(新高考)高考数学一轮复习课时练习9.5.1《椭圆及其性质》(含解析)

1、第5讲椭圆最新考纲考向预测1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.命题趋势椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.核心素养直观想象、逻辑推理、数学运算1椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1，F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准

2、方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率eeq f(c,a)，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b23.点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内

3、eq f(xeq oal(2,0),a2)eq f(yeq oal(2,0),b2)1.常用结论椭圆的常用性质(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则b|OP|a；ac|PF|ac.(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmineq f(2b2,a).(3)与椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)有共焦点的椭圆方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(b2)(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭

4、圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)中：当r1r2，即点P为短轴端点时，最大；Seq f(1,2)|PF1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；PF1F2的周长为2(ac)(5)若M(x0，y0)是椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kABkOMeq f(b2,a2).常见误区1若2a|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2ab0)与eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的焦距相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知中心在原

5、点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为eq f(1,2)，则C的方程是()A.eq f(x2,3)eq f(y2,4)1 B.eq f(x2,2)eq f(y4,4)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,2)1 D.eq f(x2,4)eq f(y2,3)1解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c1.又离心率为eq f(c,a)eq f(1,2)，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.3(多选)已知椭圆mx24y21的离心率为eq f(r(2),2)，则实数m的值可能为()A2 B.eq f(8,3) C6 D

6、8解析：选AD.若焦点在x轴上，则a2eq f(1,m)，b2eq f(1,4)，由eeq f(c,a)eq f(r(2),2)，得eq f(c2,a2)eq f(1,2)，即eq f(a2b2,a2)eq f(1,2)，所以eq f(b2,a2)eq f(1,2)，即eq f(m,4)eq f(1,2)，解得m2；若焦点在y轴上，则a2eq f(1,4)，b2eq f(1,m)，则eq f(4,m)eq f(1,2)，解得m8，所以m2或m8.故选AD.4(易错题)平面内一点M到两定点F1(0，9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是_解析：由题意知|MF1|MF2|18，但|

7、F1F2|18，即|MF1|MF2|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段答案：线段F1F25(易错题)若方程eq f(x2,5k)eq f(y2,k3)1表示椭圆，则k的取值范围是_解析：由已知得eq blc(avs4alco1(5k0，,k30，,5kk3.)解得3k0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若F1AF2eq f(,3)，则m()A1 B.eq r(2) C.eq r(3) D2【解析】(1)记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则有|PF1|PF2|2a10，所以m|PF1|PF2|eq blc(rc)(avs4alco1(f(|PF1|PF2|,2)eq sup12(2)25，当且

8、仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立所以点P的坐标为(4，0)或(4，0)，故选BD.(2)由题可知，a2m21，b2m2.因为F1AF2eq f(,3)，所以F2AO30，所以cosF2AOeq f(b,a)，即cos 30eq r(f(m2,m21)，解得meq r(3)或meq r(3)(舍去)故选C.【答案】(1)BD(2)Ceq avs4al()椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可

9、求|PF1|PF2|，通过整体代入可求其面积等 1设F1，F2为椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq f(|PF2|,|PF1|)的值为()A.eq f(5,14) B.eq f(5,9)C.eq f(4,9) D.eq f(5,13)解析：选D.如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，可求得|PF2|eq f(5,3)，|PF1|2a|PF2|eq f(13,3)，eq f(|PF2|,|PF1|)eq f(5,13).故选D.2已知点F1，F2分别为椭圆C：eq f(x2,4

10、)eq f(y2,3)1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且F1PF260，则SF1PF2_解析：由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，得3|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|4，则SF1PF2eq f(1,2)|PF1|PF2|sinF1PF2eq f(1,2)4sin 60eq r(3).答案：eq r(3)椭圆的标准方程 (1)(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq f(r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()A椭圆C的方程为eq f

