称 y = x 为 x 的取整函数。-2.3=?=-3例3. (Dirichlet) 函数是一个定义在0，2上求函数的定义域主要掌握五种基本类型函数定义的两个要素：定义域、对应规律。求函数的定义域主要掌握五种基本类型函数定义的两个要素：定义域所以，定义域为 (- ,0

5、) (0,1) (1,2) (2,+ ) 例4. 求下列函数的定义域所以，定义域为 (- ,0) (0,1) (1,2所以，定义域为-2，-1） （1，4所以，定义域为-2，-1） （1，4解：利用函数的“变量无关性”解：利用函数的“变量无关性”3. 函数的特性1. 奇偶性设 X 为对称区间或为 R = (- ，+ )3. 函数的特性1. 奇偶性设 X 为对称区间或为 R 例1. 判定下列函数的奇偶性所以 f ( x ) = ch x 为偶函数例1. 判定下列函数的奇偶性所以 f ( x ) = ch所以 f ( x ) 为奇函数。所以 f ( x ) 为奇函数。2. 单调性设函数 y = f

6、 ( x )，定义域为 X。单调增（或减）函数，简称单调函数。 除去等号称为严格单调函数。2. 单调性设函数 y = f ( x )，定义域为 X。单例2. 证明函数 f ( x ) = x cos x 在 (- ，+ ) 上无界。无界也可以定义为：3. 有界性设 y = f ( x )，定义域为 X 若 M 0， x X ，有|f ( x )| 0,使得 x X，有 x T X 且 f ( x + T ) = f ( x )。则称 f ( x )为周期函数，T 为一个周期。 一般,当最小周期存在时，称最小周期为周期。思考：周期函数是否一定有最小（正）周期。4. 周期性注：定义高等数学讲义-第

7、一章-函数课件4. 反函数与复合函数1. 反函数 习惯上，将函数 y = f ( x )的反函数用 表示。若用 x 表示自变量，则反函数可记作为设函数 y = f ( x ) 的定义域为X，值域为 f (X)。若对于每一个 y f(X)，有唯一的一个 x X与之对应，使得 f ( x )= y，则在 f(X)上定义了一个 f 的反函数.4. 反函数与复合函数1. 反函数 习惯上，将函数 y 高等数学讲义-第一章-函数课件2. 复合函数设函数 y = f ( u )，u ；u = ( x )，x X。如果当 x 在 X * ( X ) 中取值时，相应的 u 值在中，那末称 y 为 x 的复合函数

8、。定义域为 X* ，u 称为中间变量。在复合过程中，中间变量可多于一个，但不能任意复合。2. 复合函数设函数 y = f ( u )，u ；u 高等数学讲义-第一章-函数课件高等数学讲义-第一章-函数课件5. 初等函数下列五类函数称为基本初等函数4) 三角函数1. 基本初等函数5. 初等函数下列五类函数称为基本初等函数4) 三角函数15) 反三角函数5) 反三角函数一般来说分段函数不是初等函数。2. 初等函数等 均为初等函数，凡是由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次复合后能用一个公式表示的函数，称为初等函数。shx 称为双曲正弦函数，chx 称为双曲余弦函数。一般来说分段函数不是初等函数。2. 初等函数等 均为初等第一章重点练习题2. 求下列函数的定义域1. 用区间表示变