中考数学与相似有关的压轴题及答案

1、中考数学与相似有关的圧轴题及答案1.相似1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EH丄DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论：（2）过点H作MNIICD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求厶PDC周长的最小值.【答案】（1）解：结论：CF=2DG.理由：四边形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90%DE=AE,AD=CD=2DE,EG丄DF,ZDHG=90,ZCDF+ZDGE=90%ZDGE+ZDEG=90ZCDF=ZDEG,DEGCD

2、F,DGDE1反NNCF=2DG（2）解：作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时PDC的周长最短.周长的最小值二CD+PD+POCD+PD+PK二CD+DK.由题意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=EH=2DH=2&DHEh:.HM=DE=2,在RtADCK中，DK=如+來=Q+刃0+（亦=2妪，PCD的周长的最小值为10+2/跖.【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG.理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90根据中点的定义得出AD=CD=2DE,根据同角的余角相等得出ZCDF=ZDEG,从而判断出ADEG-ACDF,根据相似

3、三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；（2）作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时PDC的周长最5短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK,由题意得CD=AD=10,ED=AE=5,DG=ZEG护,根据面积法求出DH的长，然后可以判断出ADEH相似于GDH,根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=A/3,再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK=1,在RtADCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。2.如图，抛物线V二ax2+bx+c与x轴交于两点A（-4,0）和B（1,0）,与y轴

4、交于点C（0,2）,动点D沿厶ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交AABC的另一边于点E,将AADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒.备用图（1）求抛物线的解析式和对称轴：（2）是否存在某一时刻t,使得AEFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由：（3）设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.【答案】（1）解：把A（-4,0）,B（1,0）,点C（0,2）代入.卩二加十&+ca=-16a-4b斗c二0力二一上TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark39 o Current

5、 Document 4十b十c=02得：c二2,解得：c二2, HYPERLINK l bookmark41 o Current Document _1.3Y护X+2抛物线的解析式为：22,3对称轴为：直线X=-2;(2)解：存在，AD=2t,.DF=AD=2t,0F=4-4t,D(2t-4,0),_1直线AC的解析式为：Y/.E(2t-4,t),EFC为直角三角形，分三种情况讨论：当ZEFC=90,则厶DEF-OFC,DE_DFt_2t3:.OFOCt即4_4t2,解得：t=N当ZFEC=90,ZAEF=90,AEF是等腰直角三角形，1DE=2AF,即t=2t,/.t=0,(舍去),5当ZA

6、CF=90,则AC2+CF2=AF2,即(42+22)+22+(4t-4)2=(4t)2,解得：t,5存在某一时刻t,使得AEFC为直角三角形，此时，t二：或(3)解：B(1,0),C(0,2),直线BC的解析式为:y=-2x+2,1当D在y轴的左侧时,S=2(DE+OC)OD=2(t+2)(4-2t)=-t2+4(0t2):当D在y轴的右侧时，如图2,0D=4t-4,DE=-8t+10,S=(DE+OC)OD=2(-8t+10+2)(4t-4),即5S二一IGt2十40t一24(2t2)t24(0t2)S=综上所述：S=综上所述：16V十40t一24(2l）时，设APAD的面积为Si,APC

7、E的面积为S2,求应的值.【答案】（1）证明：BC丄直线11,ZABP=ZCBE在厶ABP和厶CBE中,AB=CBfZABP=ZCBE,BP二BE,（2）证明：如图，延长AP交CE于点H.ABP雯CBE,ZPAB=ZECB,ZPAB+ZAEH=ZECB+ZAEH=90%/.ZAHE=90,AP丄CEBC_而_z，即P为BC的中点，直线III直线12,CPDBPE,DPCP二-1BPBP,DP=EP四边形BDCE是平行四边形，CEIIBD.TAPICE,APBDBC解：BP,/.BC=nBP,CP=(n-l)BP.CDIIBE,CPDBPE,PDPC二门一1:PEPB令S“pe=S,则S2=(n

8、1)S,pab=SBCE=nS,PAE=(n+l)S.sPADPD=n-1:sPAEPE,Si=(n+l)(n-l)S,Si（n+1）（n-1）S=n+1:.S2（n-1）S.【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得AABP妥ACBE；（2）、延长AP交CE于点H,由（1）知厶ABP竺CBE,所以可得ZPAB=ZECB,而ZZECB+ZBEC=90,所以可得ZPAB+ZBEC=%,即ZAHE=%,所以AP丄CE：已知BC云=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD,由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CEIIBD,再根据平

9、行线的性质即可求得AP丄BD；方法与类似，由已知条件易证得ACPDABPE,则可得对应线段的比相等，然后可将APAD的面积和APCE的面枳用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。4.如图1,以nABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE,交AF于点G.图1图2图3（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H,其他条件不变，DG如图2,若ZADC=60,求閃的值；DG如图3,若ZADC=a（0。*90。），直接写出亦的值.（用含a的三角函数表示）【答案】（1）解：BG二EG,理由如下：四边形月购是平行四边形，Ab|CL,