11、(y2,3)x21B椭圆C的方程为eq f(x2,3)y21C|PQ|eq f(2r(3),3)DPF2Q的周长为4eq r(3)(2)(一题多解)过点(eq r(3)，eq r(5)，且与椭圆eq f(y2,25)eq f(x2,9)1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.eq f(x2,20)eq f(y2,4)1 B.eq f(x2,2r(5)eq f(y2,4)1C.eq f(y2,20)eq f(x2,4)1 D.eq f(x2,4)eq f(y2,2r(5)1【解析】(1)由已知得，2b2，b1，eq f(c,a)eq f(r(6),3)，又a2b2c2，解得a23.所以椭圆方程为x

12、2eq f(y2,3)1.如图所以|PQ|eq f(2b2,a)eq f(2,r(3)eq f(2r(3),3)，PF2Q的周长为4a4eq r(3).故选ACD.(2)方法一(定义法)：椭圆eq f(y2,25)eq f(x2,9)1的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4.由椭圆的定义知，2aeq r(（r(3)0）2（r(5)4）2)eq r(（r(3)0）2（r(5)4）2)，解得a2eq r(5).由c2a2b2，可得b24.所以所求椭圆的标准方程为eq f(y2,20)eq f(x2,4)1.方法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为eq f(y2,25k)eq f(x2,9k)1(kb

13、0)由题意得eq blc(avs4alco1(f(5,a2)f(3,b2)1，,a2b216，)解得eq blc(avs4alco1(a220，,b24.)所以所求椭圆的标准方程为eq f(y2,20)eq f(x2,4)1.【答案】(1)ACD(2)C eq avs4al()(1)用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程其中常用的关系有：b2a2c2；椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤提醒当椭圆焦点位置不明确时，可设为eq f(x2,m)eq f(

14、y2,n)1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB) 1已知动点M到两个定点A(2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.eq f(x2,9)y21 B.eq f(y2,9)eq f(x2,5)1C.eq f(y2,9)x21 D.eq f(x2,9)eq f(y2,5)1解析：选D.由题意有6224，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a6，c2，故a29，所以b2a2c25，故椭圆的方程为eq f(x2,9)eq f(y2,5)1.故选D.2设椭圆eq f(x2,m2)eq f(y2,n2)1(m0，n0)的右焦点为(2，0)，离心率为e

15、q f(r(2),2)，则此椭圆的方程为_解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2n24，eeq f(r(2),2)eq f(2,m)，所以m2eq r(2)，代入m2n24，得n24，所以椭圆方程为eq f(x2,8)eq f(y2,4)1.答案：eq f(x2,8)eq f(y2,4)13已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(5,2)，(eq r(3)，eq r(5)，则椭圆方程为_解析：设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)su

16、p12(2)mblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sup12(2)n1，,3m5n1，)解得meq f(1,6)，neq f(1,10).所以椭圆方程为eq f(y2,10)eq f(x2,6)1.答案：eq f(y2,10)eq f(x2,6)1椭圆的几何性质角度一求椭圆离心率的值(范围) (1)(2020四川资阳二诊)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|eq r(3)|OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为()A.eq f(2r(3),3) B.eq f(r(6),3) C.eq f(r(2),2) D.eq

17、f(r(3),3)(2)(2020东北三校第一次联考)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线xeq f(a2,c)上存在一点P满足(eq o(FP,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AP,sup6()0，则椭圆的离心率的取值范围为()A.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，1) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(r(5)1,2)，1) D.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(r(2),2)【解

18、析】(1)依题意可知，aeq r(3)b，即beq f(r(3),3)a.又ceq r(a2b2)eq r(a2blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)a)sup12(2)eq f(r(6),3)a，所以该椭圆的离心率eeq f(c,a)eq f(r(6),3).故选B.(2)取AP的中点Q，则eq o(FQ,sup6()eq f(1,2)(eq o(FP,sup6()eq o(FA,sup6()，所以(eq o(FP,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AP,sup6()2eq o(FQ,sup6()eq o(AP,sup6()0.所以FQAP，所以AFP为等腰三

