(新高考)高考数学一轮复习讲与练第6章§6.3《等比数列》(含详解)

1、6.3等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq f(an1,an)q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sneq blcrc (avs4alc

2、o1(na1，q1，,f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)，q1.)3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq2k，则amanapaqaeq oal(2,k).(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列(m为偶数且q1除外)(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(5)若eq blcrc (avs4alco1(a10，,q1)或eq blcrc (avs4alco1(a10，,0q0，,0q1)或eq b

3、lcrc (avs4alco1(a11，)则等比数列an递减常用结论1若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则数列can(c0)，|an|，aeq oal(2,n)，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)，anbn，eq blcrc(avs4alco1(f(an,bn)也是等比数列2等比数列an的通项公式可以写成ancqn，这里c0，q0.3等比数列an的前n项和Sn可以写成SnAqnA(A0，q1,0)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列

4、an的通项公式是anan，则其前n项和为Sneq f(a1an,1a).()(4)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()教材改编题1已知an是等比数列，a22，a4eq f(1,2)，则公比q等于()Aeq f(1,2) B2 C2 Deq f(1,2)答案D解析设等比数列的公比为q，an是等比数列，a22，a4eq f(1,2)，a4a2q2，q2eq f(a4,a2)eq f(1,4)，qeq f(1,2).2在各项均为正数的等比数列an中，a1a112a6a8a3a1325，则a6a8_.答案5解析an是等比数列，且a1a112a6a8a3a1325，aeq oa

5、l(2,6)2a6a8aeq oal(2,8)(a6a8)225.又an0，a6a85.3已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_答案1,3,9或9,3,1解析设这三个数为eq f(a,q)，a，aq，则eq blcrc (avs4alco1(af(a,q)aq13，,af(a,q)aq27，)解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,qf(1,3)或eq blcrc (avs4alco1(a3，,q3，)这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2020全国)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则eq

6、 f(Sn,an)等于()A2n1 B221nC22n1 D21n1答案B解析方法一设等比数列an的公比为q，则qeq f(a6a4,a5a3)eq f(24,12)2.由a5a3a1q4a1q212a112，得a11.所以ana1qn12n1，Sneq f(a11qn,1q)2n1，所以eq f(Sn,an)eq f(2n1,2n1)221n.方法二设等比数列an的公比为q，则eq blcrc (avs4alco1(a3q2a312，,a4q2a424， )eq f(,)得eq f(a4,a3)q2.将q2代入，解得a34.所以a1eq f(a3,q2)1，下同方法一(2)(2019全国)记

7、Sn为等比数列an的前n项和若a1eq f(1,3)，aeq oal(2,4)a6，则S5_.答案eq f(121,3)解析设等比数列an的公比为q，因为aeq oal(2,4)a6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1eq f(1,3)，所以q3，所以S5eq f(a11q5,1q)eq f(f(1,3)135,13)eq f(121,3).教师备选1已知数列an为等比数列，a26,6a1a330，则a4_.答案54或24解析由eq blcrc (avs4alco1(a1q6，,6a1a1q230，)解得eq blcrc (avs4alco1(q3，,a12)或eq blcrc

8、(avs4alco1(q2，,a13，)a4a1q323354或a43233824.2已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a62a7，S36，则a6等于()A2或32 B2或64C2或32 D2或64答案B解析数列an为等比数列，a2a62a7a1a7，解得a12，设数列的公比为q，S3622q2q2，解得q2或q1，当q2时，则a6(2)664，当q1时，则a62.思维升华(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项

9、和Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q).跟踪训练1(1)(2020全国)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k等于()A2 B3 C4 D5答案C解析a12，amnaman，令m1，则an1a1an2an，an是以a12为首项，q2为公比的等比数列，an22n12n.又ak1ak2ak1021525，eq f(2k11210,12)21525，即2k1(2101)25(2101)，2k125，k15，k4.(2)(2020新高考全国)已知公比大于1的等比数列an满足a2a420，a38.求an的通项公式；求a1a2a2a3(1)n1a

10、nan1.解设an的公比为q(q1)由题设得eq blcrc (avs4alco1(a1qa1q320，,a1q28，)解得eq blcrc (avs4alco1(q2，,a12)或eq blcrc (avs4alco1(qf(1,2)，,a132)(舍去)所以an的通项公式为an2n，nN*.由于(1)n1anan1(1)n12n2n1(1)n122n1，故a1a2a2a3(1)n1anan123252729(1)n122n1eq f(23122n,122)eq f(8,5)(1)neq f(22n3,5).题型二等比数列的判定与证明例2已知数列an满足a11，nan12(n1)an，设bn

11、eq f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1eq f(2n1,n)an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得eq f(an1,n1)eq f(2an,n)，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得eq f(an,n)2n1，所以ann2n1.教师备选已知各项都为正数的数列an满足an22an13an.(1)证明：数列anan1为

