-特殊函数常微分方程本征值问题缪国庆教授教学课课件

1、特殊函数及其应用1特殊函数及其应用1分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解常微的问题分离变量法的核心问题：能否得到本征值问题变量能分离的条件方程及边界条件必须为齐次的，并且在合适的坐标系下！本课程所得到的本征值问题均有解，且本征函数均构成完备正交系。本征值问题能否得到完满解决2分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解常微的问题分离只有选择合适的坐标系，才能将边界条件中的变数分离选择坐标系的原则：使所研究问题的区域 边界面与所选坐标系的一个或几个 坐标面相重合。例如，球形区域与柱形区域需要分别 选择球坐标系与柱坐标系3只有选择合适的坐标系，才能将边界选择坐标系的原则：使所研究问 9.1 特

2、殊函数常微分方程 9.2 常点邻域上的级数解法 9.3 正则奇点邻域上的级数解法 9.4 施图姆-刘维尔本征值问题 10.1 轴对称球函数第九章特殊函数常微分方程 本征值问题第十章球函数4第九章特殊函数常微分方程 10.2 连带 Legendre函数 10.3 一般的球函数 11.1 三类柱函数 11.2 贝塞尔方程 11.3 虚宗量贝塞尔方程 11.4 球贝塞尔方程第十一章 柱函数5 10.2 连带 Legendre函数第十一章 9.1 特殊函数常微分方程本节内容： 导致特殊函数常微分方程的物理问题 波动问题，输运问题，稳定场问题 特殊函数常微分方程的导出第九章特殊函数常微分方程 本征值问题

3、6第九章特殊函数常微分方程 球坐标中分离变量：径向方程球函数方程方向角部分：7 球坐标中径向方程球函数方程方向角部分：7令 得 连带 Legendre 方程 Legendre 方程8令 柱坐标中 Bessel 方程 或虚宗量 Bessel 方程球坐标中径向9柱坐标中 9.2 常点邻域上的级数解法本节内容：微分方程解析理论的基本定理常点邻域上的级数解法Legendre 方程在常点 x = 0 邻域上的级数解109.2 常点邻域上的级数解法10本节要求：了解（or 掌握） 微分方程在其常点邻域上解的基本定理 常点邻域上的级数解法 Legendre方程在常点x=0邻域上的级数解法掌握 Legendr

4、e 方程在常点x=0邻域上解的结果11本节要求：11二阶常微分方程的标准形式：其中, p(z) 和 q(z) 为方程的系数，是已知的复变函数。要求在一定的条件，例如初始条件：下，一定区域内方程的解。12二阶常微分方程的标准形式：12方程解的性质完全由p(z)和q(z)的解析性质决定。（一）方程的常点和奇点 设p(z)和q(z)在一定区域中，除若干个孤立奇点外， 是z的单值解析函数。区域中的点可分为两类：常点：若系数 p(z) 和 q(z) 都在某点z0 及其邻域内 解析，则 z0 点称为方程的常点。奇点：若系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不 解析，则 z0 点称为方程的奇

5、点。13方程解的性质完全由p(z)和q(z)的解析性质决定。13(二) 常点邻域上的级数解微分方程解析理论的基本定理:如果p(z)和q(z)在圆 内是单值解析的, 则方程 在这圆内有唯一的一个解w(z)满足初值条件C0和C1是任意常数, 并且w(z)在这圆内是单值解析的.z0R14(二) 常点邻域上的级数解z0R14在常点 z0 的邻域 |z-z0|R内，w(z) 是解析函数，故可展开成Taylor 级数：因此只要求出 系数 ak，方程的解即求得。15在常点 z0 的邻域 |z-z0|R内，w(z) 是解析1系数递推公式利用系数递推公式可从 开始逐一将所有系数用 表示出来。 为两个任意常数，正

6、是两个积分常数 16系数递推公式利用系数递推公式可从 开始逐一（三）Legendre 方程的级数解: 在 x=0 的邻域上求 Legendre 方程的解：因当 x=0, 有限，因此是方程的常点。注意：当 x=1, p(x), q(x) 为无限大，因此 x=1是 Legendre 方程的奇点。17（三）Legendre 方程的级数解:注意：当 x=1, 在 x=0邻域内，Taylor 级数形式的解为：代入 Legendre 方程：合并后：18在 x=0邻域内，Taylor 级数形式的解为：18因此系数的递推关系为 (9.2.5)根据(9.2.5), 可将所有下标为偶数的系数用a0表示，而将所有下

7、标为奇数的系数用a1表示，这样，Legendre 方程的通解可表示为： 19因此系数的递推关系为 19级数的收敛半径：因为x=1是 离x=0 最近的奇点，因此级数的收敛半径 R=1。问题：在 x=1（即方向角为=0 和 =，亦即x-y 平面上）端点，级数的收敛性如何？yOxy(,)20级数的收敛半径：问题：在 x=1（即方向角为yOxy(事实上:y0(x) 和 y1(x) 在x=1是发散的级数（见附录四，以高斯判别法证明），而且不存在在x=1二点都收敛的无穷级数满足Legendre 方程21事实上:y0(x) 和 y1(x) 在x=1是发散的级数（9.3 正则奇点邻域上的级数解法本节内容：微分

