(新高考)高考数学一轮复习课件第7章§7.1《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》(含解析)

1、第七章考试要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简 单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单 的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.落实主干知识课时精练探究核心题型LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识名称棱柱棱锥棱台图形底面互相 且_多边形互相 且_侧棱_相交于 但不一定相等延长线交于_侧面形状_1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征平行全等平行 相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等， 于底面相交于_延长线交于_

2、轴截面_侧面展开图_(2)旋转体的结构特征垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用 .(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 ，z轴与x轴和y轴所在平面 .原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 .斜二测画法垂直分别平行于坐标轴不变一半45或135圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧_S圆锥侧_S圆台侧_3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2rlrl(r1r2)l 名称几何体表面积体积柱体S表S侧2S底VSh锥体S表S侧S底

3、V_台体S表S侧S上S下球S表_V_4.柱、锥、台、球的表面积和体积4R21.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.直观图与原平面图形面积间的关系：常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.()(3)菱形的直观图仍是菱形.()(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()1.如图，长方体ABCDABCD被截去一部分，其中EHAD，剩下的几何体是A.棱台 B.四棱柱C.五棱

4、柱 D.六棱柱2.已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以l2r，即l2r，所以r2rlr2r2r3r212，解得r2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_.设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，147TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1下列命题正确的是A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的 母线B.直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成

5、的几何体都是圆锥C.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的 面所围成的旋转体是圆台题型一基本立体图形命题点1结构特征A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行.棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等.(多选)下列说法错误的是A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体 是棱锥B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面

6、体是棱台C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六 棱锥D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体教师备选选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，

7、又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.例2有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.命题点2直观图(2022益阳调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45的等腰梯形，已知直观图OABC的面积为4，则该平面图形的面积为 教师备选思维升华(1)在斜二测画法中，要

8、确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图命题点3展开图设圆锥底面圆的半径为r，则2r4，解得r2，(2020浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_.教师备选1如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧rl2，rl2.又圆锥侧面展开图为半圆，l2，r1.思维升华多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面

9、的形状.跟踪训练1(1)(多选)给出下列命题，其中真命题是A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直C.在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为 直四棱柱D.存在每个面都是直角三角形的四面体A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；D正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形.(

10、2)(2022泰安模拟)已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO ，那么ABC是一个A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形根据斜二测画法还原ABC在直角坐标系中的图形，如图，所以ABC是一个等边三角形.(3)(2022蚌埠模拟)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为，则由题意可得2412，在POP中，OPOP12，则小虫爬行的最短路程为例4(1)(2022济南调研)如图，四面体的各个面

11、都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是题型二表面积与体积命题点1表面积如图所示，过点P作PE平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D. 由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图，过C作CEAD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F.则EDC180ADC45，ECCDsin 452，EDCDcos 452，故圆台的上底面半径r2，下底面半径R5，高h4，母线长l25.所以圆台侧面积S1(Rr)l2(52)535，圆锥侧面积圆台下底面面积S3

12、R225.故该几何体的表面积已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为教师备选设圆柱的轴截面的边长为x，思维升华(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.命题点2体积例5(1)(2021新高考全国)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，下底面面积S116，上底面面积S24，(2)(202

13、0新高考全国)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1D1MN的体积为_.1如图，由正方体棱长为2，又易知D1A1为三棱锥D1A1MN的高，且D1A12，(3)(2022大同模拟)九章算术是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD3丈，长AB4丈，上棱EF2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是A.4立方丈 B.5立方丈C.6立方丈 D.8立方丈如图，过E作EG平面ABCD，

14、垂足为G，过F作FH平面ABCD，垂足为H，过G作PQAD，交AB于Q，交CD于P，过H作MNBC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQBN1，QN2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形.则它的体积VVEAQPDVEPQFMNVFNBCM(2022佛山模拟)如图所示，在直径AB4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使BAC30，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体，则该几何体的体积为_.教师备选如图，过点C作CDAB于点D.ADACcos 303，BDABAD1，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体，该几何体是以AB为直径的半个球中间挖去

15、两个同底的半圆锥，故所求几何体的体积为思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(多选)(2022武汉质检)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥.(2)(2022天津和平区模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2

16、，则三棱锥AB1CD1的体积为如图，三棱锥AB1CD1是由正方体ABCDA1B1C1D1截去四个小三棱锥AA1B1D1，CB1C1D1，B1ABC，D1ACD，又 238，KESHIJINGLIAN 课时精练基础保分练123456789101112131415162.(2022惠州调研)在我国古代数学名著数学九章中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为A.2丈4尺 B.

17、2丈5尺C.2丈6尺 D.2丈8尺1234567891011121314151612345678910111213141516如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5210(尺)，1234567891011121314151612345678910111213141516如图所示，梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB1，高为BC2的圆柱挖去一个底面半径为AB1，高为BCAD211的圆锥，4.(2022武汉模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀

18、神祇的一种礼器.周礼中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0 cm，外径2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，则其体积约为(单位：cm3)A.23.043.92 B.34.563.92C.34.563.12 D.23.043.121234567891011121314151612345678910111213141516由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，5.(2022常德模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是

19、一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为1234567891011121314151612345678910111213141516取BC的中点G，连接EG，BD，取BD的中点O，连接EO，6.(多选)(2022烟台调研)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面12345678910111213141516将圆柱桶竖放，水平面为圆面；将圆柱桶斜放，水平面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水平面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.

20、7.(多选)下列说法正确的是A.圆柱的每个轴截面都是全等的矩形B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是等腰梯形D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面12345678910111213141516A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.8.(多选)(2022邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一

21、个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30，若取30，侧棱长为 米，则A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为 平方米D.正四棱锥的侧面积为 平方米12345678910111213141516如图，在正四棱锥SABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SHAB，设底面边长为2a.因为SHO30，123456789101112131415169.如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系Oxy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_.12345678910111

22、21314151612345678910111213141516利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系Oxy中，BC1，xCB45.过点B作x轴的垂线，垂足为点D.在RtBDC中，10.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S_cm2. 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.2 6001234567891011121314151611.(2020江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 c

23、m，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm3. 1234567891011121314151612345678910111213141516螺帽的底面正六边形的面积所以此六角螺帽毛坯的体积1234567891011121314151612345678910111213141516解得l4；又设圆锥底面半径为r，高为h，则由轴截面的面积为8，得rh8；又r2h216，13.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为技能提升练12345678910111213141516图1 图2

24、12345678910111213141516图1 图214.(2022南京模拟)小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图所示)，并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为221，则 的值为_.12345678910111213141516图 图点心盒的长、宽、高之比是221，设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a，12345678910111213141516l244a42a24a，图 图15.(多选)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，