考研数学线性代数强化讲义数二

1、考研数学线性代数强化讲义（数二主讲：张宇张宇：名师，博士，著名考研数学辅导，教育部“国家精品课程建设骨 育入学考试数学考试参考书（大纲解析编者之一，2007年TOC o 1-1 h z u HYPERLINK l _TOC_250003 第一讲 行列 HYPERLINK l _TOC_250002 第二讲 矩 HYPERLINK l _TOC_250001 第三讲 向量组与方程 HYPERLINK l _TOC_250000 第四讲 特征值与二次第一讲 行列 （1）n阶行列式由n个nnn维图形的体积0n个n0 n个n 维向量线性相关n a1 2 an 1T2n1T2nTn,i1, ,i1, ,

2、n ,i,i,ki,n ,i i,i i,n ,i,n ,i,i,j,i,j,n ,j,i,i,n ,i,n ,ki1则1,2,3,5 2，1,2,3 【例2】任给4维列向量1,2,3,4 ，则1 2,2 3,3 4,4 1 【例3】设a，b，c为已知常数，a， 0 nbc an j1j2 ajna1a2 展开后有n！项；每项是取自不，不同列的个元素的乘积jn标顺排后，每项前乘以(1)j1 注：(j1jn)：j1jn 的逆序数a12a23a31a45a54a66 前号a45a16a53a22a64a31 前号【例2】(1,2,n) ，(n,n【例3】求f(x)的x4 、x3的系数A A (1)

3、ija A a A a Aai1Ai1ai2a A a A a 【例3】设D4的某行元素全为2，且D4=3，则 Aij i1 j3【例1】设 51 0，求31a2anabbabbbbbbab a(n1)b(abbba4123n212n321nnnn1x1x1x2x2x2，n2xnxnxn11212.nnn【例】设aa 0，求D 1 5V x2 (x x 1iVn 0 xi xj,i b c a c a1111abcdd1111abcdddabcd 0 6(naa0001a0001a00000a0001a7第二讲a11 a12 a1n 1定义 由n个m维列向量 a21 ， a22 ， a2n 拼

4、成.记a1n am1 am2 amn 2n mmn AB(aij bijkA(kaij 10每一个aij 20若，kA kn AmsBsn (cij )mn 81120 a is 其中cij ai1b1j AnnBnn A AB A ABA A 0A AB0A0B ABAC ，A a13 A AT a23 33 33 10 A AT ；20(AT)T A；30(kA)T kAT ；40(AB)T AT BT；50(AB)T BT是正交阵 AAT ATA A为正交阵 A由标准正交基组成 【例1】设A 2 ，则A 3【例2】设A4，求An 1【例3】，证明：x (a ,a ,a )T，xTAx 0

5、 A称矩阵A B 0AB 0AAAn1AAA A A* n2 A 的伴随矩阵A nn AA* A*A AAA 0AA1 1 A*AA0（A可逆AA1 1 Ak 0，(kA)* (AT)* (A1)* (A*)* An2 (AB)* 11a ， ，0. ，0.1【例2】，证明：(E A)与(EA)*可交换，若ABE，则A、B可逆，且A1B，B1 A，AB(A1)1Ak0，(kA)11A1A、B可逆AB可逆，且(AB)1 B1A1kA(AT)1(A1)T；A1 A(AB)1 A1【注】 AB)* A*(AB)T AT 【例1】，A2 3A2E 0，证明：A、A2E均可逆，并求A1，(A2E)1 E

6、n 经过一次初等变换得到的矩阵，叫初等矩阵Eij ：互换初等矩Eij(k：行第ik+j行jk+第iE (k)1 E(1)，E1 E ，E (k)1 E i 可逆，交换A的第1、2列得到B，则B*可由（ ）互换得到（A）A*的第1、2 ABEA B A1 BB1 AAA*A1A1 【例1】Ab，求A【例2】求A1 的逆矩阵A10 AE行变换E A1 【例】A 2，求A1（1）AAB可逆， X A1B； X BA1 X A(1,2,n)(1,2Ai i(i1, ,n 有时，设 X (xij)mn，代入方程xij 为未知的方程组，求之.00【例1】设A*，ABA1 BA1 3E，求B0 1【例2】A

