2007年考研数学一真题及答案

1、 一、选择题（1 10小题，每小题4 分，共40 分。下列每题给出的当时，与 等价的无穷小量是(A)(B)(C)(D)【答案】B。【解析】时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较曲线(A)0渐近线的条数为(B)1精选文库(C)2(D)3【答案】。【解析】由于，则又是曲线的垂直渐近线；所以是曲线的水平渐近线； 一侧。-2精选文库则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线如图，连续函数在区间上的图形分别

2、是直上的图形分别是直径,则下列结论正确的是径为1 的上、下半圆周，在区间为 2 的下、上半圆周，设(A)(B)(C)(D)-3-2-10123【答案】C。【解析】【方法一】-3精选文库四个选项中出现的意义确定在四个点上的函数值可根据定积分的几何则【方法二】由定积分几何意义知,(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)(D),故选(C)。综上所述，本题正确答案是。定积分的应用设函数在处连续，下列命题错误的是-4精选文库(A)若(B)若存在，则存在，则(C) 若(D) 若存在，则存在存在，则存在【答案】。【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；

3、(B)：若存在，则,则，故(B)正确。(C)存 在 ， 知， 则则存在，故(C)正确(D)存在，-5精选文库不能说明例如存在在处连续，存在，但是综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念不存在，故命题(D)不正确。设 函 数在内 具 有 二 阶 导 数 ， 且, 令,则下列结论正确的是(A)若(C)若,则,则必收敛(B)若(D)若,则必发散必收敛,则必发散【答案】。【解析】【方法一】图示法：由，知曲线是凹的，显然，图 1 排除选项(A)，其中(B)；图3 排除选项(C),其中；图 2 排除选项；故应选(D)。-精选文库图1图2图3【方法二】排 除 法 ： 取, 显

4、 然 在，但,，排除 A；取取在上，且,但,排除；在上，且,但，排除(C),(D)。【方法三】由拉格朗日中值定理知当时，由于，且,则从而有-7精选文库则有综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线设曲线(具有一阶连续偏导数)，过第 象限内的点 和第 象限的点 ， 为 上从点 到点 的一段弧，则下列小于零的是(A)(C)(B)(D)【答案】B。【解析】设的坐标分别为，则由题设可得因为,；-8精选文库；综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学多元函数积分学两类曲线积分的概念、性质及计算设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)(B)(C)(D)

5、【答案】A。【解析】(A)：因为,所以向量组线性相关；(B)：-9精选文库因为无关线性无关，所以判断线性由于,故知线性无关；(C)：理线性无关；(D)：，同理线性无关；综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关设矩阵,则 与(A)合同，且相似(C)不合同，但相似【答案】B。(B)合同，但不相似(D)既不合同，也不相似【解析】-10精选文库根据相似的必要条件:，易得 和 肯定不相似，合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。由知矩阵 的特征值.故二次型的正惯性指数,负惯性指数,而二次型也是正惯性指数,负惯性指数，所以 和 合同综上所述，本题正确答案是B。

6、【考点】线性代数二次型二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人第 4次射击恰好第2 次命中目标的概率为(A)(C)(B)(D)【答案】C。【解析】根据独立重复的伯努利试验，前3 次试验中有1次成功和2 次失-11精选文库败，其概率为,第 4 次试验成功，其概率为 ，所以此人第4 次射击恰好第2 次命中目标的概率为综上所述，本题正确答案是。事件的独立性，独立重复试验(10)设随机变量服从二维正态分布，且 与 不相关，分别表示 的概率密度，则在的条件下， 的条件概率密度为(A)(C)(B)(D)【答案】A。【解析】随机变量服从二维正态分布，

7、且 与 不相关，说明 与 相互独立，且在的条件下，根据题目显然的条件概率密度-12精选文库为综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分）(11)。【答案】 。【解析】【方法一】【方法二】令,则-13精选文库综上所述，本题正确答案是 。【考点】高等数学一元函数积分学不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(12)设是二元可微函数，,则。【答案】【解析】利用复合函数的求导方式，可直接得出综上所述，本题正确答案是。【

