北京市第二十二2023年高考适应性考试数学试卷含解析

1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：在上单调递增；在上没有零点；在上只有一个零点.其中所有正

2、确结论的编号是（ ）ABCD2的展开式中有理项有（ ）A项B项C项D项3平行四边形中，已知，点、分别满足，且，则向量在上的投影为（ ）A2BCD4若时，则的取值范围为（ ）ABCD5已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）A4BCD6函数在上单调递减的充要条件是（ ）ABCD7抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）ABCD8已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%9由曲线y

3、x2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为()A1BCD10甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙丙丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）ABCD11已知函数，则（ ）A2B3C4D512设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是奇函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为_.14若函数 (R，)满足，且的最小值等于，则的值为_.15如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，

4、O为半圆的圆心，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为_.16已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为1，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值18（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间（2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的

5、值，并求取得最小斜率时切线的方程（3）已知分别在，处取得极值，求证：19（12分）已知函数（，），且对任意，都有.（）用含的表达式表示；（）若存在两个极值点，且，求出的取值范围，并证明；（）在（）的条件下，判断零点的个数，并说明理由.20（12分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.（）求的值；（）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.21（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，恰为等比数列的前3项（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在

6、，请说明理由22（10分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，点的轨迹为（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上单调递减.当时，且，所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号

7、故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2B【解析】由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解.【详解】，当，时，为有理项，共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.3C【解析】将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.4D【解析】由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.【详解】由题得对恒成立，

8、令，在单调递减，且，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，的取值范围为.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.5C【解析】根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆，所以，解得，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，此时， 因为，在递增，所以的最大值.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6C【解析】先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数

9、，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.【详解】依题意，令，则，故在上恒成立；结合图象可知，解得故.故选：C.【点睛】本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.7A【解析】首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个， 具体分析如下：记正面向上为

10、1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1_ _，_1_，_ _1剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，但合并计算时会有重复，重复数量为，事件的样本点数为：个故不同的样本点数为8个，.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题8B【解析】试题分析：由题意故选B考点：正态分布9B【解析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，结合定积分的几何意义可知曲线yx2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分

11、的概念与计算，属于中等题.10B【解析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选：B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.11A【解析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为所以.故选：.【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.12C【解析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【详解】解：是奇函数，是偶函数，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确为偶函数，故错误，故选：【点睛】本题主要考

12、查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.141【解析】利用辅助角公式化简可得,由题可分析的最小值等于表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,进而求解即可.【详解】由题,因为,且的最小值等于,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,所以,即,所以,故答案为:1【点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.15【

13、解析】分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.【详解】（1）斜边在上，设，则，则，从而.当时，此时，符合.（2）若一条直角边在上，设，则，则，由知.，当时，单调递增，当时，单调递减，.当，即时，最大.故答案为：.【点睛】此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.16-2【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可【详解】由题意得：目标

14、函数在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，直线AB的方程是：，则，故答案为.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 () 曲线是焦点在轴上的椭圆；()【解析】试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得试题解析：()直线的参数方程为. 曲线的直角坐标方程为，即， 所以曲线是焦点在轴上的椭圆. ()将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为得， 得， ，18（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2），；（3）

15、证明见解析【解析】（1）由的正负可确定的单调区间；（2）利用基本不等式可求得时，取得最小值，由导数的几何意义可知，从而求得，求得切点坐标后，可得到切线方程；（3）由极值点的定义可知是的两个不等正根，由判别式大于零得到的取值范围，同时得到韦达定理的形式；化简为，结合的范围可证得结论.【详解】（1）由题意得：的定义域为，当时，当和时，；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2），所以（当且仅当，即时取等号），切线的斜率存在最小值，解得：，即切点为，从而切线方程，即：（3），分别在，处取得极值，是方程，即的两个不等正根则，解得：，且，即不等式成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利

16、用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.19（1）（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：利用赋值法求出关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.试题解析：（）根据题意：令，可得， 所以，经验证，可得当时，对任意，都有，所以.（）由（）可知，且，所以 ， 令，要使存在两个极值点，则须有有两个不相等的正数根，所以 或 解得或无解，所以的取值范围，可得，由题意知 ，令 ，则 而当时，

17、 ，即，所以在上单调递减，所以 即时，（）因为 ，令得，由（）知时，的对称轴，所以.又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以 最多只有三个不同的零点又因为，所以在上递增，即时，恒成立根据（2）可知且，所以，即，所以，使得由，得，又，所以恰有三个不同的零点：，1，综上所述，恰有三个不同的零点【点睛】利用赋值法求出关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，利用函数的导数研究函数的单调性、极值，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点.20（）3；（）.【解析】()函数，利用和差公

18、式和倍角公式，化简即可求得；()由()知函数，根据点是函数图象的一个对称中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.【详解】() 的最大值为最小正周期为 ()由题意及（）知，,故故的面积的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.21（2），（2），的最大整数是2（3）存在，【解析】（2）由可得（），然后把这两个等式相减，化简得，公差为2，因为，为等比数列，所以，化简计算得，从而得到数列的通项公式，再计算出 ，从而可求出数列的通项公式；（2）令，化简计算得，从而可得数列是递增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值为，所以可得答案；（3）由题意可知，即，这个可看成一个数列的前项和，再