12、等比数列；(2)若a1eq f(1,2)，a2eq f(3,2)，求an的通项公式(1)证明an22an13an，所以an2an13(an1an)，因为an中各项均为正数，所以an1an0，所以eq f(an2an1,an1an)3，所以数列anan1是公比为3的等比数列(2)解由题意知anan1(a1a2)3n123n1，因为an22an13an，所以an23an1(an13an)，a23a1，所以a23a10，所以an13an0，故an13an，所以4an23n1，aneq f(1,2)3n1.思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若eq f(an1,an)q(q为非零常数，nN

13、*)或eq f(an,an1)q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0且aeq oal(2,n1)anan2(nN*)，则an是等比数列(3)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列跟踪训练2Sn为等比数列an的前n项和，已知a49a2，S313，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)易知q1，由题意可得eq blcrc (avs4alco1(a1q39a1q，,f(a11q3,1q)13，,q0，)解得a11，

14、q3，an3n1，Sneq f(13n,13)eq f(3n1,2).(2)假设存在常数，使得数列Sn是等比数列，S11，S24，S313，(4)2(1)(13)，解得eq f(1,2)，此时Sneq f(1,2)eq f(1,2)3n，则eq f(Sn1f(1,2),Snf(1,2)eq f(f(1,2)3n1,f(1,2)3n)3，故存在常数eq f(1,2)，使得数列eq blcrc(avs4alco1(Snf(1,2)是以eq f(3,2)为首项，3为公比的等比数列题型三等比数列的性质例3(1)若等比数列an中的a5，a2 019是方程x24x30的两个根，则log3a1log3a2l

15、og3a3log3a2 023等于()A.eq f(2 024,3) B1 011C.eq f(2 023,2) D1 012答案C解析由题意得a5a2 0193，根据等比数列性质知，a1a2 023a2a2 022a1 011a1 013a1 012a1 0123，于是a1 012 SKIPIF 1 0 ，则log3a1log3a2log3a3log3a2 023log3(a1a2a3a2 023) SKIPIF 1 0，故S10，S20S10，S30S20，S40S30，均大于0.故(S20S10)2S10(S30S20)，即(S201)21(7S20)Seq oal(2,20)S2060

16、.因为S200，所以S203.又(S30S20)2(S20S10)(S40S30)，所以(73)2(31)(S407)，故S4015.(2)在等比数列an中，an0，a1a2a3a84，a1a2a816，则eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,a8)的值为()A2 B4C8 D16答案A解析a1a2a816，a1a8a2a7a3a6a4a52，eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,a8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a2)f(1,a7)eq blc(rc)(avs4alco

17、1(f(1,a3)f(1,a6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a4)f(1,a5)eq f(1,2)(a1a8)eq f(1,2)(a2a7)eq f(1,2)(a3a6)eq f(1,2)(a4a5)eq f(1,2)(a1a2a8)2.课时精练1(2022合肥市第六中学模拟)若等比数列an满足a1a21，a4a58，则a7等于()A.eq f(64,3) Beq f(64,3)C.eq f(32,3) Deq f(32,3)答案A解析设等比数列an的公比为q，则eq f(a4a5,a1a2)q38，所以q2，又a1a2a1(1q)1，所以a1eq f(1,3)，所以a7

18、a1q6eq f(1,3)26eq f(64,3).2已知等比数列an满足a11，a3a54(a41)，则a7的值为()A2 B4 C.eq f(9,2) D6答案B解析根据等比数列的性质得a3a5aeq oal(2,4)，aeq oal(2,4)4(a41)，即(a42)20，解得a42.又a11，a1a7aeq oal(2,4)4，a74.3(2022开封模拟)等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为()A.eq f(1,3) Beq f(1,3) C.eq f(1,9) Deq f(1,9)答案B解析由等比数列前n项和的性质知，Sn32n1req f(1,3)9nr，req f

19、(1,3).4(2022天津北辰区模拟)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第四天走的路程为()A6里 B12里C24里 D48里答案C解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列an，其中qeq f(1,2)，因为S6eq f(a1blc(rc)(avs4alco1(1f(1,26),1f(1,2)378，解得a1192，所以a4a1q3192eq f(1,8)24.5(多

20、选)设等比数列an的公比为q，则下列结论正确的是()A数列anan1是公比为q2的等比数列B数列anan1是公比为q的等比数列C数列anan1是公比为q的等比数列D数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是公比为eq f(1,q)的等比数列答案AD解析对于A，由eq f(anan1,an1an)q2(n2)知数列anan1是公比为q2的等比数列；对于B，当q1时，数列anan1的项中有0，不是等比数列；对于C，当q1时，数列anan1的项中有0，不是等比数列；对于D，eq f(f(1,an1),f(1,an)eq f(an,an1)eq f(1,q)，所以数列eq blcrc(

