第18讲 圆知识综合问题-2022中考数学巅峰冲刺（解析版）

1、PAGE162022年中考数学总复习巅峰冲刺专题18圆知识综合问题【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；圆的基本性质解题要领：出现垂直于直径的弦条件是线段可延长变为弦，考虑垂径定理；过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，是根据圆的性质计算时的重要辅助线；充分利用弧或弦的中点这个条件，往往连接圆心；特别注意无图的计算题，要注意分类讨论，不可遗漏其他的情况解题要领：在同圆中，注意运用圆心角、圆周角、弦、弧等量关系的转化；圆的直径与直径所对的圆周角为直角的转化；如果题干中无对应图形时，避免遗漏符合条件的图形的其他情形圆内特殊角的解题要领：把握问题中关键点，如弧的中点、弦的中点、直径、垂直以及60角等

2、；求线段长度时，常常用到垂径定理，灵活运用锐角三角函数、相似三角形求解圆内二心的解题要领：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点，特别地，直角三角形的外心是斜边的中点；三角形的内心是三角形内切圆的圆心，也是三角形角的平分线的交点，特别地，直角三角形内切圆的半径rc是斜边切线的解题要领：与圆的切线有关的三种辅助线，见切线，连半径，得垂直；无公共点，作垂线段，证dr，得切线；有公共点，连半径，证垂直，得切线正多边形与圆的解题要领：正多边形外接圆半径、内切圆半径与半弦组成的直角三角形，是计算正多边形有关问题的基础图形；解答时，常常运用勾股定理及锐角三角函数求解弧线长计算的解题要领

3、：已知圆的半径R及弧所对的圆心角n，那么这个弧就是一段确定的弧，求其长度除了利用弧长公式，很多时候可以通过来计算，特殊的60的弧长，45的弧长等扇形面积的解题要领：已知圆的半径R及弧所对的圆心角n，则这个扇形就确定了，求其面积除了利用扇形面积公式，很多时候可以通过来计算，特殊的60的，45的等；求阴影部分的面积时，一是把不规则图形，通过割补转化为规则图形，二是通过规则图形的面积的和差来求解【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图，将一个直角三角尺ABC的60的顶点放在半径为2的圆上，其顶点A也恰好落在圆上，另一直角边和斜边分别和圆相交于点D、连接DE。（1）求证：BE=ECDC

4、（2）若AB=AD时，求DE的长。（3）若ABC满足移动过程中至少与圆有四个交点上，求边AB的取值范围。【分析】（1）连接因为A、B、E、D四点都在圆上，A=90，所以DEB=90，在BE上取EC=EC，可证明RtDECRtDEC,从而得到DC=DC，因为B为60，可以得到DBC=BDC，则BC=CD，问题即可解决问题；（2）若AB=AD时，因为半径为2，连接BD，即可求出BD、AD、AB的长度，再设DE长度为，可根据相似解答，即可解决问题；（3）满足移动过程中三角形ABC至少与圆有四个交点，则最小情况时直径为BC的长度时有三个交点，则满足大于直径长度；【解答】（1）证明：A=90DEB=90

5、，在BE上取EC=EC，连接BD、DE则RtDECRtDEC,DC=DC又DCE=30，DBE=60-45=15BDC=30-15=15BC=CDBE=ECDC（2）在ABD中，AB=AD，BD=4AB=AD=2BC=4设DE的长度为，则DC为2，根据（1）的结论，则有BE=ECDC即22=4，解得：=即DE的长度为。（3）满足移动过程中三角形ABC至少与圆有四个交点，则最小情况时直径为BC的长度时有四个交点，则满足大于直径长度；故边AB的取值范围为2OC【原创2】已知：如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DEAC于点E求证：DE是O的切线【分析】连接OD，只要证

6、明ODDE即可【解答】证明：连接OD；ODOB，BODB，ABAC，BC，CODB，ODAC，ODEDEC；DEAC，DEC90，ODE90，即DEOD，DE是O的切线【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】如图，在ABC中，CA=CB，ACB=90，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【解析】连接CD，作DMBC，DNAC，AAS证明DMGDNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得解答：解：连接CD，作DMBC，DNACCA=CB，ACB=90，点

7、D为AB的中点，DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=则扇形FDE的面积是：=CA=CB，ACB=90，点D为AB的中点，CD平分BCA，又DMBC，DNAC，DM=DN，GDH=MDN=90，GDM=HDN，则在DMG和DNH中，DMGDNH（AAS），S四边形DGCH=S四边形DMCN=则阴影部分的面积是：【例题2】如图，在ABC中，ABC=90，以AB为直径的O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，BDE=A（1）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由（2）若O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长【解析】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质（1）连接OD，利用

8、圆周角定理以及等腰三角形的性质得出ODDE，进而得出答案；（2）得出BCDACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长【解答】解：（1）直线DE与O相切理由如下：连接ODOA=ODODA=A又BDE=AODA=BDEAB是O直径ADB=90即ODAODB=90BDEODB=90ODE=90ODDEDE与O相切；（2）R=5，AB=10，在RtABC中tanA=BC=ABtanA=10=，AC=，BDC=ABC=90，BCD=ACBBCDACB【例题3】已知：AB是O的直径，点为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点N=EF，MNMP=

9、1，PF2PG2=2PN22FN2=212222=10三、解答题：11如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DFAC，垂足为F。（1）求证：DF为O的切线；（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG，当ABC是等边三角形时，求AGC的度数。【解答】解：（1）连接AD，OD，AB是O的直径，ADBC，ABC是等腰三角形，BD=DC，AO=BO，ODAC，DFAC，DFOD，DF是O的切线；（2）AB是O的直径，BGAC，ABC是等边三角形，BG是AC的垂直平分线，GA=GC，又AGBC，ACB=60，CAG=ACB=60，ACG是

10、等边三角形，AGC=60。12如图，等腰ABC内接于半径为5的O，ABAC，tanABC求BC的长【分析】连接AO，交BC于点E，连接BO，求出，根据垂径定理得出OABC，BC2BE，设AE，则BE3，OE5，根据勾股定理得出方程（3）2（5）252，求出方程的解即可【解答】解：连接AO，交BC于点E，连接BO，ABAC，又OA是半径，OABC，BC2BE，在RtABE中，tanABC，设AE，则BE3，OE5，在RtEO中，BE2OE2OB2，（3）2（5）252，解得：10（舍去），21，BE33，BC2BE613如图，AG是HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的O交AG于点D，过点

11、D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B（1）求证：直线BC是O的切线；（2）若AC=2CD，设O的半径为r，求BD的长度【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得ODAC，证明ODCB，可得结论；（2）在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明ACDADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论【解答】（1）证明：连接OD，AG是HAF的平分线，CAD=BAD，OA=OD，OAD=ODA，CAD=ODA，ODAC，ACD=90，ODB=ACD=90，即ODCB，D在O上，直线BC是O的切线；（4分）（2）解：在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，AE是O的直径，ADE=90，由CAD=BAD，ACD=ADE=90，ACDADE，即，a=，由（1）知：ODAC，即，a=，解得BD=r14如图，AB是O的直径，ED切O于点C，AD交O于点F，AC平分BAD，连接BF（1）求证：ADED；（2）若CD=4，AF=2，求O的半径【分析】（1）连接OC，如图，先证明OCAD，然后利用切线的性质得OCDE，从而得到ADED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到AFB=90，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，CHF=90，利用垂径定理得到BH=