8、方程在其正则奇点邻域上解的基本定理正则奇点邻域上的级数解法Bessel方程在正则奇点x=0邻域上的级数解229.3 正则奇点邻域上的级数解法22本节要求：了解（or 掌握）微分方程在其正则奇点邻域上解的基本定理正则奇点邻域上的级数解法Bessel方程在正则奇点x=0邻域上的级数解法掌握 Bessel方程在正则奇点x=0邻域上解的结果23本节要求：23（一）奇点邻域上的级数解: 系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为方程的奇点。方程的奇点则可能同时也是解的奇点. 因此，在 z0 点邻域的级数解应该是 Laurent 展开。24（一）奇点邻域上的级数解:24

9、 定理 1 若点z0 为方程（9.3.1）的奇点，则在p(z)和q(z)都 解析的环形区域0|z- z0 |R内, 这方程的两个线性无关解是其中 是常数. 25定理 1 若点z0 为方程（9.3.1）的奇点，则在p(z一般情况下, 级数的系数是无限联立的代数方程，得不到系数的递推公式；但在一定的条件下，方程的二个线性独立解的级数中没有负幂项，这样的解称为正则解。在这种情况下,可得到系数递推公式。定理 2：方程(9.3.1)在他的奇点 z0 的邻域0|z- z0 |1, 或n2, 则第二项或第三项为最低次幂项28将28令其系数为零, 只能有若 则最低次幂项为第一项，或加上第二、第三项。令其系数为

10、零。（当m=1, n=2） 判定（指标）方程29令其系数为零, 29 （三）Bessel 方程的级数解在 x=0 的邻域上求 阶 Bessel 方程的解注意： 是任意实数。 x=0 是 p(x) 的一阶极点，q(x)的二阶极点。因此 x=0 是Bessel 方程的正则奇点。30 （三）Bessel 方程的级数形式解：代入方程（1），得到即31级数形式解：31x0 的系数方程判定方程：解得下面，按 的数值，分两种情形讨论。(要说明何以要按2v的数值划分！)(I) 32x0 的系数方程判定方程：32(II) 自 k=2v 起失效! 需改用第二形式的解第一个解仍为Jv(x)，但第二个解，其系数递推公

11、式i） 2 =2m (m=1,2,3,.)ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) iii) 2 =2m=0,33(II)自 k=2v 起失效! 需改用第二形式的解第一个解9.4 施图姆-刘维尔本征值问题本节内容：施图姆-刘维尔本征值问题的提出施图姆-刘维尔本征值问题的性质本节起着承上启下的作用，对分离变数法作总结，同时为特殊函数的学习作准备。349.4 施图姆-刘维尔本征值问题34本节要求： 掌握施刘本征值问题及其性质。 35本节要求：35I. 施-刘方程及本征值问题 -Sturm-Liouville 本征问题以乘上式得:-Sturm-Liouville 方程36I. 施-刘方程及

12、本征值问题以乘上式得:-Sturm- Legendre 方程的本征值问题 本征函数： 本征值： 本征问题例： 37本征函数： Bessel 方程的本征值问题作变换 方程成为标准Bessel 方程3838 i) 若区间a,b有界，在a,b上，k(x)0, k(x), k(x), q(x)及 连续非奇异(正则)斯刘本征问题ii) 如果区间a,b为无界或半无界，或有界区间端点 x=a and/or x=b是 k(x) 的零点, 则 x=a and/or x=b 是方程 的奇点，在 x=a and/or x=b 处一定存在自然边界条件！奇异斯刘本征问题iii)周期斯刘本征问题 本征值问题的提法：39

13、i) 若区间a,b有界，在a,b上，k(x)II. 施-刘本征值问题的基本性质（1）、如果 p(x), q(x) 连续或者至多端点为一阶极点，则存在无限个本征值：相应的本征函数为： 当本征值按上述次序排列时，则在 上相应本征函数的零点个数按从少到多的次序排列。在量子力学中，y1(x) 和1 称为基态波函数和基态本征值（一般为能量）。40II. 施-刘本征值问题的基本性质40例：41例：41 （2）所有本征值 （3）对应于不同本征值 m, n 的本征函数 ym(x), yn(x) 带权 (x) 正交：（4）本征函数 y1(x), y2(x),. 是完备的。a, b 上平方可积的函数 f(x) 可展成 广义 Fourier 级数：其中： 是 yn(x) 模：42 （2）所有本征值 42关于函数系的完备性：如果对定义在 a, b 上的任意函数 f(x)，在平均收敛的意义上：则称函数系 y1(x), y2(x),.