21、avs4alco1(f(1,an)是公比为eq f(1,q)的等比数列6(多选)数列an的前n项和为Sn，若a11，an12Sn(nN*)，则有()ASn3n1 BSn为等比数列Can23n1 Daneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,23n2，n2)答案ABD解析由题意，数列an的前n项和满足an12Sn(nN*)，当n2时，an2Sn1，两式相减，可得an1an2(SnSn1)2an，可得an13an，即eq f(an1,an)3(n2)，又a11，则a22S12a12，所以eq f(a2,a1)2，所以数列an的通项公式为aneq blcrc (avs4alco1(1，n

22、1，,23n2，n2.)当n2时，Sneq f(an1,2)eq f(23n1,2)3n1，又S1a11，适合上式，所以数列an的前n项和为Sn3n1，又eq f(Sn1,Sn)eq f(3n,3n1)3，所以数列Sn为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的7(2022嘉兴联考)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S37，S663，则a1_.答案1解析由于S37，S663知公比q1，又S6S3q3S3，得6377q3.q38，q2.由S3eq f(a11q3,1q)eq f(a118,12)7，得a11.8已知an是等比数列，且a3a5a7a9a11243，则a7_；若公比q

23、eq f(1,3)，则a4_.答案381解析由an是等比数列，得a3a5a7a9a11aeq oal(5,7)243，故a73，a4eq f(a7,q3)81.9(2022徐州模拟)已知等差数列an的公差为2，其前n项和Snpn22n，nN*.(1)求实数p的值及数列an的通项公式；(2)在等比数列bn中，b3a1，b4a24，若bn的前n项和为Tn，求证：数列eq blcrc(avs4alco1(Tnf(1,6)为等比数列(1)解Snna1eq f(nn1,2)dna1n(n1)n2(a11)n，又Snpn22n，nN*，所以p1，a112，即a13，所以an32(n1)2n1.(2)证明因

24、为b3a13，b4a249，所以q3，所以bnb3qn33n2，所以b1eq f(1,3)，所以Tneq f(f(1,3)13n,13)eq f(3n1,6)，所以Tneq f(1,6)eq f(3n,6)，又T1eq f(1,6)eq f(1,2)，所以eq f(Tnf(1,6),Tn1f(1,6)eq f(f(3n,6),f(3n1,6)3(n2)，所以数列eq blcrc(avs4alco1(Tnf(1,6)是以eq f(1,2)为首项，3为公比的等比数列10(2022威海模拟)记数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an1.设bnan12an.(1)求证：数列bn为等比数列；(

25、2)设cn|bn100|，Tn为数列cn的前n项和求T10.(1)证明由Sn14an1，得Sn4an11(n2，nN*)，两式相减得an14an4an1(n2)，所以an12an2(an2an1)，所以eq f(bn,bn1)eq f(an12an,an2an1)eq f(2an2an1,an2an1)2(n2)，又a11，S24a11，故a24，a22a12b10，所以数列bn为首项与公比均为2的等比数列(2)解由(1)可得bn22n12n，所以cn|2n100|eq blcrc (avs4alco1(1002n，n6，,2n100，n6，)所以T10600(212226)272829210

26、400200eq f(2126,12)272829210200228292101 994.11(多选)(2022滨州模拟)已知Sn是数列an的前n项和，且a1a21，anan12an2(n3)，则下列结论正确的是()A数列an1an为等比数列B数列an12an为等比数列Caneq f(2n11n,3)DS20eq f(2,3)(4101)答案ABD解析因为anan12an2(n3)，所以anan12an12an22(an1an2)，又a1a220，所以anan1是等比数列，A正确；同理an2an1an12an22an1an12an2(an12an2)，而a22a11，所以an12an是等比数列

27、，B正确；若aneq f(2n11n,3)，则a2eq f(2312,3)3，但a213，C错误；由A知anan1是等比数列，且公比为2，因此数列a1a2，a3a4，a5a6，仍然是等比数列，公比为4，所以S20(a1a2)(a3a4)(a19a20)eq f(21410,14)eq f(2,3)(4101)，D正确12(多选)(2022黄冈模拟)设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a7a81，eq f(a71,a81)0.则下列结论正确的是()A0q1CSn的最大值为S9 DTn的最大值为T7答案AD解析a11，a7a81，eq f(a71,a81)1,0a81，0q1，故A正确；a7a9aeq oal(2,8)1,0q1,0a81，T7是数列Tn中的最大项，故D正确13(2022衡阳八中模拟)设Tn为正项等比数列an(公比q1)前n项的积，若T2 015T2 021，则eq f(log3a2 019,log3a2 021)_.答案eq f(1,5)解析