19、角形，即|FA|FP|，且|FA|eq r(b2c2)a.因为点P在直线xeq f(a2,c)上，所以|FP|eq f(a2,c)c，即aeq f(a2,c)c，所以eq f(a,c)eq f(a2,c2)1，所以e2e10，解得eeq f(r(5)1,2)或eeq f(r(5)1,2).又0e1，故eq f(r(5)1,2)e1)上两点A，B满足eq o(AP,sup6()2eq o(PB,sup6()，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq o(AP,sup6()2eq o(PB,sup6()，得eq blc(avs4alco1(x12x2，

20、,1y12（y21），)即x12x2，y132y2，因为点A，B在椭圆上，所以eq blc(avs4alco1(f(4xeq oal(2,2),4)（32y2）2m，,f(xeq oal(2,2),4)yeq oal(2,2)m，)得y2eq f(1,4)meq f(3,4)，所以xeq oal(2,2)m(32y2)2eq f(1,4)m2eq f(5,2)meq f(9,4)eq f(1,4)(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.【答案】5eq avs4al()求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也

21、要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0eb0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3，0) B(4，0)C(10，0) D(5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心坐标为(3，0)，所以c3.又b4，所以aeq r(b2c2)5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(5，0)2(多选)(2020山东4月全真模拟)已知P是椭圆C：eq f(x2,6)y21上的动点，Q是圆D：(x1)2y2eq f(1,5)上的动点，则()AC的焦距为eq r(5) BC的离心率为eq f(r(30

22、),6)C圆D在C的内部 D|PQ|的最小值为eq f(2r(5),5)解析：选BC.依题意可得ceq r(61)eq r(5)，则C的焦距为2eq r(5)，eeq f(r(5),r(6)eq f(r(30),6).设P(x，y)(eq r(6)xeq r(6)，由题意知D(1，0)，则|PD|2(x1)2y2(x1)21eq f(x2,6)eq f(5,6)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(6,5)eq sup12(2)eq f(4,5)eq f(4,5)eq f(1,5)，所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为eq r(f(4,5)eq r(f(1,5)eq f(r(5)

23、,5).故选BC.3(2020福建龙岩质量检查)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为()A.eq f(r(2),2) B.eq f(r(3),2)C.eq f(r(3)1,2) D.eq f(r(5)1,2)解析：选D.如图所示，F(c，0)，A(0，b)，B(a，0)因为ABF是直角三角形，所以AFAB，所以eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()0，又因为eq o(AF,sup6()(c，b)，eq o(AB,sup6()(a，b)，所以acb20，又因为b2a2c

24、2，所以a2acc20，又因为eeq f(c,a)，所以e2e10，所以eeq f(1r(5),2)，又因为0e1，所以eeq f(1r(5),2)，故选D.A级基础练1(2020河北唐山一中月考)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的一个焦点为点(1，0)，则椭圆C的离心率为()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(r(2),2) D.eq f(2r(2),3)解析：选B.由椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,3)1的一个焦点的坐标为(1，0)，得a231，解得a2(负值已舍去)所以椭圆C的离心率为eeq f(c,a)eq f(1,2).故

25、选B.2曲线eq f(x2,169)eq f(y2,144)1与曲线eq f(x2,169k)eq f(y2,144k)1(kb0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则eq f(|AF1|,|AF2|)()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(2,3) D3解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|eq f(a,2)，|AF2|eq f(3a,2).所以eq f(|AF1|,|AF2

26、|)eq f(1,3).故选A.5(多选)(2020海南模拟)设椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,3)1的右焦点为F，直线ym(0mb0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为_解析：由题意可得bc，则b2a2c2c2，aeq r(2)c，故椭圆的离心率eeq f(c,a)eq f(r(2),2).答案：eq f(r(2),2)7已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆M在圆C1内部且和圆C1相切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_解析：设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，|C1C2|8，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a