10、AB=CD,四边形7是菱形，CbEF,CD=EF.Ab|刃，AB=EP,ZABG=ZFEG.又ZAGB=ZFGE,AABGAFEG(JJ5)BG=EG（2）解：方法1：过点G作处|Bh,交少于点仏RCZEMG=ZEHA.ZGEM=ZBEh,RCZEMG=ZEHA.ZGEM=ZBEh,AGME-4她.GM_GE由(1)结论知二eg.1EG=-BEGMGE_i.场亦一N四边形砂为菱形，ZADC=ZEDF=60.四边形丿她是平行四边形，/.Ab|CL.ZCDF=ZHAD=60.GM|Ah,.ZMGD=ZHAD=60.ZGMD二180-ZMGD-ZMDG=60即ZGMD=ZMGD=ZMGD=60.血邈

11、是等边三角形。DG=MG.DGMG_1亦一函一2方法2：延长以，BC交于点、衣,四边形Q血为菱形，ZEDF=ZCDF=60.四边形为平形四边形，.ZABC=ZADC=60,AL|BC.ZEDF=60.ZH=180-ZHBM-=180-60=60即ZHBM=ZH=60.4刃为等边三角形./.HB=MB.AL|BC,ZEGD=ZEBM,ZEDG=厶.AEDG-AEMb,DG_EG由(1)结论知肌=EC1EG=-BE2DGGE:.MBBEHB=MbfDGDG亦包如图3,连接EC交DF于6图3四边形CFED是菱形,EC丄AD,FD=2F0,设FG=a,AB=b,则FG=a,EF=ED=CD=b,OhR

12、tAEFO中，cosa=E卜,OF=bcosa,DG=a+2bcosa,过H作HM丄AD于M,ZADC=ZHAD=ZADH=a,AH二HD,11AM=-AD=-(2a+2bcosa)=a+bcosa,川iRtAAHM中，cosa=*，a+bcosa.AH=cosa,a+2bcosaDGa+bcosab+/.Bh=cos=cosa【解析】【分析】（1）利用菱形和平行四边形的性质可得出ABIICDIIEF,AB=CD=EF，再利用平行线的性质可证得ZABG=ZFEG,然后利用AAS可证得ABG妥FEG,由全等三角形的性质可证得结论。（2）过点G作GMIIBH,交DH于点M,易证GME-BHE。得出

13、对应边成比例，求出MG与BH的比值，再利用菱形的性质及平行四边形的性质证明DG=MG,即可解答；连接EC交DF于0,利用菱形的性质可得出EC丄AD,FD=2F0,设FG=a,AB=b,可表示出FG,EF=ED=CD=b,RtAEFO中，利用锐角三角函数的定义可得出OF、DG,过H作HM丄AD于M,易证AH二HD,AM=a+bcosa,再在RtAAHM中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，继而可得出DG与BH的比值，可解答。5.如图，ZkABC内接于OO,ZCBG二ZA,CD为直径，0C与AB相交于点E,过点E作EF丄BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.（2）若AC=8、求

14、比的值；（3）在（2）的条件卞，若O0的半径为&PD=OD,求0E的长.【答案】（1）解：如图，连接0B,则OB=OD,ZBDC=ZDBO,ZBAC=ZBDC.ZBAC=ZGBC,ZGBC=ZBDO,CD是OO的直径，ZDBO+ZOBC=90,ZGBC+ZOBC=90%ZGBO=90,PG与OO相切。（2）解：过点O作OM丄AC于点连接OA,1则ZAOM=ZCOM=2zAOC,圆心角ZABC和圆周ftZAOC所对弧相同，、1ZABC=2zaoc=zcom,又ZEFB=ZOMC=90,BEF-OCM,EFBE.m,1CMAC,EFBE1OC-AC29EF5又AC6,BEEF5512X=2X-OC

15、AC84BE5（3）解：由（2）可知久=则BE=10.PD=OD,ZPBO=90,BD=0D=8,在RtADBC中，-=8忑,又OD=OB,DOB是等边三角形，ZDOB=60%ZDOB=ZOBC+ZOCB,OB=OC,ZOCB=30,EF_1FC&一N五二、氏可设EF=x,则EC=2x、FC=Vx,BF=8-在RtABEF中,BE2=EF2+BF2,100=x2+（8&-Vx）2,解得：x=6仍，6+丫巧8,舍去，x=6-,EC=12-2旧,/.0E=8-（122顾）=2顾4【解析】【分析】（1）连接OB,则需要证明ZGBO=ZGBC+ZOBC=90；由CD是OO的直径，则ZDBO+ZOBC=

