典例精析：生活中的优化问题

1、PAGE6生活中的优化问题典例精析生活中的许多优化问题，往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。考试说明要求“会利用导数解决某些实际问题”这也是导数应用的一个重要方面。在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：（1）设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围（即函数的定义域）；（2）依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；（3）求出函数的导数，令导数等于零，得到导数为0的点；（4）通过单调性确定出函数的最值点及最值。举例说明。例1某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万

2、元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值分析：公司利润=每件产品的（售价-成本-管理费销售量，故可设出每件产品的售价，将分公司一年的利润表示成售价的函数，利用导数求函数的最值即可。解：（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（）令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）点评：本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力解题的关键

3、是要注意题目中的及的范围，因为求解到的极值点中含有参数，所以要对参数并结合的范围进行分类讨论。例2如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（1）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积的最大值分析：由题意可知，需将钢板的面积表示成为变量的函数，而此梯形的面积关键是求出它的高，因此，应首先建立平面直角坐标系，借助椭圆的方程进行求解。解：（1）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（2）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值

4、因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为点评：本小题考查椭圆、函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力本题的主要方法是首先建立恰当的平面直角坐标系，得到椭圆的方程，然后才能建立面积的一个函数表达式，其次还要注意在第一问中要标明函数的定义域，第二问中所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么它也是函数在该区间上的最值点，据此可求得函数的最值。例3某企业有一条价值万元的生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，提高产品的增加值，就要对流水线进行技术改造假设增加值（万元）与技改投入（万元）之间的关系满足：与成正比例；当时，；其中为常数且（1）设，求出的表达式，并求其定义域；（2）求出增加值的最大值，并求出此时的的值分析：由条件可直接列出函数表达式，再根据条件提供的初始值，求出其中的比例系数，因此第一问难度不大，解决第二问要充分考虑条件中的及的范围。解：（1）设，当时，从而有由，得（2），令，解得，或（）若，即，则当时，在上为增函数；当时，在上为减函数故对于的情况，当时，取得最大值，最大值为（）若，即，则仿（1）可得在上是增函数，故当时，取得最大值，最大值为综上可知：当时，增加值的最大值是万元，此时技改投入为万元；当时，增加值的最大值是万元，此时技改投入为万元点评：本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查综合运用数学知识分析和解决实际问题的能力