27、16，2c8，故所求的轨迹方程为eq f(x2,64)eq f(y2,48)1.答案：eq f(x2,64)eq f(y2,48)18(2020昆明市三诊一模)已知椭圆M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左顶点为A，O为坐标原点，B，C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB45，则椭圆M的离心率为_解析：由题意，知A(a，0)因为四边形OABC为平行四边形，所以OABC，且|OA|BC|a，又OAB45，所以Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，代入椭圆方程，得eq f(1,4)eq f(a2,4b2)1，所以eq f(b

28、2,a2)eq f(1,3)，所以eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)sup12(2)eq f(r(6),3).答案：eq f(r(6),3)9已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(3，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积解：(1)设椭圆的标准方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，依题意得eq blc(avs4alco1(2a10，,c3，)因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为eq f(x2,25)eq f(y2,16)1.(2)易知|yP|4，又c3，所以S

29、F1PF2eq f(1,2)|yP|2ceq f(1,2)4612.10如图所示，已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且eq o(AF2,sup6()2eq o(F2B,sup6()，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以aeq r(2)c，eeq f(c,a)eq f(r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由eq o(AF2,

30、sup6()2eq o(F2B,sup6()，解得xeq f(3,2)，yeq f(b,2).代入eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得eq f(f(9,4),a2)eq f(f(b2,4),b2)1.即eq f(9,4a2)eq f(1,4)1，解得a23，所以b22，所以椭圆方程为eq f(x2,3)eq f(y2,2)1.B级综合练11(综合型)设椭圆：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为()A.eq f(1,2) B.eq f(1,

31、3) C.eq f(1,4) D.eq f(1,5)解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且eq f(|OF|,|FA|)eq f(|OM|,|AB|)eq f(1,2)，即eq f(c,ac)eq f(1,2)，解得eeq f(c,a)eq f(1,3).故选B.12(多选)(2020山东潍坊期末)已知P是椭圆E：eq f(x2,8)eq f(y2,4)1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是()AP点的纵坐标为3BF1PF2eq f(,2)CF1PF2的周长为4(eq r(2)1)DF1PF2的内切圆

32、半径为eq f(3,2)(eq r(2)1)解析：选CD.由已知条件得a2eq r(2)，b2，c2.不妨设P(m，n)，m0，n0，则SF1PF2eq f(1,2)2cn3，解得neq f(3,2)，所以A错误由neq f(3,2)，得eq f(m2,8)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sup12(2),4)1，解得meq f(r(14),2)(负值已舍去)，所以Peq blc(rc)(avs4alco1(f(r(14),2)，f(3,2).所以|PF1|2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(14),2)2)eq sup12(2)eq f(9,4)eq

33、 f(39,4)2eq r(14)，|PF2|2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(14),2)2)eq sup12(2)eq f(9,4)eq f(39,4)2eq r(14)，所以|PF1|2|PF2|2(2c)2eq f(39,4)216eq f(7,2)0，所以cosF1PF2eq f(|PF1|2|PF2|2（2c）2,2|PF1|PF2|)0，所以F1PF2b0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|eq f(4,3)|AB|.(1)求C1的离心率；(2)若C1的四个顶点到C

34、2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程解：(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中ceq r(a2b2).不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为eq f(b2,a)，eq f(b2,a)；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|eq f(2b2,a)，|CD|4c.由|CD|eq f(4,3)|AB|得4ceq f(8b2,3a)，即3eq f(c,a)22eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)eq sup12(2).解得eq f(c,a)2(舍去)，eq f(c,a)eq f(1,2).所以C1的离心率为eq f(1,2).(2)由(1)知a2c，beq r(3)c，故C1：eq f(x2,4c2)eq f(y2,3c2)1.所以C1的四个顶点坐标分别为(2c，0)，(2c，0)，(0，eq r(3)c)，(0，eq r(3)c)，C2的准线为xc.由已知得3cccc12，即c2.所以C1的标准方程为eq f(x2,16)eq f(y2,12)1，C2的标准方程为y28x.14已知F1，F2是椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面