8、考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分(13)二阶常系数非齐次微分方程的通解为。【答案】其中为任意常数【解析】对应齐次方程的特征方程为-14精选文库则对应齐次方程的通解为设原方程特解为,代入原方程可得所以原方程的特解为故原方程的通解为数，其中为任意常综上所述，本题正确答案是任意常数。其中为【考点】高等数学常微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(14)设曲面,则。【答案】 。【解析】由积分区域和被积函数的对称性有，所以，-15精选文库故综上所述，本题正确答案是 。【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(15)设矩阵【答案】1。【解析】因为所以。综上所述，

9、本题正确答案是1。【考点】线性代数矩阵矩阵的乘法，矩阵的秩(16)在区间 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。【答案】 。【解析】-16精选文库假 定 在 区 间则如下图所示，中 随 机 地 取 两 个 数 为， 则,把看做直角坐标系内一个点的坐标，为正方形区域内的点，而满足的点的区域就是下图阴影区域。根据几何型概率，11综上所述，本题正确答案是 。【考点】概率论与数理统计随机事件和概率几何型概率三、解答题（本题共8 小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(17)（本题满分11 分）求 函 数在 区 域-17精选文库上的最大值和最小值。【解析】因为所以函数

10、在区域内的驻点为再求函数在边界线上的极值，构造拉格朗日函数为：,则,解得,而-18精选文库上的最大值为，最小值为【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用(18)（本题满分10 分）计算曲面积分，,其中 为曲面的上侧。【解析】为曲面的上侧，添加一个平面,取下侧，则 和 构成闭合曲面，其所围区域记为 ，于是而-19精选文库所以【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(19)（本题满分11 分）设函数在上连续，在内具有二阶导数，且存在相等的最大值，使得,，。【解析】【方法一】令,则设在内 的 最 大 值 为， 且 分 别 在时取

11、到，即若若取到则,即；-20精选文库此时，由连续函数介值定理知在 之间至少存在点 ，综上所述，存在，使得由 罗 尔 定 理 知 ， 存 在, 使 得；再 由 罗 尔 定 理 知 ， 存 在, 使 得即。【方法二】用反证法证明存在假设不存在，使得：，使得，则由的连续性知对于一切设,恒大于零或恒小于零。， 设在取 到 最 大 值 ， 则即, 从 而 可 知在上的最大值比在上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。存在 ，使得-21精选文库所 以 由 罗 尔 定 理 知 ， 存 在, 使 得；再 由 罗 尔 定 理 知 ， 存 在。, 使 得即【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(20)

12、（本题满分10 分）设幂级数在内收敛，其和函数满足(I)证明:；(II)求的表达式。【解析】(I)由题设可得,代入可得-22精选文库即比较同次项系数可得，(II)由可得，故【考点】高等数学无穷级数简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(21)（本题满分11 分）与方程有公共解，求 的值及所有公共解。【解析】【方法一】-23精选文库方程组有公共解，即为将两个方程联立的解对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有已知方程组有解，所以应有时，此时，公共解为：时，,其中 为任意常数。此时，有唯一的公共解为【方法二】当不是方-24精选文库程的解，所以公共解发生在或时，当时，对方程组的系数矩阵进行

13、初等行变换方程组的通解为, 其中 为任意常数。此解也满足方程组，所以此时方程组和的公共解为, 其中 为任意常数。当时，同样求方程组的通解方程组的通解为, 其中 为任意常数。将其代入方程组中得：得,因此此时方程组和的公共解为【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(22)（本题满分11 分）设 3 阶实对称矩阵 的特征值为,且是 的 属 于的 一 个 特 征 向 量 ， 记-25精选文库,其中 为 3 阶单位矩阵。(I)验证 是矩阵 的所有特征值和特征向量；(II)求矩阵 。【解析】(I)由知,那么所以 是矩阵属于 特征值的特征向量同理，有,因此，矩阵 的

14、特征值为。由矩阵 是对称矩阵知矩阵 也是对称矩阵，设矩阵 关于特征值的特征向量是，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有-26精选文库所 以 矩 阵 关 于 特 征 值的 特 征 向 量 是 属于特征值的特征向量是中是不为0 的任意常数。矩阵 属于特征值的特征向量是，其中是不全为 0 的任意常数。(II)由，有所以【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(23)（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为-27精选文库(I)求;(II)求【解析】(I)的概率密度。其中 为区域：(II)【方法一】。根据两个随机变量和的概率密度的一般公式有将 分段讨论：时，由于时，故,此时；时，；时，由于，故, 此时。-28精选文库综上所述，【方法二】时,；时，；时，；时，【考点】概率论与