16、90,即需要证明ZGBC=ZBDO,由同弧所对的圆周角相等,可知ZBAUZBDC,而ZBAC=ZGBC,ZBDC=ZDBO,则可证得ZGBC=ZBDOoEF5BE（2）因为已知批=&求况，其中EF,BE是厶BEF的两条边，而AC,0C是AOC的两条边，但ABEF和AAOC不相似，则可构造两三角形相似，因为ABEF是直角三角形，则可过BE点0作0M丄AC于点M,连接0A,即构造BEF-OCM,从而可求得久。Bh（3）由（2）得久的值及088求出BE；由PD=OD,且ZPBO=90。，根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半可得BD=0D=8,由勾股定理可求得BC的长，则厶DOB是等边三角形，

17、则在直角三角形ECF中存在特殊角30度，不妨设EF=x,则CE=2x,CF=JXo在RtABEF中，由勾股定理可得BE2=EF2+BF2,构造方程解答即可。6.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘枳，我们把这个三角形叫做比例三角形己知ABC是比例三角形，AB=2,BC=3.请直接写出所有满足条件的AC的长：如图1,在四边形ABCD中，ADIIBC,对角线BD平分ZABC,ZBAC=ZADC求证：AABC是比例三角形；BL如图2,在(2)的条件下,当ZADC=90时,求批的值。45【答案】(1)7或彳或、厉.证明：ADIIBC,ZACB=ZCAD,又ZBAC=ZADC,ABCDCA,BCCA

18、:.CA=lb,即CA2=BC-AD,又TADIIBC,ZADB=ZCBD,BD平分ZABC,ZABD=ZCBD,ZADB=ZABD,AB二AD,.CA2=BCAB,ABC是比例三角形.(3)解：如图，过点A作AH丄BD于点H,AB二AD,1BH=2BD,/.ADIIBC,ZADC=90/ZBHA=ZBCD=90,又ZABH=ZDBC,ABH-DBC,ABBh:.Db=BC,AB-BC=DBBH,1ab-bc=bd2/又AB-BC=AC2/12BD2二acBL:.疋p.【解析】【解答】解：（1）T已知AABC是比例三角形，依题可得：当AB2=BC-AC时，AB=2,BC=3.4=3AC,4AC

19、=3.CB?二ABAC,AB=2,BC=3.9=2AC,gAC=2；AC?二BCAB,AB=2,BC=3.AC2=2x3,AC=五45综上所述：AC的长为：2或召或、厉.【分析】（1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：当AB2=BC-AC时，CB2=AB-AC,AC2=BC-AB,代入CB、AB的数值分别求得AC长.（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定得AABC-aDCA,由相似三角形的性质得CA2=BC-AD；根据平行线的性质和角平分线的定义得ZADB=ZABD,根据等腰三角形等角对等边得AB=AD,将此代入上式即可得证.1（3）如图，过点A作AH丄BD于点H,根据等腰三角形三线合一的性

20、质可知BH=?BD,由相1似三角形的判定和性质得ABBC=DB-BH,即ABBC=BD2,联立（1）中的结论即可得出答案.7.如图，抛物线y二经过A（-3,0丿，B65；-矽两点，与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.（3）抛物线的对称轴上是否存在点M,使得4ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9di-3d-4=0【答案】（1）解：将心-3,0）、B-丿代入得：25a十氐一4二-4,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 15a-b-解得：6、6,125y二_X乙X4:抛物线的

21、解析式为.66(2)解：(2)AO-J,0C=49:AC-59:AC-59rera-4),B0-4)、:BC-5,Q(5-2尸:BD-BC,在4ABC和zAABD中，AD-AC,AB-AB,BD-BC,ABC雯4ABD,:/AB=4AD,AB平分NCAO则咫11AB平分NCAO则咫11抛物线的对称轴为xJh(-3,0),B比-4),:tanzEAB-2,：3AB二90,tanAE二2,WE二洙E=11y5:mqa)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 19同理：tanMMF=2,5:BF二-又2,FM二5、5:M与-9）

22、 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 55jj丿9）:点M的坐标为2或/【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B两点坐标分别代入抛物线的解析式，求出a、b的值，即可解答。（2）利用勾股定理，在RtAAOC中，求出AC的长，再根据两点间的距离公式求出BD的长，由点B、C的坐标，求出BC的长，可证得BD=BC,然后证明厶ABC竺ABD,利用全等三角形的性质，可证得结论。（3）抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.求出抛物线的对称轴，就可求出AE的长，再利用点A、B的坐标，求出tanZEAB的值，再由ZMAB=90。，求出tanZZMAE的值，求出MfE的长，就可得出点的坐标，再用同样的方法求出点M的坐标，即可解答。/7g小cosB&如图：在OC中，BC=2ZAB=AC,点D为AC上的动点，且求AB的长度；求ADAE的值;过A点作AH丄BD,求证：BH二CD+DH.【答案】(1)解：作AM丄BC,1BM=CM=2BC=1Z在RtAAMB中,BM41GcosB=10/.AB=BMh-cosB=U10=帧.（2）解：连接CD,AB二AC,ZACB=ZABC,四边形ABCD内接于圆6ZADC+ZABC=180,又ZACE+ZACB=180,ZADC=ZACE,ZCAE=ZCAD,E