7、0，AX E A2 X ，求X 11定义用若干线将一个矩阵分成若干小块，称这些小块为子矩阵，将子矩阵看作 A1A2 B1B2 A1 B1A2B2A BB A B 4 4 4 D数乘 kBDDWCX B Y DWCX TE PQ A bA2 A AT 4 4 OO An，Bn， 1）AA 可逆A1 A A1 s s A A1 1 s A可逆，则A可逆，且A1 DB1DC1 2）B、C可逆， A C COA1 O AC1 CBA1 CAB1DC1 An，C O O A B BBA A A (1)nm A BD A DCA1B D A012n1122nn第三讲 向量组与方1. 一组不全为0 的数x1

8、,xs，使得x11 x22 xss 0成立.称1,2x1 , , x2 0有非零解s xs ,s)若x11 x22 xss x设m个n10m n ，用行列式 , 0020mn，必相关 （1）部分相关 整体相整体无关 部分无原来相关 缩短相原来无关 延长无39 8 【例】17，2 6，3 11，判断向量组的线性相关性 00 6 【例1】设n维一组,xs，使x11 xss成立.称可由,s线性表出（示x1 , , x2 s xs r(1,2,s) r(1,2,s,不任何一组数x1,x2,xs，使x11x22 xss成立.称不可1,2 ,s 线性表出（示x1 , , x2 无解s xs 若,s 线性无

9、关，但,s,线性相关，则可由,s 唯一表示若,s 可由,t 表出，且st，则,s 必相关若,s 可由,t 表出，且,s 线性无关，则st【例】设,s 线性相关，2 （）1 能否由,s 表出？（）s1 能否由,s 表出若 , 满足：10取自, ；20线性无关；30, 中均可由 ,线性表示.则称 , iii 是s 的一个极大线性无关组，r秩s)rr若A经过初等行变换化为BA的列向量组与BA (1,2 xss 0与x11 x22 xss 5 1 2 2 a 8 【例】设（） ， ， 2 1 2 b13 2 3 b7 2b（） ， ， 2 a41 4 7（）（）（）AX AX 0只有零解 rA) nA

10、X 0有非零解 rA) n（未知数个数n 定义：设, , 满足：10是AX 0的解；20线性无关；30s nr( x x x 3x 2x x x 3x 【例1】求2x 2x 6x 5x 4x 3x 3x x AX AX无解 r(A1r(A 或rArAAX 有唯一解 rArA nAX Amn，0r(A)minm,r(kA) r(A)，k r(A) r(AT) r(AAT) r(AT，r(An) r(A)r(B)rOr(A)r(B)Ar(A B) r(A)Amn，Bns，r(A) n r(AB)r(A)r(B)n r(AB) minr(A),r(A)10）r(A*)r(n) nr(A)n第四讲 特

11、征值与二10可逆矩阵C，使得C1AC B 20DD1AD 40 f XTAXXPY(PY)TA(PY)YTPTAPY YTAnn aii tr(A)nA aAA 0 A 0EA) 0 EAX 0 E A 0 1,2, ,（重根按重数计）解(iEA)X 0 ,（属于i的iB与 A有n个线性无关的特征向量1 2 1与22）实对称矩阵 A （aij aji ）12 1 2 （正交1 2 1 与2 正交或不正交，但一定是线性无关的A有n个不同的特征值i A为实对称矩阵 A. A有n个线性无关的特征向量 ni nr(iE A)，i 为ni重根 801313 1 【例4】判别A 2 是否可以相似对角化，BAnn，Bnn，A，B均可对角化，A B 1 1 1B 121 f(x1,x2a x2 2a x x 2a x 22 23 2 2n 2 2a a a1n x1 x XTAX xn 2 aa anxann n xf(x x x x2 x2 x2 2x x 2x x 2x 1 2 1 f d x2 d x2，d 为实标准1 n f x2 x2 f XT AXX PYYTY （P正交矩阵f XTAXX CY(CY)T A(CY（C可逆矩阵可逆矩阵C，使得CTACBAB f 2x2 4x x x2 4x 1 2 f x2 x2